资源简介

教学设计
课题 勾股定理的逆定理的应用 授课人
素养目标 1.理解勾股定理与其逆定理的区别和联系． 2．灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题，培养应用数学的意识.
教学重点 灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题．
教学难点 割补思想、转化思想和数形结合思想的应用.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情境，导入新课 设计意图 通过实际情境，激发学生的学习兴趣. 【情境导入】 如图，已知小岛B与港口A相距5 n mile，一艘船 C位于港口A正东方向3 n mile处，与小岛B相距 4 n mile，根据这些条件能知道小岛B在船C的哪 个方向吗？ 【教学建议】 指定学生回答，提醒学生E，n分别表示东、北两个方向.
活动二：问题引入，自主探究 设计意图 培养学生利用勾股定理及其逆定理解决问题的能力. 探究点1　勾股定理的逆定理的实际应用 例1　(教材P33例2)如图，某港口P位于东西方向 的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口， 各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile， “海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口一个半小时 后分别位于点Q，R处，且相距30 n mile.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 分析：在图中可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道“海天”号的航向了． 解：根据题意，PQ＝16×1.5＝24(n mile)，PR＝12×1.5＝18(n mile)，QR＝30 n mile.因为242＋182＝302，即PQ2＋PR2＝QR2， 所以∠QPR＝90°.由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1＝45°. 因此∠2＝45°，即“海天”号沿西北方向航行． 【对应训练】 教材P33练习第3题． 探究点2　勾股定理及其逆定理的综合应用 勾股定理与其逆定理的区别和联系是什么？ 　例2　如图，在△ABC中，D是边BC上一点，AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17. 求∠ADB的度数； 求CD的长. 解：(1)∵BD2＋AD2＝62＋82＝102＝AB2， 【教学建议】 告诉学生可先根据已知条件计算出各边长，再利用勾股定理及其逆定理判断三角形是否为直角三角形，最后解答问题. 【教学建议】 （1）指定学生代表回答，教师总结勾股定理及其逆定理的区别和联系.
第2课时　勾股定理的逆定理的应用
教学步骤 师生活动
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°. (2)∵∠ADB＝90°，∴∠ADC＝180°－∠ADB＝90°. ∴在Rt△ACD中，CD＝＝＝15. 【对应训练】 如图是一个零件的示意图，量得AB＝4 cm，BC＝3 cm，CD＝12 cm，AD＝13 cm.若∠ABC＝90°，求△ACD的面积. 解：在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°， ∴AC＝＝＝5(cm). ∵AC2＋CD2＝52＋122＝132＝AD2， ∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°. ∴S△ACD＝AC·CD＝×5×12＝30(cm2). （2）提醒学生：已知直角三角形时，要联想到应用勾股定理求长度；已知三角形的三边长时，要联想到应用勾股定理的逆定理找直角．注意直角的邻补角也是直角.
活动三：重点突破，提升探究 设计意图 巩固学生运用勾股定理及其逆定理解决问题的能力. 例3　如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1，且∠B＝90°，求∠BAD的度数. 解：如图，连接AC. ∵∠B＝90°，AB＝BC＝2， ∴AC＝＝2，∠BAC＝45°. ∵CD＝3，DA＝1，∴AC2＋DA2＝8＋1＝9＝CD2. ∴△ACD是直角三角形，且∠CAD＝90°. ∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝45°＋90°＝135°. 【对应训练】 如图，正方形ABCD是由9个边长为1的小正方形组成的，点E，F均在格点(每个小正方形的顶点都是格点)上，连接AE，AF，求∠EAF的度数. 解：如图，连接EF，则AE＝＝， EF＝＝， AF＝＝， ∴AE2＋EF2＝()2＋()2＝10＝()2＝AF2. ∴△AEF是直角三角形，∠AEF＝90°.又AE＝EF， ∴∠EAF＝∠EFA＝45°. 【教学建议】 提示学生：(1)已知直角时，要构造相应的直角三角形并利用勾股定理求边长；(2)仅知道三角形的边长求角度时，所求角度一般比较特殊，要联想到直角三角形、等腰三角形等；(3)网格中求角度，一般先构造出相应的三角形，再利用勾股定理求各边长，然后利用勾股定理的逆定理找直角，也可能涉及“等边对等角”.
活动四：随堂训练，课堂总结 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：不用量角器，怎么检验一个直角是否标准？勾股定理及其逆定理的区别和联系是什么？ 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P34习题17.2第3，4，5，6题. 2．相应课时训练．
教学步骤 师生活动
板书设计 17.2　勾股定理的逆定理 第2课时　勾股定理的逆定理的应用 1.勾股定理的逆定理的应用. 2.勾股定理及其逆定理的区别和联系.
教学反思 　 本节课的重点在于利用勾股定理的逆定理解决实际问题，教学中要注意引导学生将实际问题抽象为数学问题．难点在于让学生灵活地综合运用勾股定理及其逆定理，因此要让学生清楚勾股定理及其逆定理的区别和联系，培养出“知直角，求边长；知三边，找直角”的意识.
例1　如图，在正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为( C )
A．1　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．3　　　　　　　　D．4
解析：如图，连接AC，AB，AD，BC，BD，CD，设小正方形的边长为1，由勾股定理得
AB2＝12＋22＝5，AC2＝22＋42＝20，AD2＝12＋32＝10，BC2＝52＝25，BD2＝12＋22＝5，CD2＝12＋32＝10，
∴AB2＋AC2＝BC2，AD2＋CD2＝AC2，BD2＋AB2＝AD2，
∴△ABC，△ADC，△ABD是直角三角形，即共3个直角三角形．故选C.
例2　如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在AB上，且BF＝AB.
(1)请你判断EF与DE的位置关系，并说明理由；
(2)若此正方形的面积为16，求DF的长．
分析：平面内两直线的位置关系有两种：平行和相交，EF和DE都过点E，说明它们相交，如只考虑相交还不够，需考虑相交的特殊情况——垂直．从图中观察EF与DE是垂直的，故设正方形的边长为a，利用勾股定理，用含a的代数式分别表示DE2，EF2，DF2，再利用勾股定理的逆定理判断△DFE是否为直角三角形，再判断EF⊥DE是否成立．
解：(1)EF与DE垂直，即EF⊥DE.理由：
设正方形的边长为a，则AD＝CD＝a，AF＝a，BF＝a，BE＝CE＝a，∠A＝∠B＝∠C＝90°.
在Rt△CDE中，DE2＝CD2＋CE2＝a2＋(a)2＝a2＋a2＝a2.
在Rt△EFB中，EF2＝BF2＋BE2＝(a)2＋(a)2＝a2＋a2＝a2.
在Rt△DAF中，DF2＝AD2＋AF2＝a2＋(a)2＝a2＋a2＝a2.
∵DE2＋EF2＝a2＋a2＝a2＝DF2，
∴△DEF为直角三角形，且∠DEF＝90°.∴EF⊥DE.
(2)∵正方形的面积为16，∴a2＝16.
∵DF2＝a2＝×16＝25，∴DF＝5.
例3　如图，Mn以西为我国领海，以东为公海，某日上午9时50分我国缉私艇A发现在其正东方向有一走私艇C以每小时13 n mile的速度沿CD方向偷偷向我国领海开来，便立即通知正在Mn线上巡逻的缉私艇B密切注意，并告知A和C两艇的距离是13 n mile，缉私艇B测得A与其距离为5 n mile，C与其距离为12 n mile，若走私艇C的速度不变，最早在什么时间进入我国领海？
解：∵AB2＋BC2＝52＋122＝169＝132＝AC2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°.
又BD⊥AC，可设CD＝x n mile，∴
①－②，得x2－(13－x)2＝122－52，即26x－169＝119，解得x＝.∴CD＝ n mile.
∵÷13＝≈0.85(h)＝51(min)，9 h 50 min＋51 min＝10 h 41 min.
∴走私艇最早约在10时41分进入我国领海．

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