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第十八章　平行四边形
18．1　平行四边形
18．1.1　平行四边形的性质
教学设计
课题 平行四边形的概念及边、角的性质 授课人
素养目标 1.理解平行四边形的概念及两条平行线之间的距离的概念． 2．探究并掌握平行四边形的对边相等、对角相等的性质，发展学生的合情推理能力，培养学生主动探究的习惯． 3．利用平行四边形的性质进行简单的计算和证明，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力.
教学重点 平行四边形的概念及平行四边形边、角的性质．
教学难点 如何添加辅助线将平行四边形问题转化为三角形问题.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情境，导入新课 设计意图 通过图片展示，引导学生思考现实生活中的平行四边形，进而引出平行四边形的概念及表示方法. 【情境导入】 仔细观察下列实际生活中的图片，你能从中找到平行四边形的形象吗？ 结合图形，回忆小学知识，我们知道，两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 平行四边形用“”表示，如图①，平行四边形ABCD记作“ABCD”．　　　 几何语言(以图①为例)： 动手试一试：如图②，在ABCD中，EF∥BC，则图中共有3个平行四边形.　　　 【教学建议】 让学生根据生活经验及图片思考平行四边形的概念，教师总结并提示平行四边形的概念既是它的一种判定方法，又是它的一个基本性质.
活动二：动手操作，探究新知 设计意图 引导学生自己动手探索平行四边形边、角的性质. 探究点1　平行四边形边、角的性质 根据上面的概念画一个ABCD，用刻度尺度量对边AB与CD的长，BC与DA的长，并用量角器度量对角∠A与∠C，∠B与∠D的大小. 据此回答下列问题： 1.对边AB与CD的长，BC与DA的长分别相等吗？ 答：AB＝CD，BC＝DA.
第1课时　平行四边形的概念及边、角的性质
教学步骤 师生活动
设计意图 引导学生找出两条平行线之间的距离的概念. 2.对角∠A与∠C，∠B与∠D的大小分别相等吗？ 答：∠A＝∠C，∠B＝∠D 3.平行四边形的对边、对角具有什么性质？ 答：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等 下面我们一起来进行验证． 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形. 求证：AB＝CD，BC＝DA；∠B＝∠D，∠BAD＝∠DCB. 证明：如图，连接AC.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD.∴∠1＝∠2，∠3＝∠4. 又AC是△ABC和△CDA的公共边，∴△ABC≌△CDA.∴ AB＝CD，BC＝DA，∠B＝∠D. ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1＋∠4＝∠2＋∠3，即∠BAD＝∠DCB. 归纳总结：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等. 例1　(教材P42例1)如图，在ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F.求证：AE＝CF. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，AD＝CB. 又∠AED＝∠CFB＝90°， ∴△ADE≌△CBF.∴AE＝CF. 【对应训练】 1.教材P43练习第1题. 2.如图，在ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．求证：∠ADE＝∠CBF. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，AD＝CB，AB＝CD. ∵E，F分别是AB，CD的中点， ∴AE＝12AB，CF＝12CD.∴ AE＝CF. ∴△AED≌△CFB(SAS)．∴∠ADE＝∠CBF. 探究点2　两条平行线之间的距离 利用方格纸画出直线a∥b，A，D为直线a上任意两点. 1.如图①，过点A，D分别画直线c，d，使c∥d， B，C分别是直线c和b，直线d和b的交点，用 刻度尺测量点A，B的距离和点D，C的距离， 它们相等吗？相等 2.再测量一下点A，D的距离和点B，C的距离，它们相等吗？相等 归纳总结：两条平行线之间的任何两条平行线段都相等．(可结合平行四边形的概念和性质说明其中的道理) 3．如图②，分别过A，D两点作直线b的垂线 AB和DC.AB和DC有什么关系？ AB∥DC，AB＝DC 概念引入：从上面的结论进一步可以知道：如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等. 两条平行线中，一 【教学建议】 提示学生可以把平行四边形问题转化为三角形问题，根据三角形全等证明结论. 【教学建议】 (1)让学生借助熟悉的方格纸引出平行线之间的距离的概念，浅显易懂，并理解两条平行线之间的距离和点到直线的距离本质上都是点与点之间的距离. (2)告诉学生：任何两条平行线之间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度.
教学步骤 师生活动
条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离．图②中AB，CD均可表示平行线a，b之间的距离. 【对应训练】 1.如图，已知l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l2，FG⊥l2，下列说法错误的是( B ) A.l1与l2之间的距离是线段FG 的长度 B.线段CD 的长度就是l1，l2之间的距离 C.AC＝BD D.CE＝FG 2.教材P43练习第2题.
活动三：综合运用，巩固提升 设计意图 巩固学生对平行四边形的认知. 例2　如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作BCDE，DE交AB于点F. (1)若∠A＝50°，求∠E的度数； (2)若AD＝CD，BC＝6，求EF的长. 解：(1)在△ABC中，∵∠A＝50°，AB＝AC， ∴∠C＝∠ABC＝(180°－50°)÷2＝65°. ∵四边形BCDE是平行四边形，∴∠E＝∠C＝65°. (2)∵四边形BCDE是平行四边形， ∴BE∥CD，DE＝BC＝6，BE＝CD，∴∠E＝∠ADF，∠EBF＝∠A. ∵AD＝CD，∴BE＝AD. ∴△BEF≌△ADF(ASA)．∴EF＝DF＝12DE＝3. 【教学建议】 让学生独立思考，解决问题，可提示学生解与平行四边形有关的题时，常用到三角形全等的知识.
活动四：随堂训练，课堂总结 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：平行四边形的概念是什么？平行四边形的边、角有哪些性质？两条平行线之间的距离是指什么？【知识结构】 【作业布置】 1.教材P49习题18.1第1，2，7，8题. 2．相应课时训练．
板书设计 18.1.1　平行四边形的性质 第1课时　平行四边形的概念及边、角的性质 1.平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2．平行四边形边、角的性质： 平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等. 3.两条平行线之间的距离.
教学反思 　 　本课时要求掌握平行四边形的概念、表示方法及性质，两条平行线之间的距离的概念及性质，尤其平行四边形的性质是重点，学生要融会贯通.在探索平行四边形的性质及运用性质解决问题的过程中，培养学生独立思考的习惯，感受获得成功的乐趣，激发学习热情
1．补充知识点：同底(等底)等高(同高)的三角形或平行四边形的面积相等．
2．解题方法：
(1)在证明角、线段相等时，应充分利用平行四边形两组对边分别平行、两组对边分别相等、两组对角分别相等以及全等三角形的有关知识，从而得出正确结论．
(2)用方程思想解决几何问题．
例1　如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，BE，CF交于点G.若要使EF＝AD，则ABCD应满足的条件是( D )
A．∠ABC＝60° 　　　　　　B．AB∶BC＝1∶4
C．AB∶BC＝5∶2 D．AB∶BC＝5∶8
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，∴∠AEB＝∠EBC.
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC.∴∠ABE＝∠AEB.∴AB＝AE.
同理可得DC＝DF，∴AE＝DF.∴AE－EF＝DF－EF，即AF＝DE.
当EF＝AD时，设EF＝x，则BC＝AD＝4x，∴AF＝DE＝(AD－EF)＝1.5x.
∴AB＝AE＝AF＋EF＝2.5x.∴AB∶BC＝2.5∶4＝5∶8.故选D.
例2　如图，已知l1∥l2，点E，F在l1上，点G，H在l2上．求证：△EGO与△FHO面积相等．
证明：∵l1∥l2，∴点E，F到l2的距离相等，设这个距离为h.
∴S△EGH＝GH·h，S△FGH＝GH·h.∴S△EGH＝S△FGH.∴S△EGH－S△GOH＝S△FGH－S△GOH.
∴△EGO与△FHO面积相等．
例3　如图，四边形ABDE是平行四边形，C为边BD延长线上一点，连接AC，CE，AB＝AC.
(1)求证：△BAD≌△ACE；
(2)若∠B＝30°，∠ADC＝45°，BD＝10，求ABDE的面积．
(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.
∵四边形ABDE是平行四边形，∴BD∥AE，BD＝AE.
∴∠ACB＝∠CAE.∴∠B＝∠CAE.∴△BAD≌△ACE(SAS)．
(2)解：如图，过点A作AG⊥BC，垂足为G.设AG＝x.
在Rt△AGD中，∵∠ADC＝45°，∴易得DG＝AG＝x.
在Rt△AGB中，∠B＝30°，∴AB＝2AG＝2x.
由勾股定理可得BG＝＝x.
又BD＝10，∴BG－DG＝BD＝10，即x－x＝10，解得x＝＝5＋5.
∴SABDE＝BD·AG＝10×(5＋5)＝50＋50.
例　如图，在ABCD中，AD＝BD，∠ADC＝105°，点E在AD上，∠ABE＝60°.求证：CD＝DE.
证明：如图，过点B作BF⊥AD于点F.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB，CD∥AB.∴∠ADC＋∠BAD＝180°.
∵∠ADC＝105°，∴∠A＝75°.
∵∠ABE＝60°，∴∠AEB＝180°－∠A－∠ABE＝45°.
∵BF⊥AD，∴∠BFD＝90°.∴∠EBF＝∠AEB＝45°.∴BF＝EF.
∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝75°.∴∠ADB＝30°.
设BF＝EF＝x，则BD＝2x.
由勾股定理，易得DF＝x，∴DE＝DF－EF＝(－1)x，AF＝AD－DF＝BD－DF＝(2－)x.
由勾股定理，得AB2＝AF2＋BF2＝(2－)2x2＋x2＝(8－4)x2，∴CD2＝(8－4)x2.
∴＝＝2.∴＝.∴CD＝DE.

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