资源简介

教学设计
课题 平行四边形对角线的性质 授课人
素养目标 1.理解并掌握平行四边形对角线的性质． 2．经历平行四边形性质的探究过程，感悟利用直观度量发现规律的感性认识与利用转化思想进行论证的理性认识之间的关系． 3．综合运用平行四边形的性质进行计算和证明，提高学生的推理能力.
教学重点 平行四边形对角线的性质的理解及应用．
教学难点 平行四边形性质的灵活应用.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：引用故事，导入新课 设计意图 通过故事调动学生积极性，引出新课的学习. 【故事导入】 一位饱经沧桑的老人经过一辈子的辛勤劳动拥有了一块平行四边形土地．由于年老体弱，他决定把这块土地平分给他的四个孩子，他是按下图分的． 可是四个孩子看到这个分配方案争论不休， 都认为自己分的土地比其他人少．同学们，老人这样分地合理吗？ 其实是否合理关键要看平行四边形的对角线有什么性质．这节课我们就来探究平行四边形的对角线的性质. 【教学建议】 让学生共同讨论，思考问题，可提醒学生平分面积应想到三角形的中线.
活动二：动手操作，探究新知 设计意图 通过动手操作，让学生在活动中提炼出平行四边形的对角线的性质，印象更加深刻. 探究点　平行四边形的对角线互相平分 请大家画一个ABCD，并连接对角线AC，BD，设它们交于点O.用刻度尺度量一下OA，OB，OC，OD的长，它们之间有什么关系？ 答：OA＝OC，OB＝OD. 据此我们猜想一下：平行四边形的对角线互相平分． 下面我们一起来进行验证： 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC, BD相交于点O. 求证：OA＝OC，OB＝OD. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC.∴∠1＝∠2，∠3＝∠4. ∴△AOD ≌△COB(ASA)．∴OA＝OC，OB＝OD. 归纳总结：平行四边形的对角线互相平分． 【对应训练】 教材P44练习第1题. 【教学建议】 (1)提醒学生：在平行四边形中的证明，往往要转化为三角形全等的证明，而对角线互相平分则为其提供了边相等的条件． (2)在对应训练后告诉学生：平行四边形的两条对角线把它分成了四个三角形，相邻两个三角形的周长之差的绝对值等于平行四边形的邻边之差的绝对值.
第2课时　平行四边形对角线的性质
教学步骤 师生活动
活动三：运用新知，灵活解题 设计意图 巩固学生对平行四边形的对角线互相平分的认知. 例1　(教材P44例2)如图，在ABCD中，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC.求BC，CD，AC，OA的长，以及ABCD 的面积． 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD＝8，CD＝AB＝10. ∵AC⊥BC，∴△ABC是直角三角形． 根据勾股定理，AC＝＝＝6. 又OA＝OC，∴OA＝AC＝3.SABCD＝BC·AC＝8×6＝48. 【对应训练】 1.如图，在ABCD中，对角线AC，BD相 交于点E，∠CBD＝90°，BC＝4，BE＝3， 则ABCD的面积为( D ) A．6　　　　　B．12　　　　　C．20　　　　　D．24 2．如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，∠DAC＝45°，AC＝2，求BD的长． 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AO＝CO＝1，BO＝DO. ∴∠ACB＝∠DAC＝45°.∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°. ∴∠ABC＝∠ACB＝45°.∴AB＝AC＝2. 在Rt△ABO中，根据勾股定理，BO＝＝＝， ∴BD＝2BO＝2. 例2　现在我们再来看最开始上课时老人分地的故事， 同学们是否有了答案呢？ 解：合理．理由：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD.∴△ADO与△ODC等底同高． ∴S△ADO＝S△ODC.按照同样的道理，可以得到S△ADO＝S△ODC＝S△BCO＝S△AOB. 【对应训练】 如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，线段Mn，PQ，EF经过点O，BC＝10，BC边上的高为6，则阴影部分的面积为( C ) A．15 B．20 C．30 D．60 例3　如图，在ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：OE＝OF. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD. ∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠OEB＝∠OFD＝90°. 又∠BOE＝∠DOF，∴△BOE≌△DOF(AAS)．∴OE＝OF. 【对应训练】 教材P44练习第2题. 【教学建议】 提醒学生：遇到垂直求面积、边长，往往可考虑利用勾股定理解决，有时可以利用平行四边形的对角线互相平分得到相关线段的长 【教学建议】 例2是巧妙利用平行四边形的对角线互相平分，得到等底条件，然后再结合隐含的等高条件，从而得到结论，教师要让学生试着总结相关结论． 例3中的对角线互相平分也能得到边相等，它是证明三角形全等的条件之一.
教学步骤 师生活动
活动四：随堂训练，课堂总结 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：你能将平行四边形的性质进行归纳吗？利用平行四边形可以解决哪些问题？ 【知识结构】 【作业布置】 1．教材P49习题18.1第3，14题． 2．相应课时训练．
板书设计 18.1.1　平行四边形的性质 第2课时　平行四边形对角线的性质 1．平行四边形对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分． 2．总结平行四边形的性质： (1)边：两组对边分别平行；两组对边分别相等． (2)角：两组对角分别相等． (3)对角线：对角线互相平分．
教学反思 　 本节课从引用故事开始，迅速激发学生的学习热情，以平行四边形的面积问题引出对角线互相平分的性质，最后又回到以此解决面积问题上． 本节课以提出问题为载体，以学生的动手实践为学习方式，在教学过程中创设宽松的教学氛围，最大限度地调动学生的积极性，激发他们的学习兴趣.
1．性质拓展
(1)平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点．
(2)平行四边形的每一条对角线将它分为两个全等的三角形，两条对角线把它分成四个三角形，相对的两个三角形全等．
(3)若一条直线经过平行四边形两条对角线的交点，则这个交点是这条直线被一组对边所截的线段的中点，且这条直线平分该平行四边形的面积和周长．
2．解题方法
(1)平行四边形的性质为我们以后证明线段平行、线段相等、角相等提供了新的理论依据．
(2)利用对角线互相平分可以解决对角线或边的取值范围问题，在解答时应联系“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”来解决．
(3)解决平行四边形的有关问题，常常通过构造对角线把平行四边形问题转化为三角形问题进行求解．
例1　如图，在ABCD中，AD＝5，BD＝6，AC＝a，则a的取值范围是( D )
A．2＜a＜8　　　　　B．2＜a＜10　　　　　C．4＜a＜10　　　　　D．4＜a＜16
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD＝BD＝3，AC＝2OA.
在△AOD中，由三角形的三边关系，得AD－OD＜OA＜AD＋OD，
∴5－3＜OA＜5＋3，即2＜OA＜8.∴4＜AC＜16.∴4＜a＜16.故选D.
例2　如图，ABCD的面积为20 cm2，对角线交于点O；以AB，AO为邻边作AOC1B，对角线交于点O1；以AB，AO1为邻边作AO1C2B，对角线交于点O2……则AO4C5B的面积为cm2.
解析：∵四边形ABCD和四边形AOC1B都是平行四边形，
∴SABCD＝4S△AOB，SAOC1B＝2S△AOB.∴SAOC1B＝SABCD.
同理，SAO1C2B＝SAOC1B，∴SAO1C2B＝SABCD.
以此类推，SAO4C5B＝＝＝(cm2)．故答案为.
例1　如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别与AD，BC相交于点E，F，且S△AOE＝3，S△BOF＝5.
(1)求证：四边形ABFE的周长等于四边形CDEF的周长；
(2)求ABCD的面积．
分析：(1)利用平行四边形的性质得出AO＝CO，AD∥BC，进而得出∠EAO＝∠FCO，再利用ASA证明△AOE≌△COF，即可得到AE＝CF，最后根据周长的计算公式进行验证；
(2)先由(1)得到△COF的面积为3，再求出△BOC的面积为8，最后利用SABCD＝4S△BOC求解．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD.
∴∠EAO＝∠FCO.
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF(ASA)．∴AE＝CF.
∴AD－AE＝BC－CF，即DE＝BF.
∵四边形ABFE的周长＝AB＋BF＋EF＋AE，四边形CDEF的周长＝CD＋DE＋EF＋CF，
∴四边形ABFE的周长等于四边形CDEF的周长．
(2)解：由(1)可知△AOE≌△COF，∴S△COF＝S△AOE＝3.
∵S△BOF＝5，∴S△BOC＝S△BOF＋S△COF＝5＋3＝8.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴SABCD＝4S△BOC＝4×8＝32.
例2　如图，在ABCD中，对角线AC和BD交于点O，点E，F分别为AO，CO的中点，连接DE，BF.
(1)求证：△ADE≌△CBF；
(2)若AD⊥BD，AD＝6，AB＝10，求AC的长．
分析：(1)由平行四边形的性质可得AD∥CB，AD＝CB，AO＝CO，进而得到∠DAE＝∠BCF，再说明AE＝CF，然后根据SAS即可证明结论；
(2)先说明∠ADB＝90°，再运用勾股定理可得BD＝8，进而得到OD＝OB＝4，然后再根据勾股定理可得AO＝2，最后根据平行四边形对角线的性质可求得AC的长．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AD＝CB，OD＝OB＝BD，AO＝CO＝AC.∴∠DAE＝∠BCF.
∵点E，F分别为AO，CO的中点，∴AE＝OE＝AO，CF＝OF＝CO. ∴AE＝CF.
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF(SAS)．
(2)解：∵AD⊥BD，∴∠ADB＝90°.
∴△ABD和△AOD均为直角三角形．
在Rt△ABD中，∵AD＝6，AB＝10，
∴BD＝＝＝8.
∴OD＝OB＝BD＝×8＝4.
在Rt△AOD中，AO＝＝＝2，
∴ AC＝2AO＝4.

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