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教学设计
课题 平行四边形的判定2 授课人
素养目标 1.理解并掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法． 2．会将平行四边形问题转化为三角形的问题，渗透化归意识． 3．综合运用平行四边形的判定方法和性质进行证明和计算.
教学重点 平行四边形判定定理的理解及运用．
教学难点 根据不同条件能正确选择平行四边形的判定方法.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情境，导入新课 设计意图 从实际生活出发引入新课，激发学生兴趣. 【情境导入】 (教材P47练习第3题)为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了．你能说出其中的道理吗？ 我们上一课时学习了两组对边分别平行或者相等的四边形是平行四边形，那么这里只有一组对边，该怎样处理呢？ 这就需要另一种判定平行四边形的方法了. 【教学建议】 引导学生进行讨论，并将其转化为几何模型以便后续进行证明.
活动二：逆向推理，探索新知 设计意图 用一题多解的方式引导学生验证判定方法的正确性. 探究点　一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 我们知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它的任意一组对边平行且相等．反过来，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？ 下面我们共同来验证一下． 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD. 求证：四边形ABCD是平行四边形． 证法1：如图①，连接AC.∵AB∥CD，∴∠1＝∠2. 又AB＝CD，AC＝CA，∴△ABC≌△CDA.∴BC＝DA. ∴四边形ABCD的两组对边分别相等，它是平行四边形． 证法2：如图②，连接BD.∵AB∥CD，∴∠1＝∠2. 又AB＝CD，BD＝DB，∴△ABD≌△CDB. ∴∠3＝∠4.∴AD∥BC.∴四边形ABCD的两组对边分别平行，它是平行四边形． 思考：这两种证法的条件一样，但是证明过程不一样，两种证法的依据分别是什么？ 答：证法1的依据是两组对边分别相等的四边形是平行四边形，而证法2的依据是平行四边形的概念． 归纳总结：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 我们回过头看前面的铁轨问题，可以知道，互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以保证铁路的两条直铺的铁轨是互相平行的． 【教学建议】 引导学生用不同的判定方法来证明平行四边形，教师总结判定定理．告诉学生：已知一组对边平行或相等的情况下，还可以找这组对边相等或平行来证明平行四边形，而不再拘泥于找另一组对边的关系．
第2课时　平行四边形的判定2
教学步骤 师生活动
　　想一想：在一个四边形中，如果有一组对边平行，另一组对边相等，那么这个四边形是平行四边形吗？ 答：不能确保它是平行四边形，反例如下： 如图，AB＝CD，AD∥BC，但四边形ABCD不是平行四边形． 【对应训练】 1．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，可添加的条件不正确的是( D ) A．AB＝CD　　　　B．BC∥AD C．∠A＝∠C D．BC＝AD 2．教材P49练习第2题． 3．如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，AE＝CF，BF＝DE.求证：四边形ABCD是平行四边形． 证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED＝∠CFB＝90°. 在△ADE和△CBF中，DE＝BF，∠AED＝∠CFB， AE＝CF，∴△ADE≌△CBF(SAS)．∴AD＝CB，∠ADE＝∠CBF. ∴AD∥CB.∴四边形ABCD是平行四边形.
活动三：巩固新知，灵活运用 设计意图 让学生明白什么时候使用平行四边形的性质，什么时候使用平行四边形的判定，注意区分. 例1　(教材P47例4)如图，在ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．求证：四边形EBFD是平行四边形． 分析：根据E，F分别是AB，CD的中点， 四边形ABCD是平行四边形，可得EB平行且等于FD. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，EB∥FD. 又EB＝AB，FD＝CD，∴EB＝FD.∴四边形EBFD是平行四边形． 例2　如图，在ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E，F为垂足．求证：四边形AFCE是平行四边形． 证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴∠AED＝∠CFB＝90°，∠AEB＝∠CFD＝90°. ∴AE∥CF. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD. ∴∠ABE＝∠CDF.∴△ABE≌△CDF(AAS)．∴AE＝CF. ∴四边形AFCE是平行四边形． 【对应训练】 1.如图，在ABCD中，点E，F分别在边AD， BC上，添加下列条件中的一项，不能保证四边形AFCE是平行四边形的是( A ) ①AF＝CE；②BF＝DE；③∠AFC＝∠AEC；④∠BAF＝∠DCE A．①　　　　　B．②　　　　　C．③　　　　　D．④ 2．如图，在ABCD中，AE＝CG，BF＝DH，连接EF，FG，GH，HE.求证：四边形EFGH是平行四边形． 【教学建议】 引导学生厘清平行四边形的性质与判定．提醒学生：如果平行四边形是条件，那么用的是性质，而判定是在不知道这个四边形是平行四边形的情况下，利用已知条件来判定此四边形是平行四边形.
教学步骤 师生活动
证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，AD＝BC. ∵BF＝DH，∴BC－BF＝AD－DH，即CF＝AH. 在△AEH和△CGF中，∴△AEH≌△CGF(SAS)． ∴EH＝GF.同理，GH＝EF.∴四边形EFGH是平行四边形.
活动四：随堂训练，课堂总结 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：判定一个四边形是平行四边形的方法有哪几种？这些方法是从什么角度去考虑的？我们是通过什么方法得出平行四边形的这几种判定方法的？ 【知识结构】 【作业布置】 1．教材P50习题18.1第4，6题． 2．相应课时训练．
板书设计 18.1.2　平行四边形的判定 第2课时　平行四边形的判定2 1．用边的关系 2．用角的关系：两组对角分别相等． 3．用对角线的关系：对角线互相平分．
教学反思 　 本节课以生活中的实际问题入手，再通过一题多解的方式来进一步探究平行四边形的判定，并引导学生灵活选择判定方法． 从本节课的授课过程来看，一题多解能够调动学生发散思维.
解题方法
判断四边形是否为平行四边形一般从三个方面思考：
(1)从边看：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
(2)从角看：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
(3)从对角线看：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
例1　如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，连接AD.求证：四边形ABED是平行四边形．
分析：由AB∥DE，AC∥DF，利用平行线的性质可得出∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F.由BE＝CF可得出BC＝EF，进而可证出△ABC≌△DEF(ASA)，根据全等三角形的性质可得出AB＝DE，再结合AB∥DE，即可证出四边形ABED是平行四边形．
证明：∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F.
∵BE＝CF，∴BE＋CE＝CF＋CE，即BC＝EF.
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(ASA)．∴AB＝DE.
又AB∥DE，∴四边形ABED是平行四边形．
例2　如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F是对角线BD上的两点，且BE＝DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别是E，F.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)若AC与BD相交于点O，求证：OA＝OC.
证明：(1)∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°.
在Rt△ABE和Rt△CDF中，∴Rt△ABE≌Rt△CDF(HL)．
(2)∵△ABE≌△CDF，∴∠ABE＝∠CDF.∴AB∥CD.
又AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形．∴OA＝OC.
例3　如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OB＝OD，AD∥BC.
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)若AD＝12，OD＝5，AC＝26.
①求∠ADB的度数；
②S四边形ABCD＝120.
(1)证明：∵AD∥BC，∴∠ADO＝∠CBO.
在△AOD和△COB中，∴△AOD≌△COB(ASA)．∴AD＝BC.
又AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．
(2)解：①∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝26，∴OA＝OC＝AC＝13.
∵AD＝12，OD＝5，∴AD2＋OD2＝OA2.∴△AOD是直角三角形，∠ADO＝90°，即∠ADB＝90°.
②解析：由①可知∠ADB＝90°，∴BD⊥AD.∵四边形ABCD是平行四边形，∴BD＝2OD＝10.∴S四边形ABCD＝AD·BD＝12×10＝120.故答案为120.
例1　如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在边BC上，AB边上有一点F，且BF＝DC，连接EF，EB，FC.
求证：(1)△ABE≌△ACD；
(2)四边形EFCD是平行四边形．
证明：(1)∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AE＝AD，AB＝AC，∠EAD＝∠BAC＝60°.
∴∠EAD－∠BAD＝∠BAC－∠BAD，即∠EAB＝∠DAC.
在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD(SAS)．
(2)∵△ABE≌△ACD，∴BE＝CD，∠EBA＝∠DCA.
又BF＝DC，∴BE＝BF.
∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∠EBA＝∠DCA＝60°.∴△BEF为等边三角形．
∴∠EFB＝60°，EF＝BF.∴∠ABC＝∠EFB，EF＝DC.
∴EF∥BC，即EF∥DC.∴四边形EFCD是平行四边形．
例2　如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别在AD，BC上，AE＝CF，分别过点A，C作EF的垂线，垂足分别为G，H.
(1)求证：△AGE≌△CHF；
(2)连接AC，线段GH与AC是否互相平分？请说明理由．
分析：(1)利用AAS证明△AGE≌△CHF；
(2)连接CG，AH，通过证明四边形AHCG为平行四边形来证明AC，GH互相平分．
证明：(1)∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠BFE.∴∠AEG＝∠CFH.
∵AG⊥EF，CH⊥EF，∴∠AGE＝∠CHF＝90°.
在△AGE和△CHF中，∴△AGE≌△CHF(AAS)．
(2)线段GH与AC互相平分．理由如下：如图，连接CG，AH.∵△AGE≌△CHF，∴AG＝CH.
∵∠AGE＝∠CHF，∴AG∥CH.∴四边形AHCG是平行四边形．∴线段GH与AC互相平分．

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