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教学设计
课题 平行四边形的判定1 授课人
素养目标 1.理解并掌握用边、角、对角线来判定平行四边形的方法，培养学生严谨的书写表达能力． 2．理解平行四边形的判定定理与性质定理之间的区别和联系，感悟用逆向思维来研究问题． 3．综合运用平行四边形的判定方法与性质进行证明和计算.
教学重点 平行四边形的判定定理的理解与运用．
教学难点 平行四边形判定方法的探究及证明.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情境，导入新课 设计意图 通过实际问题引导学生思考怎样判定平行四边形. 【情境导入】 小华家准备安装一块平行四边形的装饰玻璃ABCD，但是粗心的小华不小心碰碎了玻璃的一部分，剩下的部分如图①所示．无奈的小华只好拿着剩下的玻璃去玻璃店买同样的玻璃．玻璃店的技师略一思量，很快就画出和原来一模一样的平行四边形，如图②所示．聪明的同学们，你们知道技师是用什么方法画出来的吗？ 答：我们知道两组对边分别平行的四边形是平行四边形，那么这里，我们过点C作CD∥AB，交过点A且与BC平行的直线于点D，就可以得到一个四边形ABCD.因为两组对边分别平行，所以四边形ABCD是平行四边形．可以知道，画出的平行四边形与原来的一样． 两组对边分别平行的四边形是平行四边形，它的概念就是它的一种判定方法，那么还有其他的判定方法吗？我们一起来探讨一下吧！ 【教学建议】 让学生自己动手画，看能不能在残角的形状上画出一个平行四边形.
活动二：逆向推理，探索新知 设计意图 利用逆向思维思考性质，让学生在解决问题的过程中总结平行四边形的判定定理. 探究点1　两组对边分别相等的四边形是平行四边形 通过前面的学习，我们知道，平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分．反过来，对边相等，或对角相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？也就是说，平行四边形的性质定理的逆命题成立吗？我们猜想可能是成立的． 下面我们一起来验证两组对边分别相等的四边形是不是平行四边形． 如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC. 求证：四边形ABCD是平行四边形． 证明：如图，连接BD.∵AB＝CD， AD＝CB，BD＝DB，∴△ABD≌△CDB(SSS)． ∴∠ABD＝∠CDB，∠ADB＝∠CBD. 【教学建议】 提醒学生：(1)必须是两组对边分别平行或相等，若是一组对边平行，另一组对边相等，则不能判定平行四边形． (2)连接对角线是解决平行四边
18.1.2　平行四边形的判定
第1课时　平行四边形的判定1
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设计意图 同样是逆向思维，让学生由性质猜测判定，再根据概念进行推理验证. 设计意图 通过动手操作，让学生在活动中得出平行四边形的判定定理，印象更加深刻. ∴AB∥CD，AD∥CB.∴四边形ABCD是平行四边形． 归纳总结：平行四边形的对边相等，反过来也是成立的，即两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 【对应训练】 1.在四边形ABCD中，AB＝9 cm，BC＝6 cm，CD＝9 cm，当AD＝6 cm时，四边形ABCD是平行四边形． 2.教材P47练习第1题． 探究点2　两组对角分别相等的四边形是平行四边形 我们知道平行四边形的对角相等，那么对角相等的四边形一定是平行四边形吗？我们来验证看看． 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，求证：四边形ABCD是平行四边形． 证明：∵∠A＝∠C，∠B＝∠D， ∠A＋∠C＋∠B＋∠D＝360°， ∴∠A＋∠B＝180°，∠A＋∠D＝180°. ∴AD∥BC，AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形． 归纳总结：两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 【对应训练】 一个四边形的三个相邻内角的度数依次如下，那么其中是平行四边形的是( D ) A．88°，108°，88°　　　　B．88°，104°，108° C．88°，92°，92° D．88°，92°，88° 探究点3　对角线互相平分的四边形是平行四边形 如图①，将两根细木条AC，BD的中点重叠并钉 在一起，用橡皮筋连接木条的端点，做成一个四 边形ABCD.转动两根木条，四边形ABCD一直 是平行四边形吗？说说你的理由． 答：四边形ABCD一直是平行四边形．理由：如 图②，将图形略为简化．∵AO＝CO，∠AOD＝ ∠COB，DO＝BO，∴△AOD≌△COB.∴AD＝CB. 同理可得AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形． 归纳总结：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 由上我们知道，平行四边形的性质定理的条件与结论互换以后，所得命题仍然成立．也就是说，平行四边形的判定定理与相应的性质定理互为逆定理． 【对应训练】 1．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，要使四边形ABCD为平行四边形，可添加的条件为( B ) A．AB＝AD，BC＝CD B．AO＝CO，BO＝DO C．AO⊥DO D．AO⊥AB 2．教材P47练习第2题． 形问题常用的辅助线，通过连接对角线，把平行四边形问题转化为三角形问题. 【教学建议】 提醒学生：(1)可根据平行线的判定得到两组对边分别平行，进而根据平行四边形的概念进行判定． (2)此判定定理的使用前提是两组对角分别相等，若两组邻角分别相等则不能判定平行四边形． 【教学建议】 学生学完三个判定定理后，教师进行总结，可根据情况综合出题．提醒学生：与对角线有关的平行四边形的判定定理一般易与全等三角形相结合．
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活动三：巩固新知，灵活运用 设计意图 通过例题及练习巩固新知，提升学生的解题能力. 例　(教材P46例3)如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是AC上的两点，并且AE＝CF.求证：四边形BFDE是平行四边形． 分析：根据平行四边形的性质可以得出AO＝CO， BO＝DO，再结合AE＝CF，得出四边形BFDE的对角线互相平分，即可得出四边形BFDE是平行四边形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO. ∵AE＝CF，∴AO－AE＝CO－CF，即EO＝FO. 又BO＝DO，∴四边形BFDE是平行四边形． 【对应训练】 如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O， AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，BE＝DF， AF∥CE.试判断四边形AECF、四边形ABCD的形状，并说明理由． 解：四边形AECF、四边形ABCD都是平行四边形．理由如下： ∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF.又AF∥CE， ∴四边形AECF是平行四边形．∴OA＝OC，OE＝OF.又BE＝DF， ∴OE＋BE＝OF＋DF，即OB＝OD.∴四边形ABCD是平行四边形. 【教学建议】 提醒学生根据情况选择不同的判定定理解决问题，比如例题中：(1)已知了一组对边平行，可找另一组对边平行；(2)有对角线，找对角线互相平分.
活动四：随堂训练，课堂总结 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：判定一个四边形是平行四边形的方法有哪几种？这些方法是从什么角度去考虑的？ 【知识结构】 【作业布置】 1．教材P50习题18.1第9，10，12，13，15题． 2．相应课时训练．
板书设计 18.1.2　平行四边形的判定 第1课时　平行四边形的判定1 1．两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 2．两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 3．两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 4．对角线互相平分的四边形是平行四边形.
教学反思 　 本课时以生活中的实际问题入手，再复习平行四边形的概念和性质，利用逆向思维引导学生发现性质定理与判定定理的关系． 在证明命题的过程中，让学生将判定方法进行对比和筛选，便于思维发散，不把思路局限在某一判定方法上.
解题方法：解题时应根据具体题目条件灵活选择平行四边形的判定方法：
①若已知一组对边平行，可证明另一组对边平行；
②若已知一组对边相等，可证明另一组对边相等；
③若已知条件与对角线有关，可证明对角线互相平分；
④若已知条件与角有关，可证明两组对角相等或对边平行．
注意：(1)一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形．
(2)平行四边形的判定定理与性质定理是互逆定理，解题时注意题设与结论的书写顺序．
例1　如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝110°，BE平分∠ABC交AD于点E，F是边BC上一点，∠FDC＝35°.求证：四边形BEDF是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠C＝∠BAD＝110°.
∴∠ABC＋∠BAD＝180°.∴∠ABC＝180°－110°＝70°.
∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABC＝35°.
∵∠CFD＝180°－∠C－∠FDC＝180°－110°－35°＝35°，
∴∠CBE＝∠CFD.∴BE∥FD.
又BF∥DE，∴四边形BEDF是平行四边形．
例2　如图，在ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AC与EF相交于点O，且AO＝CO.
(1)求证：△AOF≌△COE；
(2)连接AE，CF，则四边形AECF是(填“是”或“不是”)平行四边形．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠OAF＝∠OCE.
在△AOF和△COE中，∴△AOF≌△COE(ASA)．
(2)解析：由(1)得△AOF≌△COE，∴FO＝EO.又AO＝CO，∴四边形AECF是平行四边形．
例3　如图，点B，E分别在AC，DF上，AF分别交BD，CE于点M，n，∠A＝∠F，∠1＝∠2.
(1)求证：四边形BCED是平行四边形；
(2)已知DE＝2，连接Bn，若Bn平分∠DBC，求Cn的长．
(1)证明：∵∠A＝∠F，∴DE∥BC.
∵∠1＝∠2，且∠1＝∠DMF，∴∠DMF＝∠2.∴DB∥EC.
∴四边形BCED是平行四边形．
(2)解：∵Bn平分∠DBC，∴∠DBn＝∠CBn.
∵DB∥EC，∴∠CnB＝∠DBn.∴∠CnB＝∠CBn.∴Cn＝BC.
由(1)得四边形BCED是平行四边形，∴BC＝DE＝2.∴Cn＝BC＝2.
例1　如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝EF＝FD，连接AE，EC，CF，FA.
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若△ABE的面积为2，求△CFO的面积．
分析：(1)根据平行四边形的对角线互相平分可得OA＝OC，OB＝OD，结合BE＝FD可得OE＝OF，即可证明四边形AECF是平行四边形；
(2)根据等底同高的三角形面积相等可得S△AEF＝S△ABE，再根据平行四边形的性质可得S△CFO＝S△CEF＝S△AEF.
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.
∵BE＝FD，∴OB－BE＝OD－FD，即OE＝OF.
又OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形．
(2)解：∵S△ABE＝2，BE＝EF，∴S△AEF＝S△ABE＝2.
∵四边形AECF是平行四边形，∴S△CFO＝S△CEF＝S△AEF＝×2＝1.
例2　如图，已知∠xOy＝60°，点A在边Ox上，OA＝2，过点A作AC⊥Oy于点C，以AC为一边在∠xOy内作等边三角形ABC，点P是△ABC区域(包括各边)内的一点，过点P分别作PD∥Oy交Ox于点D，PE∥Ox交Oy于点E.设OD＝a，OE＝b，则a＋2b的取值范围是2≤a＋2b≤5.
分析：如图，过点P作PH⊥Oy于点H，先证明四边形EODP是平行四边形，得EP＝OD＝a，在Rt△HEP中，∠EPH＝30°，可得EH的长，计算a＋2b＝2OH，确认OH取得最大值和最小值的位置，可得结论．
解析：如图，过点P作PH⊥Oy于点H，过点B作BF⊥Oy于点F.
∵PD∥Oy，PE∥Ox，∴四边形EODP是平行四边形，
∠HEP＝∠xOy＝60°.
∴EP＝OD＝a，∠EPH＝30°.∴EH＝EP＝a.∴a＋2b＝2(a＋b)＝2(EH＋OE)＝2OH.
∵AC⊥Oy，∴∠ACO＝∠ACy＝90°，∠OAC＝90°－∠xOy＝30°.
∴OC＝OA＝1.∴AC＝＝＝.
∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC＝，∠ACB＝60°.∴∠BCF＝90°－60°＝30°.
∴BF＝BC＝.∴易得CF＝，OF＝OC＋CF＝.
当点P在AC边上时，点H与点C重合，此时OH最小，OH＝OC＝1，即a＋2b的最小值是2；
当点P在点B处时，OH最大，OH＝OF＝，即a＋2b的最大值是5.∴2≤a＋2b≤5.故答案为2≤a＋2b≤5.

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