资源简介

18.2　特殊的平行四边形
18．2.1　矩形
教学设计
课题 矩形的性质 授课人
素养目标 1.理解矩形的概念，明确矩形与平行四边形的区别和联系，体会特殊与一般之间的关系． 2.探究矩形的性质和识别条件，提高学生的推理能力． 3.利用矩形的性质定理进行证明和计算． 4.掌握直角三角形斜边上的中线的性质，会用它解决求线段长或线段倍分关系的问题..
教学重点 矩形性质定理和直角三角形斜边上的中线的性质的理解与运用．
教学难点 矩形性质定理和直角三角形斜边上的中线的性质的探究与证明.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：动态演示，导入新课 设计意图 动态演示平行四边形变成矩形的过程，使学生了解矩形的概念. 【情境导入】 拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，它还是平行四边形吗？使一个角是直角，这时它是什么图形？(动画演示拉动过程如图) 概念引入：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也就是长方形． 仔细观察下列实际生活中的图片，你觉得哪些是矩形的形象？ 矩形是生活中很常见的图形，你还能列举出矩形在生活中应用的其他例子吗？我们一起来探讨一下矩形的性质吧！ 【教学建议】 学生根据生活经验及图片思考矩形的概念，教师总结矩形的概念.
活动二：动手操作，探究新知 设计意图 通过动手操作，让学生在活动中得出矩形的性质，印象更加深刻. 探究点1　矩形的性质 如图，取一张矩形纸片，用直尺画出它的对角线． 1.矩形是特殊的平行四边形，它和平行四边形相比， 有什么特殊之处？答：有一个角是直角． 2．平行四边形的对角相等，邻角互补，那么矩形的四个角会有怎样的关系呢？答：矩形的四个角都相等，都是直角． 3．测量我们刚刚折纸时的两条对角线长度，这两个长度有什么关系？ 答：两条对角线长度相等． 下面我们一起来验证一下： 1.如图，在矩形ABCD中，∠A＝90°.求证：∠A＝∠B＝ ∠C＝∠D＝90°. 证明：∵矩形ABCD是特殊的平行四边形，∴AB∥CD， ∠A＝∠C.∵∠A＝90°，∴∠C＝90°，∠D＝180°－90°＝90°. 同理∠B＝90°.∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°. 【教学建议】 告诉学生：矩形作为特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，还有一些特殊性质．注意结合教材P53练习第3题让学生熟悉矩形的对称性.
第1课时　矩形的性质
教学步骤 师生活动
设计意图 引导学生发现直角三角形斜边上的中线的性质. 2.如图，四边形ABCD是矩形．求证：AC＝BD. 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝∠DCB＝90°，AB＝DC. 又BC＝CB，∴△ABC≌△DCB(SAS)．∴AC＝BD. 归纳总结：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等． 【对应训练】 1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是( D ) A．对边平行　　　B．对边相等　　　C．对角相等　D．对角线相等 2．如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连接DE，CE.求证：△ADE≌△BCE. 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，∠A＝∠B＝90°. ∵E是AB的中点，∴AE＝BE.∴△ADE≌△BCE(SAS)． 3．教材P53练习第3题． 探究点2　直角三角形斜边上的中线的性质 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.我们观Rt△ABC，在Rt△ABC中，BO是斜边AC上的中线，BO与AC有什么关系？ 1．矩形ABCD的对角线AC把矩形分成了两个三角形，在△ABC中∠ABC是什么角？ 答：直角． 2．AO与CO有什么关系？BO与DO有什么关系？ 答：AO＝CO，BO＝DO. 3．BO与BD有什么关系？与AC又有什么关系？ 答：BO＝BD，BO＝AC. 归纳总结：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 例1　(教材P53例1)如图，矩形ABCD的对角线 AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4， 求矩形对角线的长． 分析：因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线相等且互相平分的性质．根据矩形的这个性质和已知条件，可得△OAB是等边三角形，因此可求对角线的长度． 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC与BD相等且互相平分．∴OA＝OB. 又∠AOB＝60°，∴△OAB是等边三角形．∴OA＝AB＝4. ∴AC＝BD＝2OA＝2×4＝8. 【对应训练】 1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD＝BD， CD＝4，则AB的长为( A ) A．8　　　　　　B．6　　　　　　C．4　　　　　　D．2
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2．如图，O是矩形ABCD对角线的交点，∠AOD＝120°，AE平分∠BAD，则∠EAC＝15°. 3．教材P53练习第2题．
活动三：运用新知，巩固理解 设计意图 巩固学生对矩形性质的认知，同时要注意直角三角形斜边上的中线的性质. 例2　如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，且BE∶ED＝1∶3，AD＝6 cm.求AE的长． 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴BO＝OD＝BD＝AC＝OA，∠BAD＝90°. ∵BE∶ED＝1∶3，∴BE＝OE. 又AE⊥BD，∴AB＝AO＝BO.∴△ABO是等边三角形． ∴∠ABO＝60°.∴∠ADE＝90°－60°＝30°.∴AE＝AD＝×6＝3(cm)． 【对应训练】 1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF.若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则EF的长是( D ) A．2.2 cm　　　B．2.3 cm C．2.4 cm D．2.5 cm 2．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD＝12，求四边形ABOM的周长． 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴BC＝AD＝12，CD＝AB＝5，∠ABC＝90°. ∴AC＝＝＝13. ∵O是AC的中点，∴OB＝AC＝6.5. ∵M是AD的中点，∴OM是△ACD的中位线． ∴OM＝CD＝2.5，AM＝AD＝6. ∴四边形ABOM的周长为AB＋OB＋OM＋AM＝5＋6.5＋2.5＋6＝20. 【教学建议】 提醒学生：矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，在解题时常用到等腰三角形的性质.
活动四：随堂训练，课堂总结 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：矩形作为特殊的平行四边形，它的概念是什么？矩形有哪些特殊的性质？直角三角形斜边上的中线的性质是什么？ 【知识结构】 【作业布置】 1．教材P50习题18.1第5，11题，教材P62习题18.2第16题． 2．相应课时训练．
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板书设计 18.2.1　矩形 第1课时　矩形的性质 一、矩形的概念． 二、矩形的性质：1.边；2.角；3.对角线． 三、直角三角形斜边上的中线的性质．
教学反思 本节课的主要教学任务是矩形的性质及其推论，教学中让学生充分经历从实际生活中抽象数学图形到深入认识图形特征的过程，更好地理解平行四边形与矩形之间的从属关系和内在联系，在适度的方法训练中加强知识的灵活运用，使学生对于常见的转化方法也能灵活应用.
解题方法
(1)矩形是特殊的平行四边形，它的特殊性主要表现为四个角都是直角和两条对角线相等．
(2)矩形的性质是解决求线段的长度、角度等问题的常用工具，它可以用来验证两条线段是否相等，两条直线是否平行，两个角是否相等．
(3)由于矩形的四个角都是直角，则常把关于矩形的问题转化为直角三角形的问题来解决．
(4)矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，并且分成的四个等腰三角形的面积相等，因此在解决相关问题时，常常用到等腰三角形的性质．
(5)矩形的两条对角线的交点到四个顶点的距离相等．
例1　如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6.在边AD上取一点E，
使BE＝BC，过点C作CF⊥BE，垂足为F，则BF的长为2.
解析：∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝6，∠A＝∠ABC＝90°.又BE＝BC，∴BE＝6.∴AE＝＝＝2.∵CF⊥BE，∠ABC＝90°，∴∠BFC＝90°，∠ABE＝90°－∠EBC＝∠FCB.∴∠A＝∠BFC.又BE＝CB，∴△ABE≌△FCB(AAS)．∴BF＝AE＝2.故答案为2.
例2　如图，∠MOn＝90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在边OM，
On上，当点B在边On上运动时，点A随之在边OM上运动，矩形ABCD
的形状保持不变，其中AB＝6，BC＝2，则运动过程中点D到点O的最大距离是3＋.
解析：如图，取线段AB的中点E，连接OE，DE，OD.∵E是AB的中点，∠AOB＝90°，∴OE＝AE＝BE＝3.∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝2，∠DAB＝90°.∴DE＝＝＝.∵OD≤OE＋DE，∴当点D，E，O共线时，OD的长最大．∴点D到点O的最大距离＝OE＋DE＝3＋.故答案为3＋.
如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，对角线AC与
BD相交于点O，E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足
分别为F，G，则EF＋EG＝.
分析：连接OE，根据矩形的性质得到BC＝AD＝12，AO＝CO＝BO＝DO，∠ABC＝90°，再根据勾股定理得到AC＝＝13，求得OB＝OC＝，再根据三角形的面积公式即可求解．
解析：如图，连接OE.∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，BC＝AD＝12，AO＝CO＝BO＝DO.∴AC＝＝＝13.∴OB＝OC＝.∴S△BOC＝S△COE＋S△BOE＝OC·EF＋OB·EG＝S△ABC＝×AB·BC.∴×EF＋×EG＝××5×12.∴EF＋EG＝.故答案为.
例2　如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，连接DE，M，n分别是BC，DE的中点，连接Mn.
(1)求证：Mn⊥DE；
(2)若∠A＝60°，判断△EMD的形状，并说明理由．
(1)证明：如图，连接EM，DM，∵CE⊥AB，BD⊥AC，∴△BCE和△BCD都是直角三角形．
又M是BC的中点，∴EM＝BC，DM＝BC.∴EM＝DM.又n是DE的中点，∴Mn⊥DE.
(2)解：△EMD是等边三角形．理由如下：
∵∠A＝60°，∴∠ABC＋∠ACB＝180°－60°＝120°.由(1)可知EM＝DM＝BC.
又M是BC的中点，∴EM＝BM＝DM＝CM.
∴∠ABC＝∠BEM，∠ACB＝∠CDM.∴∠BEM＋∠CDM＝∠ABC＋∠ACB＝120°.
∴∠BME＋∠CMD＝360°－(∠ABC＋∠ACB)－(∠BEM＋∠CDM)＝120°.
∴∠EMD＝180°－(∠BME＋∠CMD)＝60°.
又EM＝DM，∴△EMD是等边三角形．

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