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教学设计
课题 三角形的中位线 授课人
素养目标 1.理解三角形中位线的概念，掌握三角形的中位线定理． 2.通过对三角形中位线的观察、测量获得猜想，进一步验证猜想，提高学生合情推理能力和逻辑思维能力． 3.能熟练运用三角形的中位线定理进行证明和计算，逐步提高学生分析问题和解决问题的能力.
教学重点 三角形中位线定理的理解及应用．
教学难点 三角形中位线定理的探索和证明.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情境，导入新课 设计意图 借助生活情境引入对三角形中位线的探究. 【情境导入】 如图，将任意一个三角形形状的蛋糕平均分给四个小朋友，要求每人分得的形状和大小必须完全相同，该如何切割？这个问题与三角形的中位线有关，学完本节课就可以解决这个问题． 【教学建议】 从实际问题出发，引导学生思考，留下疑问.
活动二：动手操作，探究新知 设计意图 让学生了解三角形的中位线的概念. 探究点1　三角形的中位线的概念 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE. 概念引入：像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 思考： 1．一个三角形有几条中位线？自己试着画一画． 答：一个三角形有三条中位线． 2．三角形的中位线和中线一样吗？有什么区别？ 答：不一样．三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段，而中线是连接三角形的顶点与其对边中点的线段． 探究点2　三角形的中位线定理 在纸上画一个三角形，记作△ABC，分别取AB，AC 边的中点D，E，连接DE. 1.借助量角器测量∠ADE与∠B的大小，并猜想DE 与BC之间的位置关系． 答：∠ADE＝∠B，由同位角相等，两直线平行，猜想DE∥BC. 2．用直尺分别测量DE与BC的长，它们之间存在怎样的数量关系？ 答：DE＝BC. 下面我们一起来验证DE与BC之间存在的位置关系和数量关系． 如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点．求证：DE∥BC， 【教学建议】 提醒学生注意中位线与中线的区别，可以动手画出三角形的各条中线及中位线，以加深印象． 【教学建议】 学生自己动手操作，验证三角形的中位线定理，通过证明三角形的中位线定理巩固前面所学的平行四边形的判定定理和性质定理，加强知识之间的联系.
第3课时　三角形的中位线
教学步骤 师生活动
设计意图 利用动手操作进一步验证三角形的中位线定理，引导学生发现三角形的中位线与平行四边形之间的紧密联系. DE＝BC. 证法1：如图①，延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF. ∵AE＝EC，DE＝EF，∴四边形ADCF是平行四边形，CFDA. ∴CFBD.∴四边形DBCF是平行四边形，DF BC. 又DE＝DF，∴DE∥BC，且DE＝BC. 证法2：如图②，延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC. ∵AE＝CE，∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△CFE(SAS)． ∴AD＝CF，∠ADE＝∠F.∴AD∥CF.又AD＝BD，∴BD CF. ∴四边形BCFD是平行四边形，DFBC. 又DE＝DF，∴DE∥BC，且DE＝BC. 归纳总结：三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 【对应训练】 1.如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，且 AB＝11 cm，BC＝8 cm，AC＝6 cm，则DE＝3 cm， DF＝4 cm，EF＝5.5 cm，△DEF的周长是12.5 cm. 2．如图，有一块等边三角形空地ABC，E，F分别是 边AB，AC的中点，量得EF＝5 m．若用篱笆围成四 边形BCFE，则所需篱笆的长度是25m.
活动三：巩固新知，灵活运用 设计意图 巩固学生对三角形中位线定理的理解与运用. 例　如图，在△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF，CE.求证：四边形DEFB是平行四边形． 证明：∵D，E分别是AC，AB的中点， ∴DE是△ABC的中位线． ∴DE∥BC，BC＝2DE.∵CF＝3BF，∴BC＝2BF. ∴DE＝BF.又DE∥BF，∴四边形DEFB是平行四边形． 【对应训练】 1～2.教材P49练习第1，3题． 3．解答活动一中提出的问题． 解：沿三角形的三条中位线切割即可．如图，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，根据三角形的中位线定理，易证△ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED. 4．如图，在ABCD中，E是AD的中点，点F在BA的延长线上， 【教学建议】 提醒学生：若遇两边中点，则首先想到中位线，或者遇到经过一边中点的平行线段，也要考虑运用三角形的中位线定理解题.
教学步骤 师生活动
且AF＝AB.连接EF，BD. (1)请用无刻度的直尺作出△ABD中与AB平行 的中位线EG(不写作法，保留作图痕迹)； (2)在(1)的基础上，判断四边形AGEF的形状，并说明理由． 解：(1)如图，EG即为所求． (2)四边形AGEF是平行四边形．理由如下： ∵EG是△ABD的中位线，∴EG∥AB，EG＝AB.又AF＝AB， ∴EG＝AF.又EG∥AF，∴四边形AGEF是平行四边形.
活动四：随堂训练，课堂总结 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：什么是三角形的中位线？三角形的中位线定理是什么？怎么证明三角形的中位线定理？【知识结构】 【作业布置】 1．教材P50习题18.1第5，11题，教材P62习题18.2第16题． 2．相应课时训练．
板书设计 18.1.2　平行四边形的判定 第3课时　三角形的中位线 1．三角形的中位线的概念． 2．三角形的中位线定理．
教学反思 　 本节课利用实际情境引入新课，为学生提供自主探索的空间，通过动手操作引导学生验证三角形的中位线定理，增强了课堂的趣味性.
1．解题方法
(1)一个三角形有三条中位线，每条中位线与第三边都有相应的位置关系和数量关系；位置关系可以证明两直线平行，数量关系可以证明线段的倍分关系．
(2)三角形的三条中位线又重新构成了一个新的三角形，且新三角形的周长是原三角形周长的一半．
(3)当题设条件中有中点时要想到三角形的中位线．
例1　如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB 相交于点P，E是PD的中点．若AD＝4，CD＝6 ，则EO的长为( A )
A．1　　　　　　B．2　　　　　　C．3　　　　　　D．4
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，CD＝6，
∴AB∥CD，AB＝CD＝6，OD＝OB.∴∠CDP＝∠APD.
∵DP平分∠ADC，∴∠ADP＝∠CDP.∴∠ADP＝∠APD.
∴AP＝AD＝4.∴BP＝AB－AP＝6－4＝2.
∵E是PD的中点，∴EO是△BDP的中位线．
∴EO＝BP＝1.故选A.
例2　如图，E为ABCD的边DC延长线上的一点，且CE＝DC，连接AE分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF.求证：AB＝2OF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD.
又CE＝CD，∴AB＝CE.
∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠E，∠ABF＝∠ECF.
在△ABF和△ECF中，
∴△ABF≌△ECF.∴BF＝CF.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO.∴OF是△ABC的中位线．∴AB＝2OF.
例3　如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，CD，过点E作EF∥DC，交BC的延长线于点F.
(1)求证：四边形CDEF是平行四边形；
(2)若四边形CDEF的周长是25 cm，AC的长为5 cm，求CF的长．
(1)证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线．∴DE∥BC，即DE∥CF.
又EF∥DC，∴四边形CDEF是平行四边形．
(2)解：设CF＝x cm.
∵CF＋EF＝CCDEF＝ cm，∴EF＝(－x) cm.
∵CE＝AC，∴CE＝ cm.
在Rt△CEF中，CF2＋CE2＝EF2，∴x2＋()2＝(－x)2，解得x＝6.∴CF的长为6 cm.
例1　如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，点H在线段CE上，连接BH，G，F分别为BH，CH的中点．
(1)求证：四边形DEFG为平行四边形；
(2)若DG⊥BH，BD＝3，EF＝2，求线段BG的长．
分析：(1)由三角形中位线定理得到DE∥BC，DE＝BC，GF∥BC，GF＝BC，从而得到GF∥DE，GF＝DE，即可证明四边形DEFG为平行四边形；
(2)由四边形DEFG为平行四边形得到DG＝EF，由DG⊥BH得到∠DGB＝90°，再由勾股定理即可得到线段BG的长．
(1)证明：∵D，E分别为AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线．∴DE∥BC，DE＝BC.
又点G，F分别为BH，CH的中点，∴GF是△BCH的中位线．∴GF∥BC，GF＝BC.
∴GF∥DE，GF＝DE.∴四边形DEFG为平行四边形．
(2)解：∵四边形DEFG为平行四边形，∴DG＝EF＝2.
∵DG⊥BH，∴∠DGB＝90°.∴BG＝＝＝.
例2　如图，已知BD，CE分别为△ABC中∠ABC，∠ACB的平分线，AM⊥BD于点M，An⊥CE于点n，连接Mn.试判断Mn与BC的位置关系及Mn与AB，AC，BC的数量关系，并说明理由．
解：Mn∥BC，且Mn＝(AB－BC＋AC)．理由：如图，延长AM，An，分别交BC于点F，G.
∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD.
∵AM⊥BD，∴∠AMB＝∠FMB＝90°.
又BM＝BM，∴△ABM≌△FBM(ASA)．∴AM＝FM，AB＝FB.
同理，An＝Gn，AC＝GC.∴Mn是△AGF的中位线．∴Mn∥BC，且Mn＝GF.
∵GF＝BF－BG＝AB－(BC－CG)＝AB－BC＋CG＝AB－BC＋AC，∴Mn＝(AB－BC＋AC)．

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