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第2课时　矩形的判定
教学设计
课题 矩形的判定 授课人
素养目标 1.理解并掌握矩形的判定方法． 2.通过互逆命题提出猜想，验证矩形的判定定理，培养学生分析问题和解决问题的能力． 3.使学生能应用矩形的判定方法进行证明和计算.
教学重点 矩形判定定理的理解与应用
教学难点 矩形的判定定理与性质定理的区别和联系.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情境，导入新课 设计意图 通过生活情境探究矩形的判定，这也是矩形的概念. 【情境导入】 同学们我们首先回忆一下： 1.矩形的概念：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 2.矩形的性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等． 矩形的概念可以用于判定矩形，我们来看一看下面的一个例子： 工人师傅做铝合金窗框，分下面三个步骤进行： (1)先截出两对符合规格的铝合金窗料，如图①，使AB＝CD，EF=GH； (2)摆放成如图②所示的四边形，则这时窗框的形状是平行四边形，根据的数学道理是两组对边分别相等的四边形是平行四边形； (3)将直角尺靠窗框的一个角，如图③，调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时，如图④，说明窗框合格，这时窗框是矩形，根据的数学道理是有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 概念可以判定矩形，比照平行四边形的判定，那矩形性质的逆命题是不是也可以用于矩形的判定呢？我们来看下. 【教学建议】 让学生根据生活情境，清晰地了解到矩形是由平行四边形的一个角转变成直角演变而来的，这是矩形的判定，也是它的概念.
活动二：动手验证，探究新知 设计意图 通过置疑材料引发同学的思考，引导学生先想到平行四边形，再想到矩形. 探究点1　对角线相等的平行四边形是矩形 如图，为了防蚊虫，数学老师为自己的宿舍门定制了一扇矩形形状的纱门．安装师傅上门安装时，数学老师只利用卷尺测量了两组对边的长度是否分别相等，又测量了两条对角线的长度是否相等，就犀利地指出该纱门不规正，要求重新制作．同学们想一想，数学老师是如何判断纱门不是矩形的？我们可以这么思考： 1．为什么测量两组对边的长度是否分别相等？ 答：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 2．为什么测量两条对角线的长度是否相等？ 答：由矩形的对角线相等的性质，我们猜测：对角线相等的平行四边形是矩形． 下面我们来验证我们的判断： 【教学建议】 (1)让学生思考，教师总结矩形的判定定理． (2)提醒学生：对角线相等的四边形不一定是矩形，必须对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，换句话说，这一条件必须建
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设计意图 利用逆向思维思考性质，让同学们在解决问题的过程中总结判定定理. 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，且AC＝BD. 求证：四边形ABCD是矩形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝DC，AB∥DC. 又AC＝DB，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB(SSS)，∴∠ABC＝∠DCB. ∵AB∥DC，∴∠ABC＋∠DCB＝180°. ∴∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形． 归纳总结：对角线相等的平行四边形是矩形． 几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形. 【对应训练】 教材P55练习． 探究点2　有三个角是直角的四边形是矩形 前面我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角．它的逆命题成立吗？即四个角都是直角的四边形是矩形吗？进一步，至少有几个角是直角的四边形是矩形？ 我们一起来验证一下： 已知：如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°. 求证：四边形ABCD是矩形． 证明：∵∠A＝∠B＝∠C＝90°， ∴∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°. ∴AD∥BC，AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形． 又∠A＝90°，∴四边形ABCD是矩形． 归纳总结：有三个角是直角的四边形是矩形． 几何语言：∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，∴四边形ABCD是矩形． 【对应训练】 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DF，DE分别是△BDC，△ADC的角平分线．求证：四边形DECF是矩形． 证明：∵∠ACB＝90°，D是 AB的中点，∴AD＝CD＝BD. ∵DE是△ADC的角平分线，∴DE⊥AC. ∴∠DEC＝90°.同理得∠CFD＝90°. 又∠ACB＝90°，∴四边形DECF是矩形. 立在平行四边形的基础上. 【教学建议】 引导学生逆向思考，告诉学生要判定矩形只要知道三个角是直角就足够了，因为由四边形内角和定理，很容易知道第四个角也是直角． 另外提醒学生：只有“有三个角是直角的四边形是矩形”这一判定定理是在四边形的基础上进行，另外两个判定方法均在平行四边形的基础上进行.
活动三：运用新知，巩固提升 设计意图 巩固学生对矩形判定定理的掌握情况. 例　(1)(教材P54例2)如图①，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD，∠OAD＝50°.求∠OAB的度数． 　　　　　 (2)(教材P54例2变式题)如图②，已知ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB＝4 cm，求ABCD的面积． 分析：(1)先证明ABCD是矩形，再根据矩形的四个内角均为90°， 【教学建议】 提醒学生：矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，在解题时常用到等腰三角形的性质.
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即可求出∠OAB的度数． (2) 先证明ABCD是矩形，再结合勾股定理求相应线段长，进而求出面积． 解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD. 又OA＝OD，∴AC＝BD.∴四边形ABCD是矩形． ∴∠DAB＝90°. 又∠OAD＝50°，∴∠OAB＝40°. (2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝AC，BO＝BD. ∵△AOB是等边三角形，∴AO＝BO＝AB＝4 cm.∴AC＝BD＝8 cm. ∴ABCD是矩形．∴∠ABC＝90°. 在Rt△ABC中，∵AB＝4 cm，AC＝8 cm， ∴BC＝＝＝4(cm)． ∴矩形ABCD的面积为4×4＝16(cm2)． 【对应训练】 1．依据所标数据，下列不一定是矩形的是( B ) 2.如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥AB，∠AOB＝60°，E，F分别是OB，OD的中点，连接AE，CE，CF，AF. (1)求证：四边形AECF为矩形； (2)若AB＝3，求矩形AECF的面积． (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD. ∵E，F分别是OB，OD的中点， ∴OE＝OB，OF＝OD. ∴OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形． ∵AC⊥AB，∠AOB＝60°，∴∠BAO＝90°，∠ABO＝30°，∴OA＝OB＝OE. ∴AC＝EF，∴AECF为矩形． (2)解：由(1)得OA＝OE＝OC＝OF，∠AOB＝60°，∠ABO＝30°， ∴△OAE是等边三角形，∠OFA＝∠OAF＝∠AOB＝30°＝∠ABO. ∴AE＝OA，AF＝AB＝3. 在Rt△OAB中，由勾股定理易得OA＝，∴AE＝OA＝. ∴矩形AECF的面积＝AF·AE＝3.
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活动四：随堂训练，课堂总结 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：矩形的判定方法有哪几种？ 【知识结构】 【作业布置】 1．教材P60习题18.2第1，2，3，8，14题． 2．相应课时训练．
板书设计 18.2.1　矩形 第2课时　矩形的判定 1．矩形的概念． 2．矩形的判定定理1. 3．矩形的判定定理2.
教学反思 本节课的主要任务是探究矩形的三个判定方法，教学过程中应将矩形的判定与平行四边形的判定作比较，让同学之间相互交流，说出矩形与平行四边形的区别与联系，进而更好地掌握知识． 教师安排对应的判定方法训练题巩固新知，学生需要根据已知条件灵活选用判定方法，提升分析问题和解决问题的能力.
解题方法：判定一个四边形是矩形时，首先要分清是在四边形的基础上还是在平行四边形的基础上判定，然后再根据已知条件选择合理的方法．
注意：(1)对角线相等的四边形不一定是矩形(如等腰梯形)．
(2)对角线相等且互相平分的四边形是矩形．
(3)两组对边分别平行且对角线相等的四边形是矩形．
　例1　如图，C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形．
(1)求证：四边形ACED是平行四边形；
(2)若AB＝AE，求证：四边形ACED是矩形．
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD＝BC.
∵C是BE的中点，∴BC＝CE，∴AD＝CE.∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形．
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC.∵AB＝AE，∴DC＝AE.
又四边形ACED是平行四边形，∴四边形ACED是矩形．
例2　如图，ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.求证：四边形EFGH是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠DAB＋∠ABC＝180°.
又AE平分∠DAB，BG平分∠ABC，∴∠EAB＋∠ABG＝×180°＝90°.∴∠EFG＝∠AFB＝90°.
同理可证∠AED＝∠BGC＝90°.∴四边形EFGH是矩形．
例3　如图，在△ABC中，O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交△BCA的外角平分线于点F.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长；
(3)当点O在AC上运动到什么位置，四边形AECF是矩形？请说明理由．
(1)证明：∵CF平分∠ACD，且MN∥BD，∴∠ACF＝∠FCD＝∠CFO，∴OF＝OC.
同理可证OC＝OE，∴OE＝OF.
(2)解：由(1)知OF＝OC＝OE，∴∠OCF＝∠OFC，∠OCE＝∠OEC，∴∠OCF＋∠OCE＝∠OFC＋∠OEC.
又∠OCF＋∠OCE＋∠OFC＋∠OEC＝180°，∴∠ECF＝∠OCF＋∠OCE＝90°.
∴EF＝＝＝13，∴OC＝EF＝.
(3)解：当点O运动到AC的中点处时，四边形AECF为矩形．理由如下：当点O运动到AC的中点处时，OA＝OC.由(1)知OE＝OF，∴四边形AECF为平行四边形．由(2)知∠ECF＝90°，∴四边形AECF为矩形．
例1　如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且M，N分别为OA，OC的中点，连接并延长BM至点E，使EM＝BM，连接DE，DN.
(1)求证：△AMB≌△CND；
(2)若BD＝2AB，且AB＝5，DN＝4，求四边形DEMN的面积．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，OA＝OC.∴∠BAM＝∠DCN
又M，N分别为OA，OC的中点，∴AM＝OM＝OA，CN＝ON＝OC.∴AM＝CN.
在△AMB和△CND中，∴△AMB≌△CND(SAS)．
(2)解：∵△AMB≌△CND，∴BM＝DN，∠ABM＝∠CDN.∵BM＝EM，∴DN＝EM.
∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO.∴易得∠MBO＝∠NDO.∴EM∥DN.∴四边形DEMN是平行四边形．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴BD＝2OB.∵BD＝2AB，∴AB＝OB.
又M是AO的中点，∴BM⊥AO.∴∠EMN＝90°.∴四边形DEMN是矩形．
∵AB＝5，DN＝BM＝4，∴AM＝＝＝3.
由(1)知OM＝AM＝OA，ON＝CN＝OC，OA＝OC，∴MN＝OM＋ON＝2AM＝6.
∴矩形DEMN的面积为MN·DN＝6×4＝24.
例2　如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点E，G为AD的中点，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD.
(1)求证：AB＝AF；
(2)若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠AFG＝∠DCG.
∵G为AD的中点，∴AG＝DG.又∠AGF＝∠DGC，∴△AGF≌△DGC，∴AF＝DC，∴AB＝AF.
(2)解：四边形ACDF是矩形．证明：∵AF＝CD，AF∥CD，∴四边形ACDF是平行四边形．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD＝∠BCD＝120°，∴∠FAG＝60°.
∵AB＝AG＝AF，∴△AFG是等边三角形，∴AG＝FG.∵△AGF≌△DGC，∴FG＝CG.
∵AG＝DG，∴易得AD＝CF，∴四边形ACDF是矩形．

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