资源简介

第2课时　菱形的判定
教学设计
课题 菱形的判定 授课人
素养目标 1.理解并掌握菱形的判定方法，体会类比数学思想方法的作用． 2.引导学生从边和对角线探究菱形的判定定理，养成主动探索的学习习惯． 3.运用菱形的判定方法进行证明或计算，发展学生的推理能力.
教学重点 菱形的判定方法的理解与应用．
教学难点 菱形的判定定理与性质定理的区别和联系
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：类比推理，导入新课 设计意图 通过类比学习，激发学生的好奇心和求知欲，引入本节课要研究的内容. 【类比导入】 前面我们学习平行四边形和矩形时，都可以用性质得出相应的判定，那么我们学习菱形的判定时是否也可以反推菱形的性质来得到它的判定呢？我们大家一起来尝试一下吧！ 【教学建议】 引导学生进行类比、思考、分析，由平行四边形和矩形的判定推断菱形的判定，并回忆上一课时菱形的概念．
活动二：动手验证，探究新知 设计意图 通过图形的变化，让学生感受四边形是菱形时对角线的特征，引导学生得出菱形的判定方法． 探究点1　对角线互相垂直的平行四边形是菱形 如图，用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字， 四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形． (1)转动木条，这个四边形总有什么特征？它是什么四边形？ 答：这个四边形的对角线总是互相平分，它是平行四边形． (2)继续转动木条，观察橡皮筋围成的四边形什么时候变成菱形？ 答：当这个四边形的对角线互相垂直时变成菱形． 猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 【教学建议】 让学生动手实践得到菱形的判定方法，教师注意提醒学生：这里对角线互相垂直的前提条件是在平行四边形内，如果是一般的四边形，则应
教学步骤 师生活动
设计意图 利用逆向思维思考性质，让同学们在解决问题的过程中总结判定定理. 下面我们来进行验证： 已知：如图，在ABCD中，对角线AC， BD相交于点O，且BD⊥AC.求证：ABCD是菱形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO.∵BD⊥AC，∴AB＝BC(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等)．∴ABCD是菱形． 归纳总结：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD，∴ABCD是菱形． 例1　(教材P57例4)如图，ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AB＝5，AO＝4，BO＝3.求证：ABCD是菱形. 证明：∵AB＝5，AO＝4，BO＝3，∴AB2＝AO2＋BO2， ∴∠AOB＝90°.∴AC⊥BD，∴ ABCD是菱形. 【对应训练】 1.如图，在 ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若添加一个条件，可推出 ABCD是菱形，则该条件可以是( C ) A.AB＝AC　　　　B．AC＝BD C.AC⊥BD D．AB⊥AC 2.教材P58练习第2题. 探究点2　四条边相等的四边形是菱形 老师拿四根长度一样的新粉笔，首尾顺次相接拼成一 个四边形，在黑板上画出相应的图形并标上字母(如图)， 得到的四边形ABCD是菱形吗？是 猜想：四条边相等的四边形是菱形. 下面我们来进行验证： 如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD.求证：四边形ABCD是菱形. 证明：∵AB＝CD，BC＝AD，∴四边形ABCD是平行四边形. 又AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形. 归纳总结：四条边相等的四边形是菱形. 几何语言：∵AB＝BC＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形. 【对应训练】 1.如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别是AB， BC，CD，AD的中点．求证：四边形EFGH是菱形. 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC，AB＝CD. 满足对角线互相垂直且平分． 【教学建议】 提醒学生：若已知邻边相等，要证明这个四边形是菱形，可用两种方法：(1)先证明这个四边形是平行四边形，再利用邻边相等得到菱形；(2)直接证明四条边都相等.
教学步骤 师生活动
∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点， ∴AH＝DH＝BF＝CF，AE＝BE＝CG＝DG. ∴△AHE≌△BFE≌△CFG≌△DHG(SAS)， ∴HE＝FE＝FG＝HG，∴四边形EFGH是菱形. 2.教材P58练习第3题.
活动三：综合运用，巩固提升 设计意图 巩固学生对菱形的判定的认识. 　例2　如图，在ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF. (1)求证：四边形ABEF是菱形； (2)若AE＝6，BF＝8，CE＝3，求 ABCD的面积. (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝EO，AD∥BC，∴∠EBF＝∠AFB. ∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠EBF，∴∠ABF＝∠AFB， ∴AB＝AF.∵BO⊥AE，AO＝EO，∴AB＝EB，∴BE＝AF. ∵BE∥AF，∴四边形ABEF是平行四边形.又AB＝AF， ∴ ABEF是菱形. (2)解：如图，过点F作FG⊥BC于点G. ∵四边形ABEF是菱形,AE＝6，BF＝8，OE＝AE＝3，OB＝BF=4. 在Rt△BOE中， BE＝＝＝5. ∵S菱形ABEF＝AE·BF＝BE·FG，∴×6×8＝5FG，∴FG＝. ∵BC＝BE＋CE＝5＋3＝8，∴SABCD＝BC·FG＝8×＝. 【教学建议】 学生独立思考并完成例题，教师点评．提醒学生注意：(1)已知角方面的条件可考虑利用其得到边的相等关系，为证明菱形创造条件；(2)进行第(2)问计算时，求 ABCD的面积，可利用第(1)问的结论，先由菱形的两种面积计算方法求得关键的线段长.
活动四：随堂训练，课堂总结 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：菱形的判定方法有哪几种？矩形和菱形小结： 【知识结构】 【作业布置】 1．教材P60习题18.2第6，10题． 2．相应课时训练．
教学步骤 师生活动
板书设计 18.2.2　菱形 第2课时　菱形的判定 1．菱形的概念． 2．菱形的判定定理1. 3．菱形的判定定理2.
教学反思 新课导入时让学生动手制作菱形，感知菱形判定的条件，让学生在轻松愉快的氛围中自然、水到渠成地得到菱形的判定定理． 在运用判定时，要遵循先易后难的原则，让学生先会运用判定解决简单的证明题，再由浅入深，学会灵活运用．
解题方法：根据题设条件灵活选择菱形的判定方法．
(1)用边来判定：①先说明四边形是平行四边形，再说明有一组邻边相等；②说明四边形的四条边都相等．
(2)用对角线进行判定：①先说明四边形是平行四边形，再说明四边形的对角线互相垂直；②说明四边形的对角线互相垂直平分．
注意：对角线垂直的四边形不一定是菱形，必须是对角线互相垂直的平行四边形才是菱形．
例1　如图，四边形ABCD是平行四边形，DE∥BF，且分别交对角线AC于点E，F，连接BE，DF.
(1)求证：AE＝CF；
(2)若BE＝DE，求证：四边形EBFD为菱形．
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥CB，∴∠DAE＝∠BCF.
∵DE∥BF，∴∠DEF＝∠BFE，∴∠AED＝∠CFB.
在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF(AAS)，∴AE＝CF.
(2)由(1)知△ADE≌△CBF，∴DE＝BF.
∵DE∥BF，∴四边形EBFD是平行四边形．又BE＝DE，∴四边形EBFD为菱形．
例2　如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交AB，DC于点E，F，连接AF，CE.
(1)若OE＝，求EF的长；
(2)判断四边形AECF的形状，并说明理由．
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AO＝CO，∴∠FCO＝∠EAO.
在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF(ASA)．
∴OE＝OF＝，∴EF＝2OE＝3.
(2)四边形AECF是菱形．理由：∵△AOE≌△COF，∴AE＝CF.
∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．
又EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形．
例1　如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，AB＝3，AC＝2，则四边形ABCD的面积为( A )
A．4　　　　　　　B．6　　　　　　　C．8　　　　　　　D．5
解析：如图，过点A分别作AE⊥CD于点E，AF⊥BC于点F，连接BD交AC于点O.
∵两条纸条宽度相同，∴AE＝AF.
∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．
∵SABCD＝BC·AF＝CD·AE，AE＝AF，∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形．
∴AO＝CO＝AC＝×2＝1，BO＝DO，AC⊥BD.
∴BO＝＝＝2，∴BD＝4.
∴四边形ABCD的面积＝BD·AC＝×4×2＝4.故选A.
例2　如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF.
(1)求证：△ADE≌△CBF；
(2)连接AF，CE.当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AD＝CB.
∴∠ADB＝∠CBD，∴∠ADE＝∠CBF.
在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF(SAS)．
(2)解：当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是菱形．理由：
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD.
∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴ABCD是菱形．
∴AC⊥BD，∴AC⊥EF.
∵DE＝BF，∴OE＝OF.
又OA＝OC，∴四边形AFCE是平行四边形．
∵AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形．

展开更多......

收起↑