资源简介

18.2.3　正方形
第1课时　正方形的性质
教学设计
课题 正方形的性质 授课人
素养目标 1.理解正方形的概念，体会特殊平行四边形之间的关系． 2.通过观察、比较、动手操作探究正方形边、角、对角线、对称的性质，培养学生的归纳探究能力和数学表达能力． 3.利用正方形的性质定理进行计算或证明，培养学生分析问题和解决问题的能力.
教学重点 正方形性质的理解及其应用．
教学难点 正方形与平行四边形、矩形、菱形的区别与联系.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情境，导入新课 设计意图 通过图片展示，引导学生思考正方形的概念及性质. 【情境导入】 仔细观察下列实际生活中的图片，你会发现这些都是正方形的形象． 正方形是我们熟悉的图形，你还能列举出正方形在生活中应用的其他例子吗？结合已有经验，类比菱形与矩形，正方形的概念是怎样的呢？ 教师总结：正方形可以定义为有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形．下面我们一起来探讨一下正方形的性质吧！ 【教学建议】 让学生根据生活经验及图片思考正方形的概念，学生从矩形和菱形的角度回答正方形的概念也可以，正确即可.
活动二：动手操作，探究新知 设计意图 通过回忆体会正方形与平行四边形、矩形、菱形的区别与联系. 探究点　正方形的性质 1．边、角、对角线的性质探究 (1)我们回忆一下小学学过的正方形，它有什么性质？ 答：正方形的四条边都相等，四个角都是直角． (2)上面正方形的概念中提到有一组邻边相等的平行四边形是什么图形？ 答：菱形． (3)上面正方形的概念中提到有一个角是直角的平行四边形是什么图形？ 答：矩形． 事实上，如果把矩形、菱形各添加一个条件，平行四边形添加两个条件均可得到正方形，可以用下面结构图直观呈现这种关系： 归纳总结：正方形既是矩形，又是菱形，它既有矩形的性质，又有菱形的性质． 我们根据前边的学习，除了边和角，还可以研究一下正方形的对角线，那么它的对角线就是互相平分、相等且垂直． 【教学建议】 让学生回忆并类比平行四边形、矩形、菱形的性质来研究正方形的性质，引导学生从正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形入手，分别从边、角、对角线、对称性等几个方面进行归纳总结．
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设计意图 引导学生发现直角三角形斜边上的中线的性质. 正方形的对角线除了上述基本性质外，还有无其他性质呢？事实上，它可以将正方形分成四个全等的等腰直角三角形．我们可以试着证明： (教材P58例5)求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC， BD相交于点O. 求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形. 证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC＝BD，AC⊥BD，AO＝BO＝CO＝DO.∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO. 2.正方形的对称性 我们再想一想：正方形是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ 答：如图，取一张正方形纸片，将它沿过对边中点的 直线和对角线折叠，折叠后的两部分均能重合. 归纳总结：正方形是轴对称图形，它的对称轴有四条， 分别是对边中点的连线以及两条对角线所在的直线. 【对应训练】 1．正方形的一条边长是3，那么它的对角线长是3 2.如图，在正方形ABCD中，点E在BD上，且BE＝CD， 则∠BEC的度数为67.5°. 3.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，AE＝BF，连接AF，DE.求证：△ADE≌△BAF. 证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝BA， ∠DAE＝∠ABF＝90°. 在△ADE和△BAF中，AD＝BA，∠DAE＝∠ABF，AE＝BF， ∴△ADE≌△BAF(SAS).
活动三：综合运用，巩固提升 设计意图 强化学生对正方形性质的掌握. 例　如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在CD的延长线上，且BE＝DF. (1)求证：AE＝AF，AE⊥AF； (2)若BD与EF相交于点M，连接AM， 试判断AM与EF的数量关系和位置关系，并说明理由. (1)证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠ABE＝∠BAD＝∠ADC＝∠ADF＝90°，AB＝AD. 又BE＝DF，∴△ABE≌△ADF(SAS)，∴AE＝AF，∠BAE＝∠DAF. ∴∠DAF＋∠EAD＝∠BAE＋∠EAD，即∠EAF＝∠BAD＝90°，∴AE⊥AF. 【教学建议】 提醒学生：(1)与正方形性质相关的证明题往往是利用正方形边、角、对角线的性质，将其转化为证明三角形全等的条件；(2)正方形两条对角线将正方形分割为四个全等的等
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(2)解：AM＝EF，AM⊥EF.理由如下：如图，过点E作EN∥CD，交BD于点N，∴∠MNE＝∠MDF，∠MEN＝∠MFD，∠NEB=∠C＝90°.∵四边形ABCD为正方形，∴∠NBE＝45°， ∴∠BNE＝90°－∠NBE＝45°，∴∠NBE＝∠BNE，∴BE＝NE. 又BE＝DF，∴NE＝DF，∴△MNE≌△MDF(ASA)，∴EM＝FM. ∵AE＝AF，∠EAF＝90°，∴AM＝EF，AM⊥EF. 【对应训练】 1.如图，AC是正方形ABCD的对角线，若以AD为边向正方形内部作等边三角形ADE，边DE交AC于点F，则∠EFC＝75°. 2.如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是85. 3.教材P59练习第2题． 腰直角三角形，可得到45°角.
活动四：随堂训练，课堂总结 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：正方形的概念是什么？正方形有哪些性质？正方形与平行四边形、矩形、菱形有怎样的区别和联系？【知识结构】 【作业布置】 1.教材P61习题18.2第7，12，15，17题. 2．相应课时训练．
板书设计 18.2.3　正方形 第1课时　正方形的性质 一、正方形的概念 二、正方形的性质 1.边.2.角.3.对角线.4.对称性.
教学反思 正方形性质的探究内容依旧集中在边、角、对角线三个方面，教学中注意引导学生思索平行四边形、矩形、菱形和正方形的区别与联系，使其形成完整的四边形知识网络.的应用，可以培养学生的应用意识 从本节课的授课过程来看，灵活运用了多种教学方法，既有与现实生活的联系，又有动手操作，调动了学生学习的积极性，充分发挥了学生的主体作用.
解题方法：如何区分平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质？
①从边的角度来看：平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有对边平行且相等的性质，而菱形和正方形还具有四条边都相等的性质．
②从角的角度来看：平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有对角相等且邻角互补的性质，而矩形和正方形还具有四个角都是直角的性质．
③从对角线的角度来看：平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有对角线互相平分的性质，而矩形和正方形还具有对角线相等的性质，菱形和正方形还具有对角线互相垂直的性质．
例1　如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD＝1 500 m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F.若小敏行走的路程为3 100 m，则小聪行走的路程为4 600m.
解析：如图，连接GC.∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCD＝90°，AD＝CD，∠ADB＝∠CDB＝45°.
又GE⊥CD，∴△DEG是等腰直角三角形．∴DE＝GE.
在△AGD和△CGD中， ∴△AGD≌△CGD(SAS)，∴AG＝CG.
∵GE⊥CD，GF⊥BC，∴∠GEC＝∠ECF＝∠GFC＝90°，∴四边形GECF是矩形．
∴EF＝CG，∴EF＝AG.∴BA＋AD＋DE＋EF－BA－AG－GE＝AD＝1 500 m.
∵小敏共走了3 100 m，即BA＋AG＋GE＝3 100 m，
∴小聪行走的路程为BA＋AD＋DE＋EF＝3 100＋1 500＝4 600(m)．
例2　如图，在边长为6的正方形ABCD中，M为对角线BD上一点，连接AM并延长，交CD于点P.若PM＝PC，求AM的长．
解：∵四边形ABCD是边长为6的正方形，∴AD＝CD＝6，∠ADC＝90°，∠ADM＝∠CDM＝45°.
在△ADM和△CDM中，∴△ADM≌△CDM(SAS)，
∴∠DAM＝∠DCM.
∵PM＝PC，∴∠CMP＝∠DCM，∴∠APD＝∠CMP＋∠DCM＝2∠DCM＝2∠DAM.
∵∠APD＋∠DAM＝180°－∠ADC＝90°，∴∠DAM＝30°.
设PD＝x，则AP＝2PD＝2x，PM＝PC＝CD－PD＝6－x，∴AD＝＝x＝6，解得x＝2.
∴PM＝6－x＝6－2，AP＝2x＝4，∴AM＝AP－PM＝4－(6－2)＝6－6.
例1　如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别是BC，CD上一动点，且BE＝CF，连接AE，BF交于点P，连接CP，则CP的最小值是( A )
A．2－2　　　　　　　B．3－2　　　　　　　C．2　　　　　　D.＋2
解析：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°.
在△ABE和△BCF中， ∴△ABE≌△BCF(SAS)，
∴∠BAE＝∠CBF.
∵∠CBF＋∠ABF＝90°，∴∠BAE＋∠ABF＝90°，∴∠APB＝90°.
如图，设AB的中点为G，连接GP，GC，则GP＝GB＝AB＝×4＝2.
∵GP＋CP≤GC，∴当点C，P，G在同一条直线上时，CP有最小值GC－GP.
∵BC＝4，BG＝2，∴GC＝＝＝2.∴CP的最小值是2－2.故选A.
例2　如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为(－4，4)．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；同时，点Q从点O出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接BP，过点P作BP的垂线，与经过点Q且平行于y轴的直线l相交于点D.BD与y轴交于点E，连接PE.设点P运动的时间为t s.
(1)∠PBD的度数为45°，点D的坐标为(t，t)(用含t的代数式表示)．
(2)当t为何值时，△PBE为等腰三角形？
(3)探索△POE的周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．
解：(1)解析：由题意可得AP＝OQ＝1×t＝t，∴易得AO＝PQ.
∵四边形OABC是正方形，∴AO＝AB＝BC＝OC，∠BAO＝∠AOC＝∠OCB＝∠ABC＝90°.
∵DQ∥OC，∴∠PQD＝∠AOC＝90°.
∵DP⊥BP，∴∠BPD＝90°.∴∠BPA＝90°－∠DPQ＝∠PDQ.
∵AO＝PQ，AO＝AB，∴AB＝QP.
在△BAP和△PQD中， ∴△BAP≌△PQD(AAS)．∴AP＝QD，BP＝PD.
∵∠BPD＝90°，BP＝PD，∴∠PBD＝∠PDB＝45°.
∵AP＝t，∴QD＝t.∴点D的坐标为(t，t)．
(2)①若PB＝PE，由△BAP≌△PQD得PB＝PD，显然PB≠PE，∴这种情况不存在，应舍去．
②若EB＝EP，则∠BPE＝∠PBE＝45°.∴∠BEP＝90°.∴∠PEO＝90°－∠BEC＝∠EBC.
在△POE和△ECB中，∴△POE≌△ECB(AAS)．∴OE＝CB＝OC.
∴点E与点C重合．∴点P与点O重合．∴AP＝AO＝t.
∵B(－4，4)，∴AO＝CO＝4.此时t＝4.
③若BP＝BE，在Rt△BAP和Rt△BCE中，∴Rt△BAP≌Rt△BCE(HL)．∴AP＝CE.
∵AP＝t，∴CE＝t.∴PO＝EO＝4－t.
∵∠POE＝90°，∴EP＝＝(4－t)．
如图，延长OA到点F，使得AF＝CE，连接BF.
在△FAB和△ECB中，∴△FAB≌△ECB(SAS)．∴FB＝EB，∠FBA＝∠EBC.
∵∠EBP＝45°，∠ABC＝90°，∴∠ABP＋∠EBC＝45°.
∴∠FBP＝∠ABP＋∠FBA＝∠ABP＋∠EBC＝45°.∴∠FBP＝∠EBP.
在△FBP和△EBP中，∴△FBP≌△EBP(SAS)．∴FP＝EP.∴EP＝FP＝FA＋AP＝CE＋AP.
∴EP＝t＋t＝2t.∴(4－t)＝2t.解得t＝4－4.
综上所述，当 t为4或4－4时，△PBE为等腰三角形．
(3)△POE的周长不随时间t的变化而变化．由(2)可得EP＝CE＋AP，
∴OP＋PE＋OE＝OP＋AP＋CE＋OE＝AO＋CO＝4＋4＝8.∴△POE的周长是定值，这个定值为8.

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