资源简介

18.2.2　菱形
第1课时　菱形的性质
教学设计
课题 菱形的性质 授课人
素养目标 1.理解菱形的概念，了解菱形与平行四边形之间的关系． 2．经历菱形性质定理的探索过程，发展学生的推理能力． 3．能运用菱形的性质定理进行计算或证明，提高学生分析问题、解决问题的能力.
教学重点 菱形性质定理的理解和应用．
教学难点 菱形性质定理的探究与证明.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：动态演示，导入新课 设计意图 动态演示平行四边形变成菱形的过程，使学生了解菱形的概念. 【情境导入】 拿一个活动的平行四边形教具，移动它的一条边，使这条边与邻边的长度相等，这时它是什么图形？(动画演示拉动过程如图) 概念引入：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 仔细观察下列实际生活中的图片，你觉得哪些是菱形的形象？ 菱形是生活中很常见的图形，你还能列举出菱形在生活中应用的其他例子吗？我们一起来探讨一下菱形的性质吧！ 【教学建议】 让学生根据生活经验及图片思考菱形的概念，教师总结并提示菱形的概念既是它的一种判定方法，又是它的一个基本性质.
活动二：动手操作，探究新知 设计意图 通过动手操作让学生了解菱形的性质. 探究点1　菱形的性质 将一个菱形分别沿它的两条对角线对折，然后打开． 观察图形，回答下列问题： (1)菱形在对称性方面有什么特点？ 答：菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴． (2)菱形是特殊的平行四边形，它和平行四边形相比，有什么特殊之处？ 答：菱形在平行四边形的基础上多了邻边相等的条件． (3)平行四边形的两组对边分别相等，那么菱形的四条边有怎样的关系呢？ 答：由于菱形是有一组邻边相等的平行四边形，由平行四边形对边相等的性质容易发现菱形的四条边都相等． 归纳总结：菱形的四条边都相等． (4)我们通过刚刚的折纸，可以发现菱形的两条对角线有什么位置关系？ 答：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． 下面我们来试着证明这条性质： 求证：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． 【教学建议】 (1)引导学生类比平行四边形和矩形，从边、角和对角线三个方面来研究菱形的性质． (2)告诉学生以下两点： ①菱形作为特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的性质外，还具有四条边都相等，两条对角线互相垂直，
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设计意图 引导学生发现直角三角形斜边上的中线的性质. 已知：如图，菱形ABCD的对角线相交于点O. 求证：AC⊥BD，AC平分∠BAD和∠BCD，BD 平分∠ABC和∠ADC. 证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，OB＝OD， ∴AC⊥BD，AC平分∠BAD(等腰三角形的三线合一)． 同理，CA平分∠BCD，BD平分∠ABC，DB平分∠ADC. 归纳总结：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．综合来看，这两条性质可用下面的几何语言来表示： 几何语言：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，AC平分∠BAD， CA平分∠BCD，BD平分∠ABC，DB平分∠ADC. 【对应训练】 1．菱形不具有的性质是( B ) A．四条边都相等　　　　　　B．对角线相等 C．是轴对称图形 D．是中心对称图形 2．如图，BD是菱形ABCD的一条对角线，点E在BC的延长线上．若∠ADB＝32°，则∠DCE的度数为64°. 3．教材P57练习第1题． 探究点2　菱形的面积 由于菱形的对角线互相垂直，我们发现，菱形的对角线可以把菱形分成四个全等的直角三角形． 那么菱形的面积计算除了像平行四边形那样利用 底×高，是否可以转化成三角形来求得？ 答：菱形的面积还可以利用4个全等的三角形面积的和来计算． S菱形ABCD＝4S△ABO＝4×AO·BO＝×2AO×2BO＝AC·BD. 归纳总结：菱形被它的两条对角线分成四个全等的直角三角形，它们的底和高分别是两条对角线的一半．所以利用三角形的面积公式可以得到，菱形的面积等于它的两条对角线长的积的一半． 例1　(教材P56例3)如图，菱形花坛ABCD的边长为20 m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD.求两条小路的长(结果保留小数点后两位)和花坛的面积(结果保留小数点后一位)． 解：∵花坛ABCD的形状是菱形， ∴AC⊥BD，∠ABO＝∠ABC＝×60°＝30°. 在Rt△OAB中，AO＝AB＝×20＝10， BO＝＝＝10. ∴花坛的两条小路长AC＝2AO＝20(m)，BD＝2BO＝20≈34.64(m)． 并且每一条对角线平分一组对角的特殊性质．②菱形和矩形一样，都是轴对称图形. 【教学建议】 (1)让学生尝试利用两种不同的方法解决有关菱形面积的问题． (2)告诉学生：①除了常规的计算平行四边形面积的方法，菱形的面积也可以表示为对角线乘积的一半．②由于菱形的两条对角线互相垂直，所以在计算过程中常会用到勾股定理.
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花坛的面积S菱形ABCD＝4×S△OAB＝AC·BD＝200≈346.4(m2)． 【对应训练】 1．教材P57练习第2题． 2．小雨在参观故宫博物院时，被太和殿窗棂的三交六椀菱花图案所吸引，他从中提取出一个含60°角的菱形ABCD(如图)．若AB的长度为2，求菱形ABCD的面积． 解：如图，过点A作AH⊥BC于点H.∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝AB＝2.∵∠B＝60°， ∴∠BAH＝90°－∠B＝30°，△ABC是等边三角形．∴BH＝AB＝1. 由勾股定理易得AH＝，∴菱形ABCD的面积为BC·AH＝2×＝2.
活动三：运用新知，巩固提升 设计意图 巩固学生对菱形的概念及性质的认知，进一步掌握菱形面积不同于平行四边形的计算方法. 例2　如图，在菱形ABCD中，过点B分别作BM⊥AD于点M，BN⊥CD于点N，BM，BN分别交AC于点E，F.求证：AE＝CF. 证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝CB，∠BAM＝∠BCN，∠BAE＝∠DAE＝∠DCF＝∠BCF. ∵BM⊥AD，BN⊥CD，∴∠AMB＝∠CNB＝90°. ∴∠BAM＋∠ABE＝90°，∠BCN＋∠CBF＝90°，∴∠ABE＝∠CBF. 在△ABE和△CBF中， ∴△ABE≌△CBF(ASA)，∴AE＝CF. 【对应训练】 1.已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与 BD交于点O，∠BAD＝120°，AC＝4，则该菱 形的面积是8. 2．如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于点E，连接BE.求证：∠AFD＝∠CBE. 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD，CB＝CD，CA平分∠BCD. ∴∠BCE＝∠DCE. 又CE＝CE，∴△BCE≌△DCE(SAS)． ∴∠CBE＝∠CDE. ∵AB∥CD，∴∠AFD＝∠CDE.∴∠AFD＝∠CBE. 【教学建议】 提醒学生：(1)解题时常借助对角线垂直和勾股定理来求线段的长．(2)如果菱形的一个内角为60°，那么菱形的两条边和较短的对角线构成的三角形为等边三角形.
活动四：随堂训练，课堂总结 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：菱形的概念是什么？菱形有哪些不同于平行四边形的性质？菱形的面积都有哪些计算方法？
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【知识结构】 【作业布置】 1．教材P60习题18.2第5，11题． 2．相应课时训练．
板书设计 18.2.2　菱形 第1课时　菱形的性质 一、菱形的概念． 二、菱形的性质：1.边的性质；2.角的性质；3.对角线的性质；4.对称性． 三、菱形的面积计算公式．
教学反思 设置菱形图片，体现数学来源于生活；通过操作平移平行四边形的一条边，使其一组邻边相等得到菱形；剪纸活动让学生主动探索菱形的性质，让学生感知菱形与平行四边形之间的关系． 通过运用菱形的性质解决简单的实际问题，让学生认识到数学在现实生活中有着广泛的应用，可以培养学生的应用意识
解题方法：
(1)菱形的对角线互相垂直、平分，并且平分每组对角，因此菱形的性质可用来证明线段相等、角相等，直线平行、垂直及进行有关的计算；
(2)菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，因此常用勾股定理进行菱形的有关计算．
注意：(1)菱形的对角线互相垂直平分，但不一定相等；
(2)对角线互相垂直的任意四边形的面积都等于对角线乘积的一半．
例1　如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作
DH⊥BC于点H，连接OH.若OA＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为( B )
A.　　　　　　　　　　B．3　　　　　　　　　　C.　　　　　　　　　　D.
解析：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，DO＝BO，AO＝CO.
∵AO＝4，∴AC＝2AO＝8.
∵S菱形ABCD＝24，∴×8×BD＝24，解得BD＝6.
∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°.
∵DO＝BO，∴OH＝BD＝×6＝3.故选B.
例2　如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F.
(1)求证：△ABE≌△ADF；
(2)若AE＝4，CF＝2，求菱形ABCD的边长．
(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D.
∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°.
在△ABE和△ADF中，∴△ABE≌△ADF(AAS)．
(2)解：设菱形ABCD的边长为x，则AB＝CD＝x.
∵CF＝2，∴DF＝x－2.
∵△ABE≌△ADF，∴BE＝DF＝x－2.
在Rt△ABE中，根据勾股定理，得AE2＋BE2＝AB2，即42＋(x－2)2＝x2，解得x＝5，∴菱形ABCD的边长是5.
例3　将两个完全相同的含有30°角的直角三角板在同一平面内按如图所
示的方式摆放，点A，E，B，D依次在同一直线上，连接AF，CD.
(1)求证：四边形AFDC是平行四边形；
(2)已知BC＝6 cm，当四边形AFDC是菱形时，AD的长为18cm.
(1)证明：由题意可知△ACB≌△DFE，∴AC＝DF，∠CAB＝∠FDE＝30°.
∴AC∥DF，∴四边形AFDC是平行四边形．
(2)解析：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝6 cm，∴AB＝2BC＝12 cm，∠ABC＝60°.
∵四边形AFDC是菱形，∴DA平分∠CDF，∴∠CDA＝∠FDA＝30°.
∵∠ABC＝∠CDA＋∠BCD，∴∠BCD＝∠ABC－∠CDA＝60°－30°＝30°，∴∠BCD＝∠CDA.
∴BD＝BC＝6 cm，∴AD＝AB＋BD＝18 cm.故答案为18.
例1　如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，连接OE，过点D作DF∥AC交OE的延长线于点F，连接AF.
(1)求证：△AOE≌△DFE；
(2)判断四边形AODF的形状，并说明理由．
(1)证明：∵E是AD的中点，∴AE＝DE.
∵DF∥AC，∴∠OAE＝∠FDE.
又∠AEO＝∠DEF，∴△AOE≌△DFE(ASA)．
(2)解：四边形AODF为矩形．理由：
∵△AOE≌△DFE，∴AO＝DF.
∵AO∥DF，∴四边形AODF为平行四边形．
∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，即∠AOD＝90°.
∴四边形AODF为矩形．
例2　如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连接EF.
(1)求证：AE＝AF；
(2)若∠B＝60°，求∠AEF的度数．
(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D.
∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°.
在△AEB和△AFD中，∴△ABE≌△ADF(AAS)．
∴AE＝AF.
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠B＋∠BAD＝180°.
∵∠B＝60°，∴∠BAD＝120°.
∵∠AEB＝90°，∴∠BAE＝90°－∠B＝30°.
由(1)知△ABE≌△ADF，∴∠BAE＝∠DAF＝30°.
∴∠EAF＝∠BAD－∠BAE－∠DAF＝120°－30°－30°＝60°.
又AE＝AF，∴△AEF是等边三角形．∴∠AEF＝60°.

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