资源简介

16.2　 二次根式的乘除
第1课时　二次根式的乘法
教学设计
课题 二次根式的乘法 授课人
素养目标 1.理解和掌握二次根式的乘法法则：·＝(a≥0，b≥0)．经历法则的探究过程，体会合情推理与演绎推理相互补充的辩证关系． 2．理解和掌握积的算术平方根的性质：＝·(a≥0，b≥0)．体会二次根式的乘法法则与积的算术平方根的性质之间的互逆关系． 3．利用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行计算和化简，提高学生的运算能力，初步要求计算结果达到求简意识.
教学重点 会利用积的算术平方根的性质化简，会进行二次根式的乘法运算．
教学难点 二次根式的乘法与积的算术平方根的性质的关系及应用.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情境，导入新课 设计意图 利用实际问题引入新课. 【情境导入】 如图，元元家有一块长方形菜地，长为 m，宽为 m，你能求出菜地的面积吗？ 【教学建议】 让学生相互讨论，教师说明学完本课时就可以解决这个问题，调动积极性.
活动二：问题引入，自主探究 设计意图 引导学生观察总结出二次根式的乘法法则. 探究点1　二次根式的乘法法则 1．计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？ (1)×＝6，＝6； (2)×＝20，＝20； (3)×＝30，＝30. 答：规律：1.被开方数都是正数；2.左边的两个二次根式的乘积等于右边的一个二次根式，且左边的两个二次根式的被开方数的乘积等于右边的一个二次根式的被开方数． 2．你能用字母表示你发现的规律吗？ 答：二次根式的乘法法则：·＝(a≥0，b≥0)． 即二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变． 3．利用你发现的规律计算： (1)×；　　(2) ×；　　(3)2×3. 解：(1)×＝； (2)×＝＝＝3； (3)2×3＝2×3＝6. 【教学建议】 学生口答问题1的填空，指定学生代表回答规律，教师补充完整．学生讨论问题2，教师板书总结，并提醒a·b＝ab(a≥0，b≥0)可以推广到多个二次根式的情况，如a·b·c＝abc(a≥0，b≥0，c≥0)．提醒学生二次根式的乘法可以类比单项式的乘法，如果有系数，就将系数与系数相乘，二次根式与二次根式相乘．
教学步骤 师生活动
设计意图 引导学生逆向思考，发现积的算术平方根的性质. 【对应训练】 1．教材P7练习第1题． 2．下列各等式中成立的是( D ) A．4×2＝8 　　　　　B．5×4＝20 C．4×3＝7 D．5×4＝20 3．计算：××＝2. 探究点2　积的算术平方根的性质 把·＝(a≥0，b≥0)反过来，可以得到积的算术平方根的性质：＝·(a≥0，b≥0)． 1．a，b的取值有什么特点？积的算术平方根的性质和二次根式的乘法法则在用法上有什么区别和联系？ 答：a，b都是非负数．积的算术平方根的性质是二次根式的乘法法则的逆用，可以用来化简二次根式． 2．化简： (1)；　　(2)；　　(3). 解：(1)＝×＝4×9＝36； (2)＝＝×＝2×7＝14； (3)＝··＝2·a·＝2a·＝2ab. 【对应训练】 教材P7练习第2题． 【教学建议】 指定学生代表回答，说明ab＝a·b(a≥0，b≥0)可以推广为右边是多个二次根式的情况，例如abc＝a·b·c(a≥0，b≥0，c≥0)．化简196时提示将196分解为开得尽方的数的乘积．提醒学生被开方数4a2b3含4，a2，b2这样的因数或因式，它们被开方后可以移到根号外，是开得尽方的因数或因式.
活动三：重点突破，提升探究 设计意图 巩固对二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质的理解. 例1　解答教材P7例3. 例2　解答活动一中的问题． 解：×＝＝＝＝×＝3. 故菜地的面积为3 m2. 【对应训练】 1．化简的结果是( D ) A．2　　　　B．－2　　　　C．－4　　　　D．4 2．计算： (1)××；　　　　(2)·. 解：(1)××＝××＝＝＝＝4； (2)·＝＝＝··＝4xy. 3．教材P7练习第3题． 【教学建议】 提醒学生：(1)在二次根式相乘的时候就可以考虑因数(式)分解，如由14×7直接可得72×2，而不必先写成98；(2)化简二次根式ab时，先找出ab中最大的能开得尽方的因数(式)，再按公式化简；(3)能开得尽方的一定要开出来；(4)有带分数的先化为假分数.
活动四：随堂训练，课堂总结 教学步骤 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：二次根式的乘法法则是什么？其逆向公式怎么表示？二次根式的乘法运算与化简要注意什么？ 【知识结构】 师生活动
【作业布置】 1．教材P10习题16.2第1，5，6，7，12题． 2．相应课时训练．
板书设计 16.2　二次根式的乘除 第1课时　二次根式的乘法 1．二次根式的乘法法则：a·b＝ab(a≥0，b≥0)． 2．积的算术平方根的性质：ab＝a·b(a≥0，b≥0).
教学反思 　 本节课的内容环环相扣，层层递进，最后要综合运用，前面理解不透就很可能导致后面无法下手，所以要特别注意帮助学生夯实基础．教学中可以多引导学生自己发现总结，互相讨论，以便让他们理解更深刻.
1．化简二次根式初步达到求简意识
(1)对被开方数进行因数或因式分解．
(2)分解后把能开得尽方的开出来．
例1　化简二次根式的结果是( D )
A. B. C．－ D．－
解析：根据题意，知∴x＜0，∴原式＝＝·(－x)＝－.故选D.
注意：在利用积的算术平方根的性质化简时，一定不能忽视被开方数均为非负数的条件，不能犯这样的错误：＝×.
2．根据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质，结合已知条件列不等式组确定字母的取值范围
例2　等式·＝成立的条件是( C )
A．x≥4 B．x≥－5 C．－5≤x≤4 D．x≥－5或x≤4
解析：由题意可得∴－5≤x≤4.故选C.
例1　设x，y是有理数，且x，y满足等式x＋2y－y＝17＋4，则＋y的平方根是( A )
A．±1 B．±2 C．±3 D．±4
解析：∵x，y为有理数，∴x＋2y为有理数．又x＋2y－y＝17＋4，∴解得
∴＋y＝5－4＝1.因为1的平方根是±1，所以＋y的平方根是±1.故选A.
例2　已知m为正整数，若是整数，则根据＝＝3可知m有最小值3×7＝21.设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为3，最大值为75.
解析：∵＝＝10，且为整数，∴n的最小值为3.∵是大于1的整数，∴越小，越小，则n越大．当＝2时，＝4，∴n＝75.经检验，n＝75是原方程的根．故n的最大值为75.故答案为3，75.

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