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第2课时　正方形的判定
教学设计
课题 正方形的判定 授课人
素养目标 1.用类比方法归纳正方形的判定方法，培养学生的数学表达能力． 2．探究并证明正方形的判定定理，理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的判定方法之间的区别和联系． 3．灵活运用正方形的判定方法进行证明或计算，发展学生的逻辑思维能力.
教学重点 正方形判定方法的理解与应用．
教学难点 正方形判定方法的探究及证明.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：知识回顾，导入新课 设计意图 通过拟人化的自我介绍调动学生积极性，思考该怎样判定正方形. 【回顾导入】 正方形的自我介绍：在四边形的大家庭中，我有四个兄弟． 老大是平行四边形，它性格温和；老二是矩形，它稳重大方，江湖上人称长方形；老三是菱形，它活泼可爱．我就是正方形老四，我集三位大哥的优点于一身，人见人爱． 到目前为止，我们已经认识了四边形大家庭的成员，前一课时，我们大致介绍了矩形、菱形、平行四边形与正方形的关系，并给出了下面的结构图． 可以看到矩形、菱形各添加一个条件都能得到正方形，那么这个是否可以证明呢？我们这节课来看下. 【教学建议】 让学生根据上一课时介绍的平行四边形、矩形、菱形与正方形的关系，引发如何进行证明的思考.
活动二：动手验证，探究新知 设计意图 让学生发现并总结正方形的判定定理. 探究点　正方形的判定 1．有一组邻边相等的矩形是正方形 我们来看下面这个问题： 把一张矩形的纸片按图中那样折一下，是否可以截出正方形纸片？ 答案是肯定的，它的依据就是有一组邻边相等的矩形是正方形． 下面我们进行证明：已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝BC. 求证：四边形ABCD是正方形． 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC，AB＝CD. ∵AB＝BC，∴AB＝BC＝CD＝AD，∴四边形ABCD是正方形． 归纳总结：有一组邻边相等的矩形是正方形. 【教学建议】 (1)让学生猜测并验证正方形的判定定理，教师进行总结． (2)告诉学生必须在平行四边形或矩形或菱形的基础上判定正方形．一般先证明其是矩形或菱形，再从边、角、
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2.有一个角是直角的菱形是正方形 我们再来看一个问题： 把能活动的菱形木框的一个角变为直角(如图)，能否得到正方形？ 可以看到,这个变化过程中只要改变菱形的一个角，就能得到正方形． 下面我们进行证明： 已知：如图，在菱形ABCD中，∠A＝90°. 求证：四边形ABCD是正方形． 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠C，∠B＝∠D. ∵∠A＝90°，∴易得∠B＝∠C＝∠D＝∠A＝90°，∴四边形ABCD是正方形． 归纳总结：有一个角是直角的菱形是正方形． 在上面的证明过程中，是分别从矩形、菱形出发，添加边或角的条件后得到正方形，那么还有没有通过添加边、角、对角线的条件可以得到其他判定正方形的方法呢？大家想一想． 归纳总结： 　 思考：上面给出了正方形的一些判定方法，这也蕴含了他们之间的转换关系，那么正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系呢？与同学们讨论交流，并列表或用框图表示这些关系． 进一步地，四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形有什么关系？有兴趣的同学可以整理下．(结构图可参见后面的“【知识结构】”栏目) 【对应训练】 1.如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边 AB，BC，CA上，且DE∥CA，DF∥BA. (1)四边形AEDF是平行四边形； (2)如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形； (3)如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形； (4)如果∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是正方形． 2．教材P60练习第3题．, 对角线的方向证明其是正方形，或者直接由一组邻边相等且一内角是直角的平行四边形是正方形，对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形等来判定.
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活动三：综合运用，巩固提升 设计意图 巩固学生对正方形的判定的认识. 　例　如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交对角线AC于点E，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别是F，G.判断四边形EFBG的形状，并证明你的结论. 解：四边形EFBG是正方形. 证法1：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°. 又EF⊥AB，EG⊥BC， ∴∠BFE＝∠BGE＝90°，∴四边形EFBG是矩形. ∵BE为∠ABC的平分线，∴EF＝EG， ∴矩形EFBG是正方形. 证法2：如图．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°. ∵BE为∠ABC的平分线，EF⊥AB，EG⊥BC，∴∠1＝∠2＝45°，EF＝EG. ∴∠3＝∠4＝45°，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∴BF＝EF，BG＝EG. ∴BF＝EF＝EG＝BG，∴四边形EFBG是菱形. 又∠FBG＝90°，∴菱形EFBG是正方形. 【对应训练】 如图，Rt△ABC的两条外角平分线相交于点D，∠B＝90°，过点D分别作DE⊥BA于点E，DF⊥BC于点F. (1)求证：四边形BFDE是正方形； (2)若BF＝6，C为BF的中点，求AE的长. (1)证明：如图，过点D作DH⊥AC于点H.∵DE⊥BA， DF⊥BC，∴∠E＝∠F＝∠B＝90°，∴四边形BFDE是矩形. ∵AD平分∠EAC，DE⊥BA，DH⊥AC，∴DE＝DH. 同理，DH＝DF，∴DE＝DF，∴矩形BFDE是正方形. (2)解：∵DH⊥AC，∴∠AHD＝∠DHC＝90°.由(1)知∠E＝∠F＝90°，DE＝DH，DH＝DF，∴∠AHD＝∠DHC＝∠E＝∠F＝90°. 在Rt△AED和Rt△AHD中，AD＝AD，DE＝DH， ∴Rt△AED≌Rt△AHD(HL)，∴AE＝AH.同理，CH＝CF. ∵BF＝6，C为BF的中点，∴BC＝CF＝CH＝3. ∵四边形BFDE是正方形，∴BE＝BF＝6. 设AE＝AH＝x，则AB＝BE－AE＝6－x，AC＝AH＋CH＝x＋3. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2＋BC2＝AC2， 即(6－x)2＋32＝(x＋3)2，解得x＝2，∴AE的长为2. 【教学建议】 提醒学生：(1)正方形的判定要从边、角或对角线三个方面把握，判定时可根据先判定平行四边形或矩形或菱形，再根据相应条件判定得到正方形. (2)判定正方形后往往又需要利用其性质，并且经常综合三角形全等与勾股定理的知识来解题.
活动四：随堂训练，课堂总结 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：正方形的判定有哪几种方法？ 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P62习题18.2第13题. 2．相应课时训练．
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板书设计 18.2.3　正方形 第2课时　正方形的判定 1.有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 2.有一组邻边相等的矩形是正方形. 3.有一个角是直角的菱形是正方形.
教学反思 本节课对正方形判定的探究内容依旧集中在边、角、对角线三个方面，教学中运用逆向推理引导学生思索，并通过展示例题的方式使学生掌握正方形判定的结论，同时还是要强调平行四边形、矩形、菱形与正方形的关系. 课堂以诙谐拟人化的介绍为开端，吸引学生的注意，充分调动了学生的积极性.
注意：由于正方形的判定方法一般都是在平行四边形、矩形、菱形的基础上判定的，所以在判定正方形时，一定要仔细考虑题目中的条件，灵活选择适当的判定方法来分析问题和解决问题．
例1　如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC，∠ABC的平分线交于点G，GE⊥BC于点E，GF⊥AC于点F.
(1)求证：四边形GECF是正方形；
(2)若AC＝4，BC＝3，求四边形GECF的面积．
(1)证明：如图，过点G作GD⊥AB于点D.
∵∠BAC，∠ABC的平分线交于点G，GE⊥BC，GF⊥AC，∴DG＝EG，DG＝FG，∴EG＝FG.
∵∠ACB＝90°，GE⊥BC，GF⊥AC，∴∠ACB＝∠CEG＝∠CFG＝90°，∴四边形GECF是矩形．
又EG＝FG，∴四边形GECF为正方形．
(2)解：如图，连接CG.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝＝＝5.
设EG＝x，则DG＝FG＝x.
∵S△ABC＝S△AGB＋S△AGC＋S△BCG，∴×3×4＝·5x＋·4x＋·3x，∴x＝1.
∴EG＝1，∴四边形GECF的面积＝EG2＝1.
例2　如图，将矩形纸片ABCD折叠(AD>AB)，使点B落在边AD上的点B′处，AE为折痕，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，点E不动，将BE折起，使点B落在AE上的点G处，连接DE.若DE＝EF，CE＝2，求AD的长．
解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝AB′，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠C＝90°，且四边形ABEB′是正方形，∴AB＝BE，∴BE＝CD.
又DE＝EF，∴Rt△BEF≌Rt△CDE(HL)，∴BF＝CE＝2.
由折叠得GF＝BF＝2，BE＝GE，∠FGE＝∠B＝90°.
设AB＝x，则易得AE＝x，∴AG＝AE－GE＝AE－BE＝AE－AB＝(－1)x.
∵AE是正方形ABEB′的对角线，∴∠GAF＝45°，∴∠AFG＝45°，∴AG＝FG.
∴(－1)x＝2，解得x＝2＋2.∴AB＝BE＝2＋2.
∴AD＝BC＝BE＋EC＝2＋2＋2＝2＋4.
例1　如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF＝5，BE＝DF＝12，则EF的长是( C )
A．7　　　　　　　　B．8　　　　　　　　　C．7　　　　　　　　　D．7
解析：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝DA，
∴∠BAE＋∠DAG＝90°.
在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF(SSS)，∴∠ABE＝∠CDF.
∵∠AEB＝∠CFD＝90°，∴∠ABE＋∠BAE＝90°，∴∠ABE＝∠DAG＝∠CDF.
∴∠DAG＋∠ADG＝∠CDF＋∠ADG＝90°，即∠DGA＝90°.
在△ABE和△DAG中，∴△ABE≌△DAG(AAS)．
∴AE＝DG，BE＝AG.
同理，AE＝DG＝CF＝BH＝5，BE＝AG＝DF＝CH＝12.
∴EG＝GF＝FH＝HE＝12－5＝7.∴四边形EGFH是菱形．
∵∠GEH＝180°－90°＝90°，∴四边形EGFH是正方形，∴易得EF＝EG＝7.
故选C.
例2　如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD是边BC上的中线，以AD，CD为边作ADCF，连接BF分别与AD，AC相交于点E，G.
(1)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF为正方形？并说明理由；
(2)在(1)的条件下，若AB＝6，求EF的长．
解：(1)当△ABC满足AC＝AB时，四边形ADCF为正方形．理由如下：
∵∠CAB＝90°，AC＝AB，AD是边BC上的中线，∴AD＝CD＝BD，AD⊥BC.
∵四边形ADCF是平行四边形，且AD＝CD，∴ADCF是菱形．
∵AD⊥BC，即∠ADC＝90°，∴菱形ADCF为正方形．
(2)由(1)得∠ADB＝90°.
∵AD＝BD，AB＝6，∴易得AD＝BD＝AF＝6.
∵四边形ADCF为正方形，∴∠FAD＝90°.
在△FAE和△BDE中，∴△FAE≌△BDE(AAS)．
∴AE＝DE＝AD＝×6＝3，EF＝EB，∴EF＝＝＝3.

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