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教学设计
课题 函数 授课人
素养目标 1.理解函数、自变量、函数值的概念． 2．能根据实际问题确定函数关系式和自变量的取值范围，以及实际背景对自变量取值的限制，增强数学建模意识． 3．联系求代数式的值的知识，探索求函数值的方法.
教学重点 函数概念的理解及函数关系式的建立．
教学难点 确定实际问题中函数自变量的取值范围.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：知识回顾，导入新课 设计意图 回顾上一课时的内容，为引入新概念做准备. 【回顾导入】 在上一节课中，对于教材P71的4个问题，我们总结归纳出以下共同特征：每个问题中都有互相联系的两个变量，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与其对应，并且能够用式子表示出两个变量之间的关系． 那么对于用其他方式表示的变化过程，其中的两个变量是否也存在上述对应关系？大家能够列举出对应的例子吗？ 此类变量关系就是我们今天将要学习的内容. 【教学建议】 教师带领学生回顾上一课时探究点2归纳的特征，引入函数的有关知识.
活动二：问题引入，自主探究 设计意图 通过对教材相关内容的探索思考，让学生体会到函数的多种表现形式，突出函数的本质属性. 探究点1　自变量与函数 (1)阅读并回答教材P73思考中的问题(1)． (2)下面是中国体育代表团在第23～32届夏季奥运会上获得的金牌数统计表．把届数和金牌数分别记作两个变量x和y，对于表中的每一个确定的届数x，都对应着一个确定的金牌数y吗？ 答：(1)对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应； (2)对于表中的每一个确定的届数x，都对应着一个确定的金牌数y. 上述问题中的两个变量之间均存在单值对应关系，即都有相关的两个变量，当一个变量取定一个值时，另一个变量都有唯一对应值. 概念引入：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．如果x＝a时y＝b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值. 教师进一步提问：(1) 给出自变量x的一个值，函数y可以有两个或两个以上的值吗？会不会存在自变量x的多个值对应的函数y的值都相等呢？ 【教学建议】 在教学中，可进一步解释自变量和函数：在一个变化过程中，居于主动地位的变量叫做自变量，随之变化且对应值有唯一确定性的另一个变量叫做自变量的函数.
第2课时　函数
教学步骤 师生活动
设计意图 由已知条件，结合等量关系列出函数的解析式，根据实际意义确定自变量的取值范围，并进一步考查通过解析式求函数值. 答：y对x是单值对应，故给出自变量x的一个值，函数y不可能有两个或两个以上的值；x对y不一定是单值对应，故可能会存在自变量x的多个值对应的函数y的值相等．(可用上述问题(2)中的数据举例说明) (2)你认为函数与函数值有何区别？举例说一说. 答：函数是变量，函数值是某个具体的数值，一个函数可能有许多不同的函数值．以上述问题(2)为例，y是x的函数，是一个变量．表中的15是y的一个函数值. 【对应训练】 1.教材P71的四个问题中，哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？ 解：(1)t是自变量，s是t的函数；(2)x是自变量，y是x的函数； (3)r是自变量，S是r的函数；(4)x是自变量，y是x的函数. 2.下列关系式中，y不是x的函数的是( B ) A.y＋x＝0　　　　B．|y|＝2x　　　C．y＝|2x|　　　D．y＝2x2＋4 探究点2　列函数解析式及确定自变量的取值范围 例1　(教材P74例1)汽车油箱中有汽油50 L．如果不再加油，那么油箱中的油量y(单位：L)随行驶路程x(单位：km)的增加而减少，耗油量为0.1 L/km. (1)写出表示y与x的函数关系的式子； (2)自变量x能否取负数？油箱中的油量y能否取负数？请指出自变量x的取值范围； (3)汽车行驶200 km时，油箱中还有多少汽油？ 解：(1)行驶路程x是自变量，油箱中的油量y是x的函数. 行驶路程为x时，行驶中的耗油量为0.1x.(行驶中的耗油量＝耗油量×行驶路程) 等量关系：油箱中的油量=原有油量-行驶中的耗油量 y = 50 -0.1x 所以y与x的函数关系可表示为y＝50－0.1x. (2)仅从式子y＝50－0.1x看，x可以取任意实数．但是考虑到x代表的实际意义为行驶路程，y代表的实际意义为油箱中的油量，因此x，y都不能取负数．所以行驶中的耗油量0.1x不能超过油箱中现有汽油量50，即0.1x≤50.因此，自变量x的取值范围是0≤x≤500. (3)汽车行驶200 km时(此时200在x的取值范围内)，油箱中的汽油量是函数y＝50－0.1x在x＝200时的函数值．将x＝200代入y＝50－0.1x，得y＝50－0.1×200＝30.汽车行驶200 km时，油箱中还有30 L汽油. 概念引入：像y＝50－0.1x这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法．这种式子叫做函数的解析式. 例2　写出下列函数中自变量x的取值范围. (1)y＝2x－3； (2)y＝x－1； (3)y＝12x＋1. 解：(1)x为任意实数；(2)x≥1；(3)x≠－0.5. 【对应训练】 此外，学生对于函数和函数值可能发生混淆，教师可提问让学生回答，并进行点评纠正. 【教学建议】 学生独立思考完成，教师统一点评．并提醒学生注意以下几点： ①对于函数解析式，可列出实际问题中的等量关系或结合相关公式，将各个量用常数或含变量的式子表示，经过适当变形即可得到函数的解析式(注意不要用错公式)； ②对于自变量的取值范围，不仅要考虑使函数关系式有意义，而且还要注意问题的实际意义； ③求函数值时，要确认自变量的取值是否在它的取值范围内.
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1.写出下列函数中自变量x的取值范围. (1)y＝2x2；　　　　　　　(2)y＝(x－2)0＋3. 解：(1)x为任意实数；(2)x≠2. 2～3.教材P74练习．
活动三：重点突破，提升探究 设计意图 结合常用公式解决几何图形中的函数问题. 例3　如图，在一个长为15 cm、宽为10 cm的矩形纸板的四个角上，都剪去大小相同的小正方形，剩余部分为一个十字形纸板(图中阴影部分)．当小正方形的边长x(单位：cm)由小到大变化时，剩余部分的面积S(单位：cm2)也随之发生变化. (1)哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出S关于x的函数解析式及自变量x的取值范围； (2)当小正方形的边长为3 cm时，求阴影部分的面积. 解：(1)x是自变量，S是自变量的函数．由剩余部分的面积＝长方形的面积－4个小正方形的面积，得S＝15×10－4x2＝150－4x2. 因为剩余部分为十字形纸板， 所以小正方形的边长x应满足x>0且10－2x>0. 因此，自变量x的取值范围是0＜x＜5. 所以S关于x的函数解析式为S＝150－4x2(0＜x＜5). (2)将x＝3代入S＝100－4x2，得S＝150－4×32＝150－36＝114. 所以当小正方形的边长为3 cm时，阴影部分的面积为114 cm2. 【教学建议】 学生独立思考完成，教师统一答案．并提醒学生注意：①不要将常用公式混淆，导致解析式错误；②在求自变量的取值范围时，应结合剩余部分为十字形考虑.
活动四：随堂训练，课堂总结 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：如何确定一个变化过程中两个变量存在函数关系并写出函数的解析式？确定函数中自变量的取值范围时应注意哪些问题？ 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P81习题19.1第1，2，3，4，5，15题. 2.相应课时训练．
板书设计 19.1.1 变量与函数 第2课时　函数 1.函数 2.函数值 3.函数自变量的取值范围：①使函数关系式有意义；②满足问题的实际意义 4.解析式
教学反思 　 本节课的重点是让学生理解函数的概念．教学中先让学生体会实际问题中不同变量间的联系，再通过这些联系的共同点指出具有这种特点的关系叫做函数，突出函数的本质属性，并由此对函数概念进行辨析，达到深刻理解概念的目的.
解题方法：
(1)判断两个变量是否存在函数关系，关键看一个变量取定一个值时，另一个变量是否有唯一确定的值与其对应．
(2)求函数值的方法：把所给出的自变量的值代入函数解析式中，即可求出相应的函数值．
(3)当已知函数解析式时，给出函数值，求相应自变量x的值，就是解方程．
(4)如何求函数自变量的取值范围：①要使函数的解析式有意义：
a．函数的解析式是整式时，自变量可取任意实数；
b．函数的解析式分母中含有字母时，自变量的取值应使分母不为0；
c．函数的解析式中含有二次根式时，自变量的取值应使被开方数大于等于0；
d．函数的解析式中含有零次幂时，自变量的取值应使零次幂的底数不为0；
e．函数的解析式中含有负整数指数幂时，自变量的取值应使负整数指数幂的底数不为0.
②对于反映实际问题的函数关系，应使实际问题有意义．
注意：(1)函数的概念中包含三个要素：①自变量的取值范围；②两个变量之间的对应关系；③后一个变量被唯一确定．
(2)自变量与函数用什么字母表示无关紧要．
(3)已知函数解析式，当自变量确定时，函数值也唯一确定；当函数值确定时，自变量不一定唯一确定．
例1　下列函数中，自变量的取值范围错误的是( D )
A．y＝2x2中，x取任意实数　　　　　　　　　B．y＝中，x取x≠－1的实数
C．y＝中，x取x≥2的实数 D．y＝中，x取x≥－3的实数
解析：D选项中自变量的取值范围应是x>－3，故此选项错误．故选D.
例2　按如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值为－3，则输出y的值为18.
分析：根据－3＜－1确定出应代入y＝2x2中，再计算出y的值．
解析：因为－3＜－1，所以将x＝－3代入y＝2x2，
得y＝2×(－3)2＝18.故答案为18.
例1　求下列函数中的自变量x的取值范围．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)y＝3x2－2; (2)y＝； (3)y＝；
(4)y＝； (5)y＝＋(x－2)0; (6)y＝＋.
解：(1)自变量x的取值范围为任意实数．
(2)由题意得x－2>0，所以x＞2.
所以自变量x的取值范围为x＞2.
(3)由题意得x＋3≥0且x≠0，所以x≥－3且x≠0.
所以自变量x的取值范围为x≥－3且x≠0.
(4)由题意得x－2≥0且x－3≠0，所以x≥2且x≠3.
所以自变量x的取值范围为x≥2且x≠3.
(5)由题意得x＋1>0且x－2≠0，所以x>－1且x≠2.
所以自变量x的取值范围为x>－1且x≠2.
(6)由题意得x－3≥0，x＋1＞0且x－5≠0，所以x≥3且x≠5.
所以自变量x的取值范围为x≥3且x≠5.
例2　用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放．
(1)第5个图形有多少枚黑色棋子？
(2)记第n个图形的棋子枚数为y，试写出y关于n的函数解析式；
(3)第几个图形有2 025枚黑色棋子？
解：(1)第1个图形有6枚黑色棋子，第2个图形有9枚黑色棋子，第3个图形有12枚黑色棋子，第4个图形有15枚黑色棋子，第5个图形有18枚黑色棋子．
(2)y＝3n＋3.
(3)将y＝2 025代入y＝3n＋3，得3n＋3＝2 025，解得n＝674，
所以第674个图形有2 025枚黑色棋子．

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