资源简介

19.2.2　一次函数
教学设计
课题 一次函数的概念 授课人
素养目标 1.结合具体情境理解一次函数的意义，能结合实际问题中的数量关系写出一次函数的解析式． 2．能辨别一次函数与正比例函数的区别与联系，感悟一般与特殊之间的关系． 3．会从实际问题中建立一次函数模型解决简单的问题.
教学重点 一次函数概念的理解和根据已知信息写出一次函数的解析式．
教学难点 从实际生活问题中建立一次函数模型.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：设置情境，导入新课 设计意图 结合实例，吸引学生注意力，为学习新知识做好铺垫. 【情境导入】 (教材P89问题2)某登山队大本营所在地的气温为5 ℃，海拔每升高1 km气温下降6 ℃.登山队员由大本营向上登高x km时，他们所在位置的气温是y ℃.试用函数解析式表示y与x的关系．这个函数是正比例函数吗？它与正比例函数有什么不同？ 答：y随x变化的规律是：从大本营向上，当海拔增加x km时，气温从5 ℃减少6x ℃. 因此y与x的函数解析式为y＝5－6x.这个函数也可以写为y＝－6x＋5.这个函数不是正比例函数．它与正比例函数形式不同． 这节课我们将学习探究这种函数. 【教学建议】 教师带领学生共同探讨得到的实际问题的函数解析式，比较该函数与正比例函数的异同.
活动二：问题引入，自主探究 设计意图 从大量生动有趣的实际问题情境出发，通过对一般规律的探索，从实际问题中抽象出一次函数的概念. 探究点　一次函数的概念 阅读教材P90思考，回答其问题． 答：4个问题中，变量之间的对应关系都是函数关系． 这些问题的函数解析式分别为： (1)c＝7t－35(20≤t≤25)；(2)m＝h－105； (3)y＝0.1x＋22; (4)y＝－5x＋50(0≤x＜10)． 正如活动一中的函数y＝－6x＋5一样，上面这些函数都是常数k与自变量的积与常数b的和的形式． 概念引入：一般地，形如y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数． 提问：当b＝0时，y＝kx＋b是我们之前学习过的哪种函数？ 答：当b＝0时，y＝kx＋b即y＝kx，是正比例函数，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数． 【教学建议】 学生分组讨论写出函数解析式，找出此类函数解析式的共同特征，由教师总结出一次函数的概念．要特别强调：①自变量系数不为0(k≠0)；②变量y与x的次数均为1.
第1课时　一次函数的概念
教学步骤 师生活动
归纳总结：正比例函数与一次函数的区别与联系可用图表表示如下： 【对应训练】 教材P90练习第1题． (等于某个正方形的面积减去4个直角三角形的面积)，再引导学生得到命题； (3)可以让学生拿一张长方
活动三：重点突破，提升探究 设计意图 引导学生利用一次函数的两组对应值或结合实际问题中的相等关系，求出一次函数的解析式. 已知一次函数y＝kx＋b，当x＝1时，y＝2；当x＝2时，y＝1. (1)求该一次函数的解析式； (2)当x＝3时，求y的值. 解：(1)将x＝1，y＝2和x＝2，y＝1分别代入y＝kx＋b， 得解得所以该一次函数的解析式为y＝－x＋3.(2)当x＝3时，y＝－3＋3＝0. 例2　根据市卫生部门的要求，游泳池必须定期换水后才能对外开放，在换水时需要经历“排水－清洗－注水”的过程．某个蓄水2 500 m3的游泳池在打开排水阀后，以20 m3/min的速度排水. (1)写出该游泳池中剩余水量y(单位：m3)关于排水时间x(单位：min)的函数解析式，这个函数是一次函数吗？(不要求写出自变量的取值范围) (2)排水1 h时，游泳池中剩余水量是多少？ (3)游泳池完全排空需要多久？ 解：(1)根据题意，得y＝－20x＋2 500.这个函数是一次函数. (2)1 h＝60 min，当x＝60时，y＝－20×60＋2 500＝1 300. 故排水1 h时，游泳池中剩余水量是1 300 m3. (3)令y＝0，得－20x＋2 500＝0，解得x＝125. 故游泳池完全排空需要125 min. 【对应训练】 1～2.教材P90练习第2～3题. 3.已知y＝(m＋1)x＋n＋4. (1)当m，n取何值时，y是x的一次函数？ (2)当m，n取何值时，y是x的正比例函数？ 解：(1)m≠－1，n为任意实数．(2)m≠－1，n＝－4. 【教学建议】 学生独立思考完成，教师统一答案，告诉学生以下两点： (1)利用一次函数的两组对应值求函数解析式的过程，其实质就是列方程组求解的过程； (2)对于实际问题，要先理解题意，找出两个变量之间的关系，然后根据题中等量关系列出等式，再用含自变量的式子表示函数..
活动四：随堂训练，课堂总结 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：什么是一次函数？一次函数与正比例函数之间有什么区别和联系？知道两组变量间的对应值时，怎么确定一次函数的解析式？
教学步骤 师生活动
【知识结构】 【作业布置】 1．教材P28习题17.1第1，3，7，13，14题． 2．相应课时训练．
板书设计 19.2.2　一次函数 第1课时　一次函数的概念 1.一次函数 2.一次函数的解析式
教学反思 　 本节课是对正比例函数的进一步学习，通过由特殊到一般的思维方式将正比例函数扩展到一次函数，整节课以“问题情境—分析探究—总结升华”为主线，使学生亲身体验一次函数特征的探索，深化了对一次函数与正比例函数的关系的理解．同时，由两组变量间的对应值结合方程组求一次函数的解析式，也为后续待定系数法的引入打下了基础.
解题方法：
(1)要正确理解一次函数成立的条件：
①自变量的次数是1；
②一次项系数 k≠0.
根据这两个条件列方程或不等式进行解题．
(2)明确一次函数与正比例函数的关系：
正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数．
(3)一次函数的自变量的取值范围是任意实数，但在实际问题中需根据实际意义确定．
例1　如果y＝(m－2)xm2－3＋2是关于x的一次函数，那么常数m的值是( B )
A．2　　　　　　　　　　B．－2　　　　　　　　　C．±2　　　　　　　　　D．±1
解析：由题意得m－2≠0，m2－3＝1，所以m＝－2.故选B.
例2　某校九年级学生制作毕业相册，某设计公司收设计费950元，另外收取每册材料费5元．
(1)求制作相册总费用y(单位：元)与册数x的函数关系式．它是一次函数吗？试写出自变量x的取值范围．
(2)当制作相册400册时，需要付费多少元？
解：(1)y＝5x＋950，它是一次函数，自变量x的取值范围为x≥0且x为整数．
(2)当x＝400时，y＝5×400＋950＝2 950.
故当制作相册400册时，需要付费2 950元．
例　如图，在矩形ABCD中，AB＝8 cm，AD＝4 cm，点P从点A出发，以2 cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，以1 cm/s的速度向点D运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设四边形APQD的面积为y cm2，运动时间为x s，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
解：由题意，得AP＝2x cm，CQ＝x cm，CD＝AB＝8 cm，
所以DQ＝CD－CQ＝(8－x)cm.
因为S四边形APQD＝(AP＋DQ)·AD，
所以y＝(2x＋8－x)×4＝2x＋16，其中0＜x≤4.

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