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19.1.2　函数的图象
教学设计
课题 函数的图象 授课人
素养目标 1.结合实际问题，理解函数图象的意义． 2．掌握用列表、描点、连线的方法画出简单函数的图象． 3．能根据函数图象所提供的信息获取函数的性质，感悟数形结合思想的应用.
教学重点 函数图象的意义的理解和简单函数图象的画法．
教学难点 通过数形结合从函数图象中获取变量之间的有关信息.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：设置情境，导入新课 设计意图 以生活中的实际场景为例，引入对函数图象的探究. 【情境导入】 你坐过摩天轮吗？你坐在摩天轮上时，随着时间的变化，你离地面的高度是如何变化的？下图反映了摩天轮上一点的高度h与旋转时间t之间的对应关系． 有些问题中的函数关系很难列式子表示，但是可以用图来直观地反映．即使对于能列式表示的函数关系，如果也能画图表示，那么会使函数关系更直观． 我们这节课就来学习如何画函数图象及解读函数图象中的信息. 【教学建议】 结合图象，引导学生分析为什么需要画图来表示函数关系，找出图象表示函数关系的优点.
活动二：问题引入，自主探究 设计意图 利用现实生活中与函数图象有关的背景，让学生在观察中认识、理解函数的图象. 探究点1　函数图象的概念及从函数图象获取信息 1．写出正方形的面积S与边长x的函数解析式，并确定自变量x的取值范围． 答：根据正方形的面积公式可知S＝x2.根据问题的实际意义，可知自变量x的取值范围是x＞0. 根据函数对自变量单值对应，自变量x的一个确定的值与它所对应的唯一的函数值S，就确定了一个点(x，S)，通过这些点，我们可以利用在平面直角坐标系中画图的方法来表示S与x的关系． 2．请用表格的形式列举S与x之间的对应值． 把x的值作为横坐标，对应的S的值作为纵坐标，在平面直角坐标系中将上面表格中各对数值所对应的点画出来(即描点)，按照横坐标从小到大的顺序把所描出的各点用光滑曲线连接起来(即连线)，这样就得到了函数S＝x2的图象(如图). 【教学建议】 教师引导学生共同完成图象的绘制．在绘制图象的过程中，适时提醒学生注意： ①如果函数在描出的两点之间是连续的，那么已描出的点之间的连线要光滑(不出现明显的拐弯点)；
第1课时　函数的图象
教学步骤 师生活动
设计意图 示范函数图象的画法，让学生充分体会画图象的方法和步骤. 3．表示x与S对应关系的点有多少个？能全部画出来么？ 答：表示x与S对应关系的点有无数个．但是实际上我们只能描出其中有限个点，同时想象出其他点的位置. 概念引入：一般地，对于一个函数，如果把 自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵 坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就 是这个函数的图象. 通过对上面画图过程的学习，我们类比发现，用解 析式表示的函数关系，我们都可以通过这种方法， 将其以图象的形式表现出来． 阅读教材P76思考，观察图象，回答下列问题： (1)气温T是时间t的函数吗？ (2)这一天什么时间气温最低？什么时间气温最高？ (3)哪个时间段气温呈下降状态？哪个时间段气温呈上升状态？ (4)你能看出这一天中任一时刻的气温大约是多少吗？ 解：(1)这一天中任一时刻的t都有唯一的气温T与之对应， 因此，气温T是时间t的函数. (2)这一天中凌晨4时气温最低，为－3 ℃；14时气温最高，为8 ℃. (3)从0时至4时气温呈下降状态，从4时至14时气温呈上升状态，从14时至24时气温又呈下降状态. (4)从图象中可以直观地看出这一天中任一时刻的气温大约是多少. 例2　阅读教材P76例2，观察图象，回答下列问题： (1)图象上点的纵坐标表示小明离家的距离；横坐标表示小明离家的时间. (2)该图象是由5条线段组成的，它对应5个时间段内的活动，则小明的活动可以分为：小明从家到食堂，吃早餐，从食堂到图书馆，在图书馆读报，从图书馆回家. (3)图中的每条线段左右端点横坐标之差的绝对值，对应相应活动所用的时间；纵坐标之差的绝对值，对应相应活动行走的路程. (4)图中两段平行于x轴的线段表示小明离家后这两段时间先后停留在食堂与图书馆. (5)函数的图象可以分5段，从中可以知道小明的5个活动的时间段和离家状况分别是：0～8 min，离家越来越远；8～25 min，离家距离不变，为0.6 km；25～28 min，离家距离由0.6 km增加到0.8 km；28～58 min，离家距离不变，为0.8 km；58～68 min，离家越来越近，直至到家. 【对应训练】 1.下列曲线中不能表示y是x的函数的是( C ) 2.教材P79练习第2题. ②对于不在函数图象上的点，要用空心圈表示； ③组成函数图象的所有点的横坐标的集合恰好是自变量的取值范围. 【教学建议】 学生分组讨论完成．教学中应指导学生通过观察图象分析气温的变化情况，得出函数的增减状况及最大值和最小值. 【教学建议】 教学中提醒学生从函数图象中获取信息时要做到以下几点：①看清横、纵坐标各表示哪个量；②从左向右，分析每段图象上，函数值随自变量的增大是如何变化的；③知道平行于横轴的线段，函数值不变.
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探究点2　画函数的图象及函数图象上点的坐标 例3　参考探究点1中函数图象的绘制过程，画出函数y＝－2x＋3和y＝－8x(x＜0)的图象，并回答问题. (1)这两个函数的图象分别是什么图形？当x由小变大时，函数值有何变化？ (2)对于函数y＝－8x，自变量x的取值能否为0？为什么？这一点在函数图象上是如何表现的？ (3)点A(0.5，2)，B(－2.5，3.2)是否在函数y＝－2x＋3的图象上？点C(－3.2，2.5)，D(－3，3)是否在函数y＝－8x(x＜0)的图象上？ 解：对于函数y＝－2x＋3，由函数解析式可知x的取值范围是任意实数. 列表如下： 根据表中数值描点(x，y)，并用平滑曲线连接这些点(如图①). 对于函数y＝－(x＜0)，列表如下： 根据表中数值描点(x，y)，并用平滑曲线连接这些点(如图②). (1)函数y＝－2x＋3的图象是一条直线，直线从左向右下降，即当x由小变大时，y＝－2x＋3随之减小. 函数y＝－(x＜0)的图象是一条曲线，曲线从左向右上升，即当x由小变大时，y＝－(x＜0)随之增大. (2)自变量x的取值不能为0，否则分母为0，函数没有意义．在函数图象上表现为曲线在y轴的左边但不与y轴相交，随着x的增大无限接近y轴. (3)点A(0.5，2)在函数y＝－2x＋3的图象上，点B(－2.5，3.2)不在函数y＝－2x＋3的图象上，点C(－3.2，2.5)在函数y＝－(x＜0)的图象上，点D(－3，3)不在函数y＝－(x＜0)的图象上. 【教学建议】 学生独立画出各函数的图象，教师引导学生总结画函数图象的一般步骤．并提醒学生在画图时需要注意：①点的选取要有代表性；②用平滑的曲线连接各点. 回答问题时引导学生总结判断一个点是否在函数图象上的两种方法：①描点，由点在平面直角坐标系中是否与函数图象重合来判断；②代入，由点的坐标是否满足函数的解析式来判断.
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归纳总结：描点法画函数图象的一般步骤如下： 第一步，列表----表中给出一些自变量的值及其对应的函数值； 第二步，描点----在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点； 第三步，连线----按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来. 【对应训练】 教材P79练习第1，3题．
活动三：重点突破，提升探究 设计意图 进一步强化从函数图象中提取有效信息的能力，以解决实际问题. 例4　星期天小红从家出发，骑自行车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家(小红家、商店、舅舅家在同一直线上)．如图反映了这个过程中，小红离家的距离y与时间x之间的对应关系. 根据图象回答下列问题： 小红家到舅舅家的路程是2 500 m， 小红在商店停留了10 min； 在去舅舅家的过程中，哪个时间段小 红骑行的速度最快？最快是多少？ 本次行程中小红一共骑行了多少米？用时多少分钟？ 解:(2)观察图象可知,在30~35 min,对应的线段最陡,则这一时间段的骑行速度最快,为(2 500-1 000)士+ (35一30) - 300(m/min). (3)0~ 10 min.骑行了2 000 m;10~-20 min,骑行了2 000- 1 000-1000(m); 20~-30 min,骑行了0 m;30~35 min,骑行了2 500- 1 000一1 500(m). 则本次行程中小红一共骑行了2 000+1 000+1 500- 4 500(m) ,用时35 min. 【教学建议】 学生独立思考完成，教师统一答案．教学中应注意强调： ①本题重点考查了对纵坐标之差的绝对值的理解，其对应相应活动时间内距离的变化； ②对于最快骑行速度，可通过组成图象的线段的缓陡确认 (线段越陡，迷度越快),也可比较各阶段的速度得出; ③骑行总路程不等于小红家到舅舅家的路程.
活动四：随堂训练，课堂总结 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：用图象表示函数关系有哪些优势 如何画出一个函数的图象 【作业布置】 1.教材P82习题19.1第6.7.8.9,13,14题. 2.相应课时训练。
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板书设计
教学反思 本课由生活实例入手，让学生发现用图象表示函数关系更加直观的优势；结合正方形的面积公式画出对应的函数图象，让学生经历将代数关系转化为几何图形的过程；利用问题串的形式引导学生观察分析与现实生活相结合的函数图象，逐步深入获得图象所传达的信息，熟悉图象语言，体会数形结合双向互化的魅力.
解题方法：
(1)正确理解函数图象与实际问题间的内在联系：
①读懂横、纵坐标分别所代表的实际意义；②读懂两个量在变化过程中的相互关系及其变化规律．
(2)判断一个点是否在函数图象上的方法：
将这个点的坐标代入函数解析式，若满足，则这个点在函数的图象上；若不满足，则这个点不在函数的图象上．
注意：(1)列表时要根据自变量的取值范围从小到大或自中间向两边选取，取值要有代表性，尽量使画出的函数图象能反映出函数的全貌．
(2)描点时要以表中每对对应值为坐标，点取得越多，图象就越准确．
(3)连线时要用平滑的曲线将所描的点顺次连接起来.
例1　已知吴老师家、公园、学校依次在同一直线上，吴老师家到公园、公园到学校的距离分别为400 m，600 m．吴老师从家出发匀速步行8 min到公园后，停留4 min，然后匀速步行6 min到学校．设吴老师离公园的距离为y(单位：m)，时间为x(单位：min)，则下列表示y与x之间函数关系的图象中，正确的是( C )
解析：吴老师从家出发匀速步行8 min到公园，则y的值由400变为0；吴老师在公园停留4 min，则y的值仍然为0；吴老师从公园匀速步行6 min到学校，则在18 min时，y的值为600.故选C.
例2　实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢．实际上，物质所剩的质量与时间成某种函数关系．下图为表示镭的放射规律的函数图象，据此可计算32 mg镭缩减为1 mg所用的时间约是( C )
A．4 860年　　　　B．6 480年　　　　C．8 100年　　　　　D．9 720年
解析：由图可知，镭的质量由m0缩减到m0需1 620年，由m0缩减到m0需1 620×2＝3 240(年)，由m0缩减到m0需1 620×3＝4 860(年)，依次可得，由m0缩减到m0需1 620×5＝8 100(年)．当m0＝32 mg时，m0＝×32＝1(mg)．因此，32 mg镭缩减为1 mg所用的时间约是8 100年．故选C.
例1　如图是甲步行与乙骑自行车(在同一条路上)的路程s甲，s乙随时间t变化的图象，观察图象并回答下列问题：
(1)乙出发时，乙与甲相距10km；
(2)走了一段路程后，乙的自行车发生故障，
停下来修车所用的时间为1h；
(3)乙从出发起，经过3h与甲相遇；
(4)乙骑自行车出故障前的速度与修车后的速度一样吗？为什么？
解：(1)解析：由图象可知，乙出发时，乙与甲相距10 km.故答案为10.
(2)解析：由图象可知，乙停下来修车所用的时间为1.5－0.5＝1(h)．故答案为1.
(3)解析：由图象可知，乙从出发起，经过3 h与甲相遇．故答案为3.
(4)乙骑自行车出故障前的速度与修车后的速度不一样．理由如下：
乙骑自行车出故障前的速度为7.5÷0.5＝15(km/h)，修车后的速度为(22.5－7.5)÷(3－1.5)＝10(km/h)．
因为15≠10，所以乙骑自行车出故障前的速度与修车后的速度不一样．
例2　通过对函数的学习，我们积累了一定的经验．下表是一个函数的自变量x与函数值y的部分对应值，请你借鉴以往学习函数的经验，探究下列问题：
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 6 3 2 1.5 1.2 1 …
　　(1)当x＝3时，y＝1.5；
(2)根据表中数值描点(x，y)，并画出函数图象；
(3)观察画出的图象，写出这个函数的一条性质：y随x的增大而减小(答案不唯一)．
解：(2)如图所示．

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