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教学设计
课题 一次函数与二元一次方程组 授课人
素养目标 1.使学生理解二元一次方程与一次函数的关系． 2．能用“形”(一次函数图象)的方法处理“数”(二元一次方程组)的问题，培养学生数形结合的意识与能力． 3．会应用一次函数的图象求二元一次方程组的解.
教学重点 二元一次方程与一次函数关系的探索及二元一次方程组的图象解法．
教学难点 应用方程与函数的联系观点解决问题.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：知识回顾，导入新课 设计意图 通过问题，引入本课时所要探究的内容. 【回顾导入】 1．二元一次方程x＋y＝5和一次函数y＝－x＋5之间有什么联系？ 2．(1)解二元一次方程组 (2)求直线y＝－x＋5和直线y＝2x－1交点的坐标． 对比(1)中方程组的解与(2)中交点的坐标，你有什么发现？ 通过上节课，我们发现一次函数与一元一次方程、不等式之间有着密切的联系．这节课我们将从函数的角度来看二元一次方程和解二元一次方程组. 【教学建议】 引导学生注意到二元一次方程与一次函数之间的关联性，可画出草图来辅助理解.
活动二：问题引入，自主探究 设计意图 通过数形结合，探究二元一次方程与一次函数之间的关系. 探究点1　二元一次方程与一次函数 由活动一中的问题1可知，y＝－x＋5既可以 表示一个二元一次方程，又可以表示一个一次 函数．那么对于二元一次方程2x－y＝3，可以 将其写成一次函数y＝2x－3的形式． (1)画出一次函数y＝2x－3的图象； (2)找出方程2x－y＝3的几组解； (3)将(2)中找出的几组解在平面直角坐标系中描 出，你发现了什么？ (4)在一次函数y＝2x－3的图象上的点的坐标都是二元一次方程2x－y＝3的解吗？ 解：(1)如图． (2)方程2x－y＝3的解如下表： (3)找出的几组解在平面直角坐标系中描出后，均在直线y＝2x－3上. (4)是的. 归纳总结：一般地，因为每个含有未知数x和y的二元一次方程，都 【教学建议】 让学生结合函数图象分组讨论，从函数的角度解释给出的三个方程，再由教师引导学生得出一般性结论． 教学中注意引导学生对方程进行变形，总结出函数观点下解一元一次方程ax＋b＝0的意义．
第2课时　一次函数与二元一次方程组
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设计意图 结合二元一次方程与一次函数之间的关系和实例，引入二元一次方程组与一次函数之间的关系. 可以改写为y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线．这条直线上每个点的坐标(x，y)都是这个二元一次方程的解. 【对应训练】 直线上每个点的坐标都是二元一次方程x－2y＝2的解的是( C ) 探究点2　二元一次方程组与一次函数 例1　(1)在同一平面直角坐标系中，分别作直线 y＝－x＋5和直线y＝2x－1，这两条直线有交点 吗？有的话，求出交点的坐标． (2)(1)中交点的坐标与方程组的解有什 么关系？ 解：(1)根据图象可知，有交点.令－x＋5＝2x－1，解得x＝2. 将x＝2代入y＝－x＋5，得y＝－2＋5＝3，所以交点的坐标为(2，3). (2)解方程组得所以(1)中交点的坐标就是方程组的解. 归纳总结：由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线．从“数”的角度看，解这样的方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，解这样的方程组，相当于确定两条相应直线交点的坐标．因此，我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解. 例2　阅读教材P97问题3，解决下列问题： (1)用式子分别表示两个气球所在位置的海拔y(单位：m)关于上升时间x(单位：min)的函数关系； 【教学建议】 让学生先分组自由探讨，分别从数和形两个角度分析二元一次方程与一次函数之间的关系，再由教师总结并进行补充. 教师在学生探讨的过程中，可适时提醒学生将方程的未知数与函数中的变量分别对应.
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(2)在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？ 解：(1)气球上升时间x满足0≤x≤60.对于 1号气球，y关于x的函数解析式为 y＝x＋5. (2)在某时刻两个气球位于同一高度，就是 说对于x的某个值(0≤x≤60)，函数y＝x＋5 和y＝0.5x＋15有相同的值y. 由此可得 解得 这就是说，当上升20 min时，两个气球都位于海拔25 m的高度. 如图，在同一平面直角坐标系中，画出一次函数y＝x＋5和y＝0.5x＋15的图象．两条直线的交点坐标为(20，25)，这也说明当上升20 min时，两个气球都位于海拔25 m的高度. 【对应训练】 1.如图，一次函数y＝ax＋b和y＝kx的图象 交于点P，则关于x，y的二元一次方程组 的解是( C ) A.　　　　　B. C. D. 2.教材P98练习． 【教学建议】 告诉学生：可以通过画图象的方法得到方程组的解，同时可针对图象有无交点来确认方程组是否有解．(若两直线平行，则方程组无解；若两直线相交，则方程组有唯一解；若两直线重合，则方程组有无数解)
活动三：重点突破，提升探究 设计意图 通过实际问题，加深对一次函数与二元一次方程组关系的理解. 例3　某销售公司推销一种产品，设x(单位：件)是每月推销产品的数量，y(单位：元)是付给推销员的月报酬．公司付给推销员的月报酬的两种方案如图所示，推销员可以任选一种与公司签订合同，看图解答下列问题： (1)求每种付酬方案中y关于x的函数解析式； (2)当推销产品多少件时，选择方案一与选择 方案二所得报酬相同？报酬是多少？ (3)若推销员某月推销产品35件，则他选择 哪种方案所得报酬更高？ 解：(1)观察函数图象可得，方案一的图象对应正比例函数，方案二的图象对应一次函数. 由(40，1 600)易求得方案一中y关于x的函数解析式为y＝40x； 设方案二中y关于x的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)．把(40，1 400)和(0，600)代入，得解得所以方案二中y关于x的函数 【教学建议】 让学生独立思考作答，体会一次函数与二元一次方程组在日常生活中的实际应用，教师统一答案．教师关注如下： (1)对于部分问题，可直接通过函数图象中的特殊点以及图象间的位置关系得出答案. (2)学生应理解图象中特殊
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解析式为y＝20x＋600.(2)根据题意列方程组，得解得答：当推销产品30件时，选择方案一与选择方案二所得报酬相同，报酬是1 200元. (3)结合(2)中的答案和函数图象可得，当月推销产品35件时，选择方案一所得报酬更高. 点的实际意义、直线交点的坐标与方程组的解的对应关系，避免多余的计算.
活动四：随堂训练，课堂总结 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：二元一次方程(组)与一次函数有什么关系？如何用函数的方式解二元一次方程组？ 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P99习题19.2第8，9题. 2．相应课时训练．
板书设计 19.2.3　一次函数与方程、不等式 第1课时　一次函数与一元一次方程、不等式 1.一次函数与一元一次方程的关系 2.一次函数与一元一次不等式的关系
教学反思 　 本课以上一课为基础，研究一次函数与二元一次方程(组)的关系，通过【对应训练】逐步加深对它们之间关系的认识．在循序渐进的梯度设计中，掌握解题的一般思路与方法，体会数学思想方法的重要意义.
解题方法：
(1)二元一次方程kx－y＋b＝0(k≠0)的解与一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象上的点的坐标是一一对应的．
(2)用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤：①先把方程组中的两个二元一次方程化成一次函数的形式：y＝k1x＋b1和y＝k2x＋b2；②建立平面直角坐标系，画出这两个一次函数的图象；③写出这两条直线的交点坐标，横坐标x和纵坐标y这两个数值就是二元一次方程组的解．
例1　若直线y＝3x＋6与y＝2x－4交点的坐标为(a，b)，则下列方程组中，解是的是( D )
A. B. C. D.
例2　利用图象解方程组
解：在平面直角坐标系中画出两条直线，如图所示．
两条直线的交点坐标是(2，－1)，所以方程组的解为
例1　当k为何值时，直线2k＋1＝5x＋4y与直线 k＝2x＋3y的交点在第四象限？
解：联立解得
因为它们的交点在第四象限，所以x＞0，y＜0，即解得－＜k＜2.
所以当－＜k＜2时，两直线的交点在第四象限．
例2　如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发行驶到乙港的过程中，路程y(单位：km)随时间x(单位：h)变化的图象(分别是正比例函数图象和一次函数图象)．根据图象解答下列问题：
(1)请分别求出轮船和快艇行驶过程中y关于x的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；
(2)快艇出发多长时间赶上轮船？
解：(1)设轮船行驶过程中y关于x的函数解析式为y＝kx(k≠0)．
由图象知：当x＝8时，y＝160.
代入上式，得8k＝160，解得k＝20.
所以轮船行驶过程中y关于x的函数解析式为y＝20x.
设快艇行驶过程中y关于x的函数解析式为y＝ax＋b(a≠0)，
由图象知：当x＝2时，y＝0；当x＝6时，y＝160.
代入上式，得解得
所以快艇行驶过程中y关于x的函数解析式为y＝40x－80.
(2)令20x＝40x－80，解得x＝4.
而x－2＝2，
所以快艇出发2 h赶上轮船．

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