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第3课时　用待定系数法求一次函数的解析式
教学设计
课题 用待定系数法求一次函数的解析式 授课人
素养目标 1.学会用待定系数法确定一次函数的解析式． 2．利用一次函数的解析式、图象和性质综合解决实际问题，体会数学建模的一般思想.
教学重点 运用待定系数法求一次函数的解析式．
教学难点 灵活运用一次函数的知识解决实际问题.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：设置情境，导入新课 设计意图 以“两点法”画一次函数图象的过程提出问题，引入本课重难点. 【回顾导入】 在一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)中，常数k，b是如何影响函数的图象的？ 答：k决定直线的方向及倾斜程度，b决定直线与y轴交点的位置(即交点的纵坐标)． 在前一个课时，我们学习了一次函数的图象和性质，你能写出两个具体的一次函数的解析式吗？如何画出它们的图象呢？ 答：答案不唯一，如y＝2x－1，y＝－0.5x＋1. 通常采用两点法画出它们的图象(两点确定一条直线)． 反过来，已知一个一次函数的图象经过两个具体的点，你能求出它的解析式吗？今天我们将要对此进行学习. 【教学建议】 教师带领学生重点回顾k，b对函数图象的影响，结合提出的问题引入本课时对待定系数法的探究.
活动二：问题引入，自主探究 设计意图 让学生了解待定系数法，体会数与形的转化. 探究点　用待定系数法求一次函数的解析式 在平面直角坐标系中有如图所示的两条直线，求它们对应的函数解析式． 解：图①中的直线经过原点和点(1，2)，所以对应的函数是正比例函数，比例系数k＝＝2，所以直线对应的函数解析式是y＝2x. 图②中的直线经过(0，－3)和(2，0)两个点，则b＝－3. 设它对应的函数解析式为y＝k2x－3，将(2，0)代入，得k2＝1.5， 所以直线对应的函数解析式是y＝1.5x－3. 思考：结合例1中求直线对应的函数解析式的过程，确定正比例函数和一次函数的解析式分别需要几个条件？你得到了什么启示？ 答：确定正比例函数的解析式需要1个条件，确定一次函数的解析式需要2个条件．启示：我们可以通过两个点的坐标来求得一次函数的解析式 【教学建议】 教师带领学生共同探讨作答．通过活动一的回顾和活动二的探究，教师注意引导学生发现以下两点： (1)以点的坐标作为转化工具，可以实现函数解析式与函数图象间的相互转化，它是连接数与形两种对象的纽带． (2)用待定系数法求一次函数的解析式的关
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例2　(教材P93例4)已知一次函数的图象过点(3，5)与(－4，－9)，求这个一次函数的解析式． 分析：因为一次函数的图象过点(3，5)和(－4，－9)，则这两点的坐标一定满足这个一次函数的解析式．设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将两点的坐标代入即可得到关于k，b的二元一次方程组，进一步求出k，b的值即可确定一次函数的解析式. 概念引入：像这样先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法.用待定系数法确定一次函数解析式一般要经过设、列、解、代这四个步骤. 实际上函数解析式与函数图象是可以相互转化的，实现这种转化的工具就是点的坐标，它是连接数与形两种对象的纽带，我们可以形象地用下面的图表示： 【对应训练】 教材P95练习第1题. 键就是找出函数图象上两个点的坐标或两组自变量与函数的对应值.
活动三：重点突破，巩固练习 设计意图 加深对所学知识的理解和运用，通过各种条件来求一次函数的解析式. 例3　如图，直线AB经过点A(1，1)和点B(－1，－3). (1)求直线AB对应的函数解析式； (2)连接OA，OB，求△AOB的面积. 解：(1)设直线AB对应的函数解析式为y＝kx＋b. 把A(1，1)和B(－1，－3)代入，得解得 所以直线AB对应的函数解析式为y＝2x－1. (2)如图，设直线y＝2x－1与y轴交于点C. 当x＝0时，y＝2x－1＝－1，所以点C的坐标为(0，－1). 所以S△AOB＝S△OBC＋S△AOC＝×1×1＋×1×1＝1. 【对应训练】 将直线y＝x－1平移，使得平移后的直线经过点(－2，0)，则平移后直线的解析式为y＝x＋2. 如图，点A位于x轴负半轴上，点P(2，m)在第一象限内，直线AP交y轴于点C(0，2)，S△AOP＝12. 求点A的坐标及m的值； 【教学建议】 学生独立思考完成，教师统一答案．教师可提示学生： (1)可以画出函数图象的草图来辅助理解. (2)函数图象平移前后，自变量x的系数k不变. (3)可借助面积的不同表示方法来求点的坐标.
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求直线AP对应的函数解析式. 解：(1)因为S△AOP＝S△AOC＋S△COP，所以S△AOP＝OA·OC＋OC·|xP|，所以12＝OA×2＋×2×2，所以OA＝10. 因为S△AOP＝OA·|yP|，所以12＝×10×m，所以m＝2.4. 故点A的坐标为(－10，0)，m的值为2.4. （2）设直线AP对应的函数解析式为y＝kx＋b.因为直线经过点A(－10，0)与点C(0，2)，所以解方程组得 故直线AP对应的函数解析式为y＝0.2x＋2
活动四：随堂训练，课堂总结 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤是什么？ 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P99习题19.2第7题. 2．相应课时训练．
板书设计 19.2.2　一次函数 第3课时　用待定系数法求一次函数的解析式 1.用待定系数法求一次函数的解析式 2.结合图象平移关系用待定系数法求一次函数的解析式
教学反思 　 本节课类比求正比例函数的解析式的方法，藉由“两点法”逆推由两点的坐标确定一次函数解析式的方法，让学生由此进一步感悟数形结合的思想．同时在引入待定系数法的过程中，向学生渗透转化思想，培养学生分析问题、解决问题的能力.
解题方法：
(1)待定系数法是确定函数解析式的基本方法.
确定一个正比例函数，需要确定正比例函数解析式y＝kx(k≠0)中的常数k；
确定一个一次函数，需要确定一次函数解析式y＝kx＋b(k≠0)中的常数k和b.
(2)运用待定系数法确定正比例函数解析式，只要知道除(0，0)外的一对对应值即可；
确定一次函数解析式，则通常需要两对对应值．
(3)用待定系数法确定一次函数解析式的步骤：
①设函数解析式的一般形式为 y＝kx＋b(k≠0)；
②把x与y的对应值代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组；
③求出待定系数；
④写出函数解析式．
例1　若点M(x1，y1)在函数y＝kx＋b(k≠0)的图象上，当－1≤x1≤2时，－2≤y1≤1，则该函数的解析式为y＝x－1或y＝－x.
解析：因为点M(x1，y1)在函数y＝kx＋b(k≠0)的图象上，当－1≤x1≤2时，－2≤y1≤1，所以分两种情况讨论：
①当k＞0时，点(－1，－2)，(2，1)在函数图象上，则有
解得，此时y＝x－1；
②当k＜0时，点(－1，1)，(2，－2)在函数图象上，则有
解得此时y＝－x.
综上，该函数的解析式为y＝x－1或y＝－x.
例2　已知一次函数的图象经过点A(2，1)，B(－1，－3)．
(1)求此一次函数的解析式；
(2)求此一次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标；
(3)求此一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积．
解：(1)设此一次函数的解析式为y＝kx＋b.把A(2，1)，B(－1，－3)代入，得解得
所以此一次函数的解析式为y＝x－.
(2)在y＝x－中，令x＝0，得y＝－；令y＝0，得x＝.
所以此一次函数与x轴的交点坐标为(，0)，与y轴的交点坐标为(0，－)．
(3)由(2)可知，此一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积是××＝.
例　如图，在平面直角坐标系中，点A(2，m)在直线y＝2x－上，过点A的直线交y轴于点B(0，3)．
求m的值和直线AB对应的函数解析式；
(2)若点P(t，y1)在线段AB上，点Q(t－1，y2)在直线y＝2x－上，求y1－y2的最大值．
分析：(1)把点A的坐标代入解析式可求解m，然后设直线AB对应的函数解析式为y＝kx＋b，进而根据待定系数法可进行求解；
(2)将P(t，y1)代入(1)中求得的解析式，将Q(t－1，y2)代入y＝2x－，用含t的式子表示出y1，y2，y1－y2，然后根据一次函数的性质和t的取值范围进行求解．
解：(1)把A(2，m)代入y＝2x－，得m＝.
设直线AB对应的函数解析式为y＝kx＋b.
把A(2，)，B(0，3)代入，得解得
所以直线AB对应的函数解析式为y＝－x＋3.
(2)因为点P(t，y1)在线段AB上，点Q(t－1，y2)在直线y＝2x－上，
所以y1＝－t＋3(0≤t≤2)，y2＝2(t－1)－＝2t－，
所以y1－y2＝－t＋3－(2t－)＝－t＋(0≤t≤2)．
因为－＜0，所以y1－y2随t的增大而减小．
又0≤t≤2，所以当t＝0时，y1－y2取得最大值，为.

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