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第二十章　数据的分析
20．1　数据的集中趋势
20．1.1　平均数
教学设计
课题 平均数 授课人
素养目标 1.理解数据的权和加权平均数的概念，理解加权平均数在数据统计中的意义和作用． 2．会根据算术平均数和加权平均数的计算公式进行有关计算，发展初步的统计意识和数据处理能力． 3.明确加权平均数与算术平均数的区别和联系，感受加权平均数在现实生活中的广泛应用 4.理解把算术平均数的简便算法看成加权平均数的道理，进一步加深对加权平均数的认识
教学重点 加权平均数概念的理解以及运用加权平均数解决实际问题．
教学难点 1.理解权的差异对平均数的影响． 2.对算术平均数的简便算法与加权平均数算法一致性的理解.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：回顾旧知，导入新课 设计意图 通过简单的对算术平均数的复习，为新知识的学习奠定基础，并进行比较. 【回顾导入】 日常生活中，我们常用平均数表示一组数据的“平均水平”． 一般地，对于n个数x1，x2，…，xn，我们把x＝(x1＋x2＋…＋xn)叫 做这n个数的算术平均数，简称平均数，记做x(读作x拔)． 算一算：求下列各组数据的平均数： (1)1，2，3，4，5； (2)3，3，2，2，2，5，5，5，5，8. 问题：对于第(2)问有没有不同的求解过程？ 这是我们本课时要解决的问题！我们一起来探讨下. 【教学建议】 指定学生代表回答，引导学生思考新的不同的求解过程，为新课的学习做好铺垫.
活动二：问题探究，引出新知 设计意图 通过计算平均数的不同方式，以及学生可能的常见错误，强化对权的认识，理解权的重要性. 探究点　加权平均数 1．权表示数据的重要程度(权以比例的形式出现) 问题1　[教材P111问题1(1)]一家公司打算招聘一名英文翻译．对甲乙两名应试者进行了听、说、读、写的英语水平测试，他们的各项成绩(百分制)如表所示．如果这家公司想招一名综合能力较强的翻译，计算两名应试者的平均成绩(百分制)．从他们的成绩看，应该录取谁？
第1课时　平均数
教学步骤 师生活动
如果计算平均成绩的话，显然甲的平均成绩较高，但是在现实生活中，公司往往更看重翻译的笔译能力，那么应该怎样设计成绩评比的方案呢？我们一起来看下面的问题： 问题2　[教材P111问题1(2)]如果这家公司想招一名笔译能力较强的翻译，用算术平均数来衡量他们的成绩合理吗？如果听、说、读、写的成绩按照2∶1∶3∶4的比确定，应该录取谁？ 解：不合理．如果听、说、读、写的成绩按照2∶1∶3∶4的比确定，那么甲的平均成绩为＝79.5(分)，乙的平均成绩为＝80.4(分)．因为乙的平均成绩比甲高，所以应该录取乙. 问题3　比较问题1和问题2中的数据，他们在重要程度上有什么不同？ 答：问题1中的数据被认为是同等重要，问题2是根据实际需要对不同类型的数据赋予与其重要程度相应的比重. 即：问题2中的2，1，3，4分别称为听、说、读、写四项成绩的权. 问题4　说一说问题1中听、说、读、写四项成绩的权是多少？问题2这四项中哪一项最重要？ 答：问题1中听、说、读、写四项成绩的权都是1，问题2这四项中“写”最重要. 问题5　能把问题2中这种平均数的计算方法推广到一般吗？能 概念引入：一般地，若n个数x1，x2，…，xn的权分别是w1，w2，…，wn，则叫做这n个数的加权平均数 问题6　利用上面提到的权和加权平均数的有关知识，我们再来看一个问题：(教材P112思考)如果这家公司想招一名口语能力较强的翻译，听、说、读、写的成绩按照3∶3∶2∶2的比确定，那么甲、乙两人谁将被录取？ 答：甲的平均成绩为＝80.5(分)， 乙的平均成绩为＝78.9(分). 因为甲的平均成绩比乙高，所以甲将被录取. 【教学建议】 教师通过问题串的形式引导学生得出权及加权平均数的基本概念．教学过程中要注意告知学生：权能够反映数据的相对重要程度，权的改变会影响这组数据的平均水平.
答：通过上述问题的分析，我们可以发现权能够反映数据的相对重要程度，权的改变一般会影响这组数据的平均水平，它对最后结果也会产生很重要的影响．某一项的权越大，说明此项越重要，那么此项的成绩越高，被录取的可能性也越大. 2.权表示数据的重要程度(权以百分比的形式出现) 例1　(教材P112例1)一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分．各项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占50%、演讲能力占40%、演讲效果占10%，计算选手的综合成绩(百分制)．进入决赛的前两名选手的单项成绩如表所示，请确定两人的名次. 解答前提问：这里“演讲内容、演讲能力、演讲效果”成绩的权是以什么形式出现的？各是多少？哪一项最重要？ 答：“演讲内容、演讲能力、演讲效果”成绩的权是以百分比的形式出现的，分别是50%，40%，10%，“演讲内容”最重要. 写出例1的解答过程. 解：选手A的最后得分是85×50%＋95×40%＋95×10%＝90(分). 选手B的最后得分是95×50%＋85×40%＋95×10%＝91(分). 因为90＜91，所以选手B获得第一名，选手A获得第二名. 解答后提问：两名选手的单项成绩都是两个95分和一个85分，为什么他们的最后得分不同呢？ 答：因为每一项的权不同，也就是重要程度不同，计算时不只看单项成绩，还要看权的大小. 归纳总结：在加权平均数中，百分比越大，也就是权越大，代表此项内容越重要. 3.权表示数据出现的次数 上面出现的加权平均数中，权表现数据的重要程度．但如果我们在求n个数据的算术平均数时，如果有k个数据多次重复出现，权没有重要程度的区别，它是否有简便的算法呢？比如活动一中3，3，2，2，2，5，5，5，5，8这样一组数据？ 答：有．x＝＝4 归纳总结：在求n个数的平均数时，如果x1出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次(这里f1＋f2＋…＋fk＝n)，那么这n个数的平均数x＝也叫做x1，x2，…，xk这k个数的加权平均数，其中f1，f2，…，fk分别叫做x1，x2，…，xk的权. 【教学建议】 启发学生思考例1中的权的含义，及它与问题1中的权的含义是否相同．这里它是以百分比的形式出现的，这一点要让学生进行体会，以加深对加权平均数的认识.
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阅读教材P113例2，回答下列问题： (1)如果把教材P113例2的结果看成加权平均数，那么13岁、14岁、15岁、16岁这4个数据的权各是多少？ 答：13岁、14岁、15岁、16岁这4个数据的权分别是8，16，24，2. (2)这里的权是以什么形式出现的？ 答：这里的权是以各个年龄跳水队运动员的人数(即出现次数)的形式出现的. 【对应训练】 1～2.教材P113练习. 3.教材P115练习第1题． 【教学建议】 告诉学生：当k个数据重复出现总共n次时，求这n个数据的算术平均数可以看作是求k个数据的加权平均数.
活动二：知识运用，巩固提升 设计意图 巩固学生对加权平均数的认知，能运用加权平均数解决实际问题. 例2　某班要从甲、乙、丙三名候选人中选出一名参加英语竞赛，对三人进行了笔试和口试，测试成绩如下表： 班上50名学生又对这三名候选人进行了民主投票，三人的得票率(没有弃权票，每名学生只能投一票)如图所示，每得一票记1分． (1)甲的得票分为15分，乙的得票分为15分，丙的得票分为20分； (2)如果三项得分的平均成绩最高者去参赛，那么甲将去参赛； (3)如果笔试、口试、投票三项成绩按照5∶3∶2 的比确定，平均成绩最高者去参赛，那么谁将去参赛？ 解：(2)解析：x甲＝≈58.33(分)，x乙＝＝55.00(分)，x丙＝≈56.67(分)．因为58.33＞56.67＞55.00，所以甲将去参赛．故答案为甲． (3)x′甲＝＝65(分)， x′乙＝＝64(分)， x′丙＝＝66(分).因为66＞65＞64，所以丙将去参赛. 【教学建议】 注意提醒学生： (1)加权平均数不仅与每个数据有关，还受每个数据权的影响，权越大，对平均数的影响越大，反之越小． (2)权的表现形式有比例、百分比、数据出现的次数等几种情况．
活动四：随堂训练，课堂总结 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：加权平均数中，权的作用是什么？加权平均数的计算公式是什么？当一组数据中有多个数据重复出现时，如何简便地计算这组数据的平均数？
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【知识结构】 【作业布置】 1.教材P121习题20.1第1，4，5题. 2.相应课时训练．
板书设计 20.1.1　平均数 第1课时　平均数 加权平均数的概念： 1.一般地，若n个数x1，x2，…，xn的权分别是w1，w2，…，wn，则叫做这n个数的加权平均数. 2.在求n个数的平均数时，如果x1出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次(这里f1＋f2＋…＋fk＝n)，那么这n个数的平均数x＝也叫做x1，x2，…，xk这k个数的加权平均数，其中f1，f2，…，fk分别叫做x1，x2，…，xk的权.
教学反思 通过复习算术平均数，再通过探究不同的求解方式发现加权平均数，在学习过程中体会权的重要性，掌握算术平均数和加权平均数的概念与计算公式，学会分析数据并利 用数据指导我们的学习和生活. 本节课培养了学生数学的思维能力，让学生从生活中学习数学，体现了数学来源于生活并应用于生活.
解题方法：
(1)若x＝(x1＋x2＋x3＋…＋xn)，y＝(y1＋y2＋y3＋…＋yn)，则有下列结论：①x1±y1，x2±y2，x3±y3，…，xn±yn的平均数为x±y；②x1，y1，x2，y2，x3，y3，…，xn，yn的平均数为(x＋y)；③ax1＋b，ax2＋b，ax3＋b，…，axn＋b的平均数为ax＋b.
(2)平均数与一组数据中的每个数据都有关系，当一个数据发生变化时，会影响整组数据的平均数．
(3)加权平均数是算术平均数的特例．加权平均数的实质就是考虑不同权重的平均数，当加权平均数的各项的权相等时，就变成了简单的算术平均数．
　　例　小军八年级下学期的数学成绩如表所示：
测验类别
平时
测验1 测验2 测验3 测验4
(1)计算小军下学期平时的平均成绩；
(2)如果学期总评成绩按扇形统计图所示的权重计算，那么小军下学期的总评成绩是多少分？
解：(1)(90＋95＋85＋90)÷4＝90(分)．
答：小军下学期平时的平均成绩是90分．
(2)90×10%＋88×40%＋92×50%＝90.2(分)．
答：小军下学期的总评成绩是90.2分．
例1　学校广播站要招聘1名记者，小亮和小丽报名参加了3项素质测试，成绩如下：
写作能力 普通话水平 计算机水平
小亮 90分 75分 51分
小丽 60分 84分 72分
写作能力、普通话水平、计算机水平这三项的总分由按3∶5∶2计算，变成按5∶3∶2计算后，总分的变化情况是( B )
A．小丽的总分提高了 B．小亮的总分提高了 C．两人总分均不变化 D．无法确定
解析：当写作能力、普通话水平、计算机水平这三项的总分按3∶5∶2计算时，小亮的成绩是＝74.7(分)，小丽的成绩是＝74.4(分)；当写作能力、普通话水平、计算机水平这三项的总分按5∶3∶2计算时，小亮的成绩是＝77.7(分)，小丽的成绩是＝69.6(分)．
故写作能力、普通话水平、计算机水平这三项的总分由按3∶5∶2计算，变成按5∶3∶2计算后，小亮的总分变化是77.7－74.7＝3(分)，小丽的总分变化是69.6－74.4＝－4.8(分)，故小亮的总分提高了．故选B.
例2　某班进行个人投篮比赛，受污损的下表记录了在规定时间内各进球数的人数情况：
进球数n 0 1 2 3 4 5
投进n个球的人数 1 2 7 ■ ■ 2
　　已知进球3个以上(包括3个)的人平均每人投进3.5个球，进球4个以下(包括4个)的人平均每人投进2.5个球，则投进3个球和4个球的各有多少人？
解：设投进3个球的有x人，投进4个球的有y人．
由题意得
整理，得解得
故投进3个球的有9人，投进4个球的有3人．

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