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第2课时　根据方差做决策
教学设计
课题 根据方差做决策 授课人
素养目标 1.进一步加深对方差概念的认识，在实际问题情境中感受抽样的必要性，体会用样本方差估计总体方差的统计思想． 2．通过应用方差对实际问题做出决策，形成一定的数据意识，提高解决问题的能力，体会特征数据的应用价值． 3．经历数据的收集、整理、分析过程，在活动中培养统计意识，掌握分析数据的思想和方法.
教学重点 用样本的方差估计总体的方差做出决策．
教学难点 综合运用平均数、众数、中位数和方差解决实际问题.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：回顾旧知，导入新课 设计意图 通过回忆方差的计算，为新知识的学习奠定基础. 【回顾导入】 方差的计算公式： s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)＋…＋(xn－x)2]． 方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小． 方差的适用条件：当两组数据的平均数相等或相近时，才利用方差来判断它们的波动情况． 那么当考察样本具有破坏性时，我们如何知道相应总体的方差，进而做出决策呢？这是我们本课时需要解决的问题，我们一起来看看！ 【教学建议】 学生回顾方差的求法以及意义，教师引导学生思考方差的意义如何在实际生活中运用.
活动二：实践探究，引出新知 设计意图 通过对实际问题的思考与旧知识的回顾让学生知道只靠一个统计量不能解决问题，从而引出新课. 探究点　根据方差做决策 农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子．选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是农科院所关心的问题．为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，农科院各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量(单位：t)如下表： 根据这些数据估计，农科院应该选择哪种甜玉米种子？ 我们一起通过问题来分析解决： (1)计算出两组数据的平均数，你有什么发现？ 答：x甲＝7.537，x乙＝7.515.发现甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大，由此估计出这个地区种植这两种甜玉米的平均产量相差不大. (2)我们如何选择和决策呢？ s甲2＝×[(7.65－7.537)2＋(7.50－7.537)2＋…＋(7.41－7.537)2]≈0.010. s乙2＝×[(7.55－7.515)2＋(7.56－7.515)2＋…＋(7.49－7.515)2]≈0.002. 【教学建议】 通过对统计量的探究让学生理解方差的意义，掌握方差可以反映一组数据的波动情况．同时教师引导学生，有时候需要用样本方差估计总体方差，在实际生活中，经常利用这一点为决策提供依据.
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s甲2＞s乙2，即甲种甜玉米产量的相对波动较大，乙种甜玉米产量的相对波动较小，较为稳定，我们这里可以用这个样本的方差估计总体的方差，由此推测，在这个地区种植乙种甜玉米的产量比甲种的稳定．农科院应选择乙种甜玉米的种子. 归纳总结：用样本的方差去估计总体的方差．样本的方差越小，总体的数据越稳定. 【对应训练】 1.甲、乙两名士兵在相同条件下各射靶6次，每次命中的环数(单位：环)分别是 甲：6　7　10　6　9　5 乙：8　9　9　8　7　9 那么甲、乙两名士兵的射靶成绩中，波动较小的是乙．(填“甲”或“乙”) 2.教材P127练习．
活动三：知识运用，巩固提升 设计意图 巩固学生对方差意义的认知，在实际生活问题中，掌握并能根据方差做决策. 例　(教材P127例2)某快餐公司的香辣鸡腿很受消费者欢迎．现有甲、乙两家农副产品加工厂到快餐公司推销鸡腿，两家鸡腿的价格相同，品质相近．快餐公司决定通过检查鸡腿的质量来确定选购哪家的鸡腿．检查人员从两家的鸡腿中各随机抽取15个，记录它们的质量(单位：g)如下表所示，根据表中数据，你认为快餐公司应该选购哪家加工厂的鸡腿？ 解：检查人员从甲、乙两家农副产品加工厂各随机抽取的15个鸡腿分别组成一个样本，样本数据的平均数分别是 x甲＝≈75，x乙＝≈75. 样本数据的方差分别是 由x甲≈x乙可知，两家加工厂的鸡腿质量大致相等；由s甲2＜s乙2可知，甲加工厂的鸡腿质量更稳定，大小更均匀．因此，快餐公司应 该选购甲加工厂生产的鸡腿. 【对应训练】 1.从甲、乙、丙、丁四名同学中选出一名同学参加数学抢答竞赛，四名同学平时数学成绩的平均数及方差如下表所示： 根据表中数据，要从这四名同学中选择一名成绩好且发挥稳定的同学去参赛，那么应该选择的同学是( C ) A.甲　　　　　B．乙　　　　　C．丙　　　　　D．丁 【教学建议】 例题和【对应训练】可由学生自主完成，教师就有疑问的地方进行解答，并提醒学生注意：这里决策的依据都是选择方差小的那一个，但注意在不同的实际生活情境中，方差的大与小都有其各自的用途，并不是所有的统计问题中都是方差越小越好，还要看这组数据所反映的实际问题.
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2.甲、乙两人准备代表班级参加学校“诗词文化”竞赛，班主任对这两位同学测试了5次，获得如图测试成绩折线统计图．根据图中信息，解答下列问题： (1)要评价每位同学成绩的平均水平，应选择什么统计量？求这个统计量； (2)求乙同学成绩的方差； (3)现求得甲同学成绩的方差为s甲2＝220.根据折线统计图及上面两小题的计算，你认为哪位同学的成绩较好？请简述理由. 解：(1)要评价每位同学成绩的平均水平，应选择平均数. 甲同学成绩的平均数为x甲＝×(85＋100＋80＋60＋100)＝85(分)， 乙同学成绩的平均数为x乙＝×(80＋80＋90＋85＋90)＝85(分). (2)乙同学成绩的方差为 s乙2＝×[(80－85)2＋(80－85)2＋(90－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2]＝20. (3)乙同学的成绩较好．理由：由(1)可知两人成绩的平均数相等，结合(2)可知s甲2＞s乙2，乙同学的成绩更稳定，故乙同学的成绩较好.
活动四：随堂训练，课堂总结 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：在解决实际问题时，方差的作用是什么？什么情况下可以用样本方差估计总体方差？ 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P128习题20.2第2，3，5题. 2.相应课时训练．
板书设计 20.2　数据的波动程度 第2课时　根据方差做决策 实际问题中常采用样本方差估计总体方差的统计思想
教学反思 本节课采用了创设问题情境，启发学生思考的教学模式，更好地抓住学生学习新知的过程．由于本课时的试题信息量比较大，会耽误一定的时间，学生在互动的时间上会有所压缩．从本节课的授课过程来看，学生在教师的引导下自学，联系旧知，给学生充分发表意见的自由度.
1．知识拓展：
(1)极差：一组数据的最大值与最小值的差叫做这组数据的极差．
(2)标准差：一组数据的方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，即s＝.
标准差也是一个用来衡量一组数据的波动大小的重要的量．
(3)若数据x1，x2，…，xn的方差为s2，标准差为s，则数据kx1＋b，kx2＋b，…，kxn＋b的方差为k2s2，标准差为|k|s.
2．解题方法：
(1)在考察总体方差时，如果所要考察的总体包含很多个体，或者考察本身带有破坏性，那么可以采用样本估计总体的统计思想．实际中常常用样本的方差来估计总体的方差，同时还应注意，一般要先比较平均数，若平均数相差较小才考虑方差．
(2)用样本估计总体：
①统计的基本思想：用样本的特征(平均数和方差)估计总体的特征．
②统计的决策依据：利用数据做决策时，要全面、多角度地去分析已有数据，从数据的变化中发现它们的规律和变化趋势，减少人为因素的影响．
例1　若一组数据x1，x2，…，xn的方差是3，则另一组数据2x1＋5，2x2＋5，…，2xn＋5的方差是( D )
A．3 B．8 C．9 D．12
解析：设数据x1，x2，…，xn的平均数为a，则数据2x1＋5，2x2＋5，…，2xn＋5的平均数为2a＋5，根据方差公式：s旧2＝[(x1－a)2＋(x2－a)2＋…＋(xn－a)2]＝3，则s新2＝{[(2x1＋5)－(2a＋5)]2＋[(2x2＋5)－(2a＋5)]2＋…＋[(2xn＋5)－(2a＋5)]2}＝4×[(x1－a)2＋(x2－a)2＋…＋(xn－a)2]＝4×3＝12.故选D.
例2　在一次体操比赛中，6名裁判员对某一运动员的打分数据(动作完成分)如下：
9．6　　8.8　　8.8　　8.9　　8.6　　8.7
对打分数据有以下两种处理方式：
方式一：不去掉任何数据，用6个原始数据进行统计；
平均分 中位数 方差
8.9 a 0.107
　　方式二：去掉一个最高分和一个最低分，用剩余的4个数据进行统计；
平均分 中位数 方差
b 8.8 c
　　(1)a＝8.8，b＝8.8，c＝0.005；
(2)你认为把哪种方式统计出的平均分作为该运动员的最终得分更合理？写出你的判断并说明理由．
解：(1)解析：方式一：不去掉任何数据，这组数据的中位数为a＝＝8.8；
方式二：去掉一个最高分和一个最低分，平均分为b＝×(8.8＋8.8＋8.9＋8.7)＝8.8，
方差为c＝×[(8.8－8.8)2＋(8.8－8.8)2＋(8.9－8.8)2＋(8.7－8.8)2]＝0.005.故答案为8.8，8.8，0.005.
(2)方式二更合理．理由：这样可以减少极端值对数据的影响．
例1　长时间观看手机、电脑等电子产品对视力影响非常大.6月6日是“全国爱眼日”，为了解学生的视力情况，某学校从甲、乙两个班级各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法正确的是( D )
A．甲班视力值的平均数大于乙班视力值的平均数
B．甲班视力值的中位数大于乙班视力值的中位数
C．甲班视力值的极差小于乙班视力值的极差
D．甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差
例2　某校准备从甲、乙两名同学中选派一名参加全市组织的“学宪法，讲宪法”比赛，分别对两名同学进行了八次模拟测试，每次测试满分为100分，现将测试结果绘制成如下统计图表，请根据统计图表中的信息解答下列问题：
平均数/分 众数/分 中位数/分 方差
甲 75 a b 93.75
乙 75 80，75，70 75 s乙2
(1)a＝85，b＝77.5；
(2)求乙得分的方差；
(3)根据已有的信息，你认为选谁参赛较好，请说明理由．
解：(2)乙得分的方差为s乙2＝×[2×(75－75)2＋2×(80－75)2＋2×(70－75)2＋(85－75)2＋(65－75)2]＝37.5.
(3)(答案不唯一)①从平均数和方差相结合看，甲、乙得分的平均数相等，乙得分的方差小于甲得分的方差，即乙的成绩较稳定，所以选乙参赛较好；
②从平均数和中位数相结合看，甲、乙得分的平均数相等，甲得分的中位数大于乙得分的中位数，所以选甲参赛较好．

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