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第二十七章 相似
27.2.1相似三角形的判定（第一课时）
教案
教学目标：
1.了解相似三角形的定义
2.掌握“平行线分线段成比例”的基本事实
3.掌握利用平行线判定三角形相似的方法
4.利用相似三角形的定义、判定定理解诀边和角的计算问题.
教学重点：
1.了解相似三角形的定义
2.掌握“平行线分线段成比例”的基本事实
3.掌握利用平行线判定三角形相似的方法
教学难点：
利用相似三角形的定义、判定定理解诀边和角的计算问题.
教学过程:
一、复习导入
教师提问：上节课我们学习了相似多边形，大家回忆一下相似多边形的定义和性质.
学生回答：两个边数相同的多边形，如果他们的对应角分别相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比.
由相似多边形的定义可知，相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
在相似多边形中，最简单的就是相似三角形，类比相似多边形的学习，我们进行相似三角形的学习.
（教师通过提问回顾上节知识，加深学生对上节知识的认识，并通过上节知识引入新知识，做到知识的前后连接.）
二、探究新知
探究一
教师引导：类比相似多边形的学习，观察下图，对于△ABC与△A′B′C′，你认为它们的形状相同吗？对应边,对应角有什么特点？小组进行讨论并派出代表进行回答.
两个三角形形状相同，大小不同，对应角分别相等，对应边成比例
教师对学生的回答进行总结：在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，
∠C=∠C′，，即三个角分别相等，三条边成比例，我们就说△ABC与△A′B′C′相似，相似比为k.相似用符号“ ∽ ”表示，读作“ 相似于 ”，
△ABC与△A′B′C′相似记作“ △ABC ∽△A′B′C′ ”.
注意：
（1）相似三角形的定义既是最基本的判定方法，也是最本质、最重要的性质.
（2）在书写两三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即△ABC∽△A’B’C’，则说明A的对应点是A’，B的对应点是B’，C的对应点是C’.
思考：△A’B’C’ ∽△ABC与△ABC ∽△A’B’C’的相似比是否相同？
（学生进行讨论并回答问题，教师通过学生的回答对问题进行总结.）
△A’B’C’ ∽△ABC与△ABC ∽△A’B’C’的相似比不同.
注意：相似比带有顺序性，如△ABC∽△A’B’C’，则，反过来△A’B’C’与△ABC的相似比为.
思考：如果k = 1，这两个三角形有怎样的关系？
两个三角形全等
总结：全等三角形是相似比为1的相似三角形，但相似三角形不一定是全等三角形.
探究二
如图，任意画两条直线l1、l2，再画三条与l1、l2都相交的平行线l3、l4、l5.分别度量l3、l4、l5在l1上截得的两条线段 AB，BC 和在l2上截得的两条线段 DE，EF 的长度.与相等吗？任意平移l5，与还相等吗？
通过度量各个线段的长度可以发现，当时，，此外还可以得到，等.
任意平移l5，与依然相等.
总结：平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
把平行线分线段成比例的基本事实应用到三角形中，会出现下面两种情况.
教师提问：在图（1）中，把l4看成平行于△ABC的边BC的直线；在图（2）中把l3看成平行于△ABC的边BC的直线，根据平行线分线段成比例的基本事实我们可以得到什么结论？
结论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.
探究三
思考：如图，在△ABC中，DE∥BC，且DE分别交AB，AC于点D，E，△ADE与△ABC有什么关系？
学生回答：△ADE∽△ABC
直觉告诉我们两三角形相似，那么如何去证明它呢？
我们可以通过相似的定义证明它，即证明∠A=∠A，∠ADE=∠B，∠AED=∠C，.由前面的结论可得，.再将DE平移到BC边上去，使BF=DE，再证明就可以了.
只要过点E作EF∥AB，交BC于点F，BF就是平移DE所得的线段.
先证明两个三角形的角分别相等：
在△ADE与△ABC中，∠A=∠A
∵ DE∥BC
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C
再证明两个三角形的边成比例
过点E作EF∥AB，交BC于点F.
∵ DE∥BC，EF∥AB
∴ ，
∵ 四边形DBFE是平行四边形
∴ DE=BF
∴
∴
这样我们就证明了△ADE与△ABC的角分别相等，边成比例，所以△ADE∽△ABC
因此，我们可以得到判定三角形相似的定理：
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
定理应用格式：
∵ DE∥BC ∴ △ADE∽△ABC
如图，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC，我们称为“A型”。
若直线DE交在AB，AC的反向延长线上，且DE∥BC，则△ADE∽△ABC，我们称为“X型”。
由平行线获得相似常见的有两种基本图形：“A”字型和“X”字型.
三、课后练习
1.如图，，若，，那么( )
A. B. C. D.
答案答案：A
解析：，
，
，
.
故选：A.
2. 如图，如果，那么下列结论不成立的是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：，
，故A选项成立；
，即，故B选项成立；
，即，故C选项成立；
，故D选项不成立；
故选：D.
3. 如图，两条直线被三条平行线所截，，，，长为( )
A. B.6 C. D.7
答案：A
解析：，
，
，，，
，
，
故选：A.
4. 如图，在中，点D在边AB上，过点D作，交AC于点E.若，，则的值是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：，
，
故选：A
5如图，已知，那么下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
解析：，
，选项A正确，符合题意；
选项B错误，不符合题意；
，
，
，
选项C、D均错误，不符合题意；
故选：A.
四、小结
今天我们学习了哪些知识？
1.了解相似三角形的概念
2.掌握“平行线分线段成比例”的基本事实
3.掌握利用平行线判定三角形相似的方法
4.利用相似三角形的定义、判定定理解诀边和角的计算问题.
五、板书设计
相似三角形的判定（第一课时）
1.相似三角形的定义
2.平行线分线段成比例的基本事实
3.平行线分线段成比例的基本事实在三角形中的应用
4.平行线证明三角形相似：“A”字型和“X”字型.

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