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第二十七章 相似
27.2.1相似三角形的判定（第二课时）
教案
教学目标：
1.理解三边成比例的两个三角形相似
2.理解两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
3.理解两角分别相等的两个三角形相似
4.掌握判定直角三角形相似的方法
5.灵活应用三角形相似的判定解决数学问题
教学重点：
1.理解三边成比例的两个三角形相似
2.理解两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
3.理解两角分别相等的两个三角形相似
教学难点：
灵活应用三角形相似的判定解决数学问题
教学过程:
一、复习导入
教师提问：上节课我们通过应用平行线分线段成比例的基本事实学习了判定三角形相似的定理，大家回忆一下判定三角形相似的定理是什么？
学生回答：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
思考：还有哪些方法可以判定两个三角形相似呢？
教师提问：判定两个三角形全等时，除了可以验证它们所有的角和边分别相等外，还可以使用简便的判定方法(SSS，SAS，ASA，AAS)，类似地，判定两个三角形相似时，是不是也存在简便的判定方法呢？
（教师以提问的方式带着学生回顾上节知识，加深学生对上节知识的认识，并通过上节知识引入新知识，做到知识的新旧连接.）
二、探究新知
探究一
教师引导：类似于判定三角形全等的SSS方法，我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢？
同学们现在在纸上任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形相似吗？
（画完后同桌间进行讨论，看看是否有一样的结论，讨论完成后进行回答）
结论：两个三角形的角分别相等，通过相似三角形的定义，三个角分别相等，三边成比例，所以这两个三角形相似.
下面，我们尝试应用上面的定理进行证明.
如图，在△ABC和△A′B′C′中,如果，求证△ABC∽
△A′B′C′.
分析:在A′B′上截取A′D=AB,再过D作DE∥B′C′,得到△A′DE∽△A′B′C′,再证明
△ABC≌△A′DE,则可得到△ABC∽△A′B′C′.
证明:在线段A′B′(或它的延长线)上截取A′D=AB,过点D作DE∥B′C′,交A′C′于点E.根据前面的定理,可得△A′DE∽△A′B′C′.
∴
又，A′D=AB,
∴
∴DE=BC,A′E=AC.
∴△A′DE≌△ABC.
∴△ABC∽△A′B′C′.
△A′DE是证明的中介,它把△ABC与△A′B′C′联系起来.
由此我们得到了利用三边判定三角形相似的定理：三边成比例的两个三角形相似.
几何语言：如图所示，在和中，，.
探究二
教师引导：类似于判定两个三角形全等的SAS的方法,能不能通过两边和夹角来判定两个三角形相似呢？
利用刻度尺和量角器画△ABC和△A′B′C′,使∠A=∠A′,
△ABC∽△A′B′C′吗
通过前面所学的三边成比例的两个三角形相似的证明方法同学们尝试在纸上证明：在△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′,求证△ABC∽△A′B′C′.
（学生在纸上作答，教师随时观察学生的作答情况，在大多数学生完成的情况下进行讲解）
证明:在A′B′上截取A′D=AB,作DE∥B′C′交A′C′于点E.
∵DE∥B′C′,∴△A′DE∽△A′B′C′.
∴=.
又∵=,A′D=AB,
∴A′E=AC.
又∵∠A=∠A′
∴△ABC≌△A′DE.
∴△ABC∽△A′B′C′.
结论：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
几何语言：如图所示，在和中，,且，.
思考：在△ABC与△A′B′C′中,如果==k,∠B=∠B′,那么△ABC与
△A′B′C′一定相似吗 试着画画看.
教师引导学生回顾“两边对应相等,且其中一边的对角也相等的两个三角形不一定全等”时所举出的反例,判别这两个三角形不一定相似
如上图,两个三角形两边对应成比例,有任意一角对应相等,这两个三角形不相似
注意：两边对应成比例并且必须是夹角对应相等两三角形才一定相似.
例题巩固：
根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由：
(1)AB＝4cm，BC＝6cm，AC＝8cm，A′B′＝12cm，B′C′＝18cm，A′C′＝24cm.
(2)∠A＝120°，AB＝7cm，AC＝14cm，∠A′＝120°，A′B′＝3cm，A′C′＝6cm.
（两名学生在黑板上作答，其余学生在纸上进行作答，学生作答完成后，教师进行评析）
解：(1)∵＝＝，＝＝，＝＝，
∴＝＝.
∴△ABC∽△A′B′C′
（三边成比例的两个三角形相似）
(2)∵＝，＝＝，∴＝.
又∠A＝∠A′，∴△ABC∽△A′B′C′.
（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）
探究三：
教师引导学生：观察两副三角尺如图所示，其中有同样两个锐角(30°与60°，或45°与45°)的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的．
思考：如果两个三角形有两组角对应相等，它们一定相似吗？
尝试证明：
如图所示,已知在△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′,∠B=∠B′.求证△ABC∽△A′B′C′.（同探究一探究二的证明方法）
证明:在线段A′B′上截取A′D=AB,过点D作DE∥B′C′,交A′C′于点E,则可得△A′DE∽△A′B′C′.
∵DE∥B′C′,∴∠A′DE=∠B′,
又∠B=∠B′,∴∠B=∠A′DE,
又∵∠A=∠A′,A′D=AB,
∴△A′DE≌△ABC,
∴△ABC∽△A′B′C′.
结论：两角分别相等的两个三角形相似.
几何语言：如图所示，在和中，,.
例题巩固：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8.E是AC上一点，AE＝5，ED⊥AB，垂足为D.求AD的长．
解：∵ED⊥AB，∴∠EDA＝90°又∠C＝90°，∠A＝∠A，
∴△AED∽△ABC.∴
∴.
由三角形相似的条件可知，如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似．
思考：我们知道，两个直角三角形全等可以用“HL”来判定．那么，满足斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗？
事实上，这两个直角三角形相似，证明如下：
如图所示,在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=90°,∠C′=90°,=.
求证Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.
教师引导分析：由于三边成比例的两个三角形相似,而已知条件中有两边对应成比例,所以只需证明另一对直角边也成比例即可.在直角三角形中三边之间的关系满足勾股定理,所以可设==k,用勾股定理分别求出BC,B′C′的值,求得=k即可.
证明:设==k,则AB= k A′B′,AC=k A′C′.
由勾股定理,得,
∴==
∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.
总结：直角三角形相似的判定方法
①一个锐角相等的两个直角三角形相似；
②两组直角边成比例的两个直角三角形相似；
③斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似.
三、课后练习
1.如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与相似的是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：根据题意得：，，，
，
A、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与相似；
B、三边之比，图中的三角形（阴影部分）与不相似；
C、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与不相似；
D、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与不相似.
故选：A.
2.如图，已知，下列四个三角形，与相似的是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：根据图形可知，，，
，
根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可得C中的图形与相似.
故选：C.
3.如图,在中,点D是边上的一点,,则边的长为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
答案：B
解析：,
.
故选：B.
4.在中,,在中,,则这两个三角形的关系是( )
A.不相似 B.相似 C.全等 D.不确定
答案：B
解析：∵在中,,
.
又在中,,
.
故选：B
5如图，点P在的边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：A、由，满足两组对角相等，
可判断，故此选项不符合题意；
B、由，满足两组对角相等，
可判断，故此选项不符合题意；
C、由，但夹角不相等，不能判断，
故此选项符合题意；
D、由，满足两边对应成比例且夹角相等，
可判断，故此选项不符合题意，
故选：C.
四、小结
今天我们学习了哪些知识？
1.理解三边成比例的两个三角形相似
2.理解两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
3.理解两角分别相等的两个三角形相似
4.掌握判定直角三角形相似的方法
5.灵活应用三角形相似的判定解决数学问题
五、板书设计
相似三角形的判定（第二课时）
1.三边成比例的两个三角形相似.
2.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
3.两角分别相等的两个三角形相似.
4.斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似.

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