资源简介

学习任务单
课程基本信息
学科 数学 年级 六年级 学期 秋季
课题 找次品
教科书 书名：小学数学教材 出版社：河北教育出版社 出版日期：2023 年 7 月
学生信息
姓名 学校 班级 学号
学习目标
结合具体实例，经历讨论、交流、总结“找次品”方法的过程。 了解找次品的一般方法，归纳解决此类问题的最优策略，感悟优化、排除的思想方法，学会在研究中发现和总结规律，得出普遍性的结论。 通过解决实际问题，锻炼逻辑思维能力、倾听表达能力，获得成功的体验。
课前学习任务
了解天平的原理。 简单了解排除的思想方法。
课上学习任务
【学习任务一】 认识找次品的基本原理 【学习任务二】 归纳找次品的最优策略
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课程基本信息
学科 数学 年级 六年级 学期 秋季
课题 找次品
教科书 书名：小学数学教材 出版社：河北教育出版社 出版日期：2023 年 7 月
学生信息
姓名 学校 班级 学号
课后练习题目
有 15 盒饼干，其中 14 盒质量相同，另有一盒少了几块，如果用天平称，至少几次就可以找出这盒饼干？ 100 个零件里有一个不合格，不合格的零件比合格的重一些。用天平称，至少称几次就能保证把不合格的零件找出来？
课后练习答案
把 15 盒饼干分成三等份，天平左右两盘各放 5 盒。如果平衡，次品在剩下的 5 盒中； 如果不平衡，次品在托盘高的 5 盒中。把包含次品的那 5 盒分成 2 盒、2 盒、1 盒。天平左右两盘各放 2 盒，如果平衡，次品就是剩下的那 1 盒；如果不平衡，称量托盘高的那两盒。至少 3 次就可以找出这盒饼干。 15（5、5、5） 5（2、2、1） 2（1、1、） 把 100 个零件分成 33 个、33 个、34 个，天平左右两盘各放 33 个。考虑最不利的情况如果天平平衡，次品在剩下的 34 个中，把 34 个分成 11 个、11 个、12 个，天平左右两盘各放 11 个，考虑最不利的情况天平平衡，次品在剩下的 12 个中，把 12 个分成三等份，确定次品在哪 4 个中，把包含次品的 4 个零件分成 1 个、1 个、2 个，天平左右两盘各放 1 个，考虑最不利情况天平平衡，最后称量 2 个零件。所以至少 5 次就能保证把不合格的零件找出来。 100（33、33、34） 34（11、11、12） 12（4、4、4） 4（1、1、2） 2（1、1）教学设计
课程基本信息
学科 数学 年级 六年级 学期 秋季
课题 找次品
教科书 书 名：小学数学教材 出版社：河北教育出版社 出版日期：2023 年 6 月
教学目标
结合具体实例，经历讨论、交流、总结“找次品”方法的过程。 了解找次品的一般方法，归纳解决此类问题的最优策略，渗透优化、排除的思想方法，学会在研究中发现和总结规律，得出普遍性的结论。 通过解决实际问题，培养学生逻辑思维能力、倾听表达能力，获得成功的体验。
教学内容
教学重点： 经历观察、猜测、实验、推理的过程。 归纳解决问题的最优策略，渗透优化、排除的思想。 教学难点：理解为什么要把待测物体等分成三份。
教学过程
认识找次品的基本原理设置情境： 有 2 个大小、图案都完全一样的健身球，其中有一个轻一点，你能设法把它找出来吗？ 用手掂一掂的方法最直接 当用手无法掂量出哪一个轻一些时，我们可以利用天平找一找。 学生思考：需要称几次？怎么称？ 有 3 个大小、图案都完全一样的健身球，其中有一个轻一点，你能用天平把它找出来吗？ 想一想，可以称几次？怎么称？ 学生想一想、说一说找的方法及道理。 同学们思考：为什么 2 个球或 3 个球都是只称一次就能找出较轻的球？ 因为我们利用了天平平衡的原理找到了那个较轻的球。这是由天平的特点决定的，天平有两个托盘，较轻的球无外乎在三个地方，左盘、右盘和天平外。天平称一次，不平衡，较轻的球不在左盘就在右盘；平衡，推理出较轻的球就在天平外，就可以确定较轻的球的位置。 归纳找次品的最优策略出示例题： 有 6 个大小、图案都完全一样的健身球，其中有一个轻一点，但是用手掂不出来。需要
利用天平进行称量
问题：用天平称，至少称几次就一定能找出次品来？ 分析题意：“至少”的意思是称的次数最少。
“一定”的意思是考虑最不利的情况还能保证找到次品。
同学们先思考，用天平称时，可能会出现哪些情况。每种方法最少称几次，最多称几次， 再同桌讨论。同学们在交流找次品的方法时注意语言要连贯、简洁、有逻辑。
学生交流方法。
方法（1）：6（3、3）把 6 个球等分成两份分别放在天平的两边，先找出次品在哪 3 个
球中，通过第一次称量可以先排除 3 个，确定次品在天平的哪一边，把范围缩小1，确定次品
2
在另外的1中，然后再把含有次品的 3 个球中的两个球拿出来称，就转化成了刚才 3 个球中找
2
次品的问题了。如果平衡，第三个球就是次品；如果不平衡，天平高的那端的那个球就是次品。最多称两次就能找出次品。
方法（2）：6（2、2、2）天平两边各放 2 个，第一次就称了 4 个，如果天平平衡，说明
次品就是剩下的两个球中的一个，再称剩下的两个球即可，第一次称量排除了2，范围确定到
3
了1；如果天平不平衡，找出含有次品的两个球，再称这两个球即可。最多称两次就能找到次
3
品。
问题：比较这两种称法，表面上看，都是称了两次找到次品。但是这两种称法有什么不一样，哪种称法更好呢？我们来一起研究。
我们还是要利用天平的原理，把健身球等分成两份，就是天平的左盘、右盘各一份，天
平外是空着的，称一次排除待测物品的1，剩下1。而把健身球等分成三份，天平的左盘、右
2 2
盘、外面各一份，称一次，天平平衡，排除左右盘的健身球，不平衡，排除左右盘中的一个
和外盘。等分成三份，称一次就排除待测物品的2 ，剩下了1。排除的合格品越多，包含次品
3 3
的数量就越少，需要称量的次数也就越少。如果这样对比，等分成三份的分法比较好。如果数量少表面上看都是两次称量，如果数量很大，后面的次数差异就会很大。
还有同学用 6（1、1、1、1、1、1）天平两边各放 1 个这种方法称量，如果前两次称的健身球都是一样重的，最多要称三次才能找到轻一点的那个球。这种方法一次只能排除六个
里的两个，也就是1。显然这种方法称量的次数较多。
3
找次品最优策略的简单应用出示例题：
在 9 个同样的零件中，工人不小心混进了一个次品（次品重一些）。用天平称，至少称几次就一定能找出次品来？
(
零件个数
分成的份数
保证能找出次品需要称的次数
9
三份
（3，3，3）
2
9
三份
（4，4，1）
3
9
四份
（2，２，２，３）
3
9
九份
（1，1，1，1，1，1，1，1，1）
4
)学生小组合作，讨论可以怎样称。称量的方法总结在下面的表格中
同学们，观察我们完成的表格，你发现了什么？
分成的份数与保证能找出次品所要称的次数有什么关系？ 把零件平均分成三份，称的次数少。
怎样分才能使找出次品需要称的次数最少？ 平均分成三份。
学生思考：为什么把零件的个数平均分成三份才能保证找出次品需要称的次数最少呢？ 根据天平的特点，我们把天平看成左盘、右盘和外盘三个盘，最不利的情况是每次称都
不能找出次品，那我们就要尽可能多的排除合格品的数量，减少包含次品的零件数量。把零
件分成三等份，每次排除的就占零件总数的2，这是排除合格零件最多的情况。
3
如果是 243 个健身球中有一个次品（次品轻一些），用天平称，至少称几次就一定能找出
次品？
同学们，请先猜想至少称几次就一定能找出次品？ 我们一起来推理验证。
243 个球分成三等份，左右两盘各放 81 个，第一次称量排除 162 个，也就是2，然后把含
3
有次品的 81 个球分成三等份，左右两盘各放 27 个，第二次称量排除 54 个，第三次称量排除
18 个，再把含有次品的 9 个球称两次找到次品，所以至少称 5 次才能保证找到次品。
243 个球只要称 5 次就能找到次品。
找次品策略的一般化应用
同学们，如果物品的总数不能正好平均分成 3 份，怎么办？ 出示“议一议”例题：
在 10 个健身球中找出一个次品（次品轻一些），怎样用天平称？学生独立思考，交流不同称法。
10 个健身球分成（3、3、4），保证找出次品至少要称 3 次。
这个问题还可以分成（4、4、2）或者（5、5），都要至少称 3 次。
当物品的总数不能平均分 3 份时，也要分 3 份，数量尽可能平均，只有这样才能排除得尽量多。
巩固训练
有 7 盒牛奶，其中有一盒略轻一些。用天平称，至少称几次就一定能找出这盒牛奶？
至少称 2 次一定能找出这盒牛奶。
在 12 个乒乓球中有一个乒乓球的质量不合格，不合格的乒乓球轻一些。用天平称， 至少称几次就一定能找出不合格的乒乓球？
至少称 3 次一定能找出不合格的乒乓球。
在 27 件产品中混进了一件不合格产品（不合格产品重一些）。用天平称，至少称几次就一定能找出这件不合格产品？
至少称 3 次一定能找到不合格产品。
讨论：第 3 题产品是 27 个，第 2 题乒乓球才 12 个，为什么都至少称 3 次？
全课小结
同学们，你觉得“找次品”问题有趣吗？虽然现实生活中很少遇到这样的问题，但希望你能通过“找次品”问题体会到优化和排除的思想方法，思考要有条理性，在研究中发现和总结规律，学会运用数学思维。
备注：教学设计应至少含教学目标、教学内容、教学过程等三个部分，如有其它内容，可自 行补充增加。

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