资源简介

平面向量基本定理
教学目标
掌握平面向量基本定理及其意义；
掌握平面向量基本定理的应用；
教学重难点
重点：平面向量基本定理的内容与线性表示的练习
难点：平面向量基本定理的应用
教学设计
情景导入
在物理学中，一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力，其作用体现在两个方向：与斜面平行的方向和与斜面垂直的方向，故在解决问题时，常常需要把重力分解为使物体沿斜面下滑的力和垂直于斜面的力，在实际应用中，常常需要把一个力、速度、位移等分解为不同方向的分量的和。（可以列举一些不是垂直的分量）
问题：任意两个向量做加法、减法或数乘运算的结果均是一个向量，反过来，对于平面内给定的两个不共线的向量，任一向量是否都可以用形如的形式表示呢？
2、平面向量基本定理
2、1平面向量基本定理的分析：如图，给定两个不共线的向量，以及任意一个向量，在平面内任意取一点，作,，（将三个向量平移到同一起点）过点作平行于的直线，与直线交于点，过点作平行于的直线，与直线交于点。由共线向量基本定理可知，存在唯一的一对实数，使得,。又因为，所以。也就是说任一向量都可以表示成的形式，这种形式称为向量的线性表示。
2、2平面向量基本定理（存在性和唯一性简单的进行说明）
定理：如果是平面内两个不共线的向量，那么对该平面内任意一个向量，存在唯一的一对实数，使。
把不共线的向量叫作表示这一平面向量的一组基，记为。若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为正交基，在正交基下向量的线性表示称为正交分解，若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为标准正交基。
平面向量基本定理的深入理解：
①基是不唯一的，只要是不共线的两个非零向量均可以作为平面向量的一组基；
②在平面内，任意一个向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，且这样的解是唯一的，同一个非零向量在不同的基下分解式是不同的，但是零向量的分解式是唯一的。即；
③对于确定的基，平面内任意一个确定向量的分解是唯一的；基一旦选定，则在本次计算中将不在进行修改。
④推广：平面内任意三个不共线的向量中，任何一个向量都可以表示为其余两个向量的线性组合，且形式唯一。
对点练习
如图，在 中，点分别为的中点，，用表示和。
解：根据向量的三角形法则进行处理
如图二，已知点分别是△三边上的点，且，,，设，选择基，试写出向量,,，在此基下的分解式。
3、如果是平面内所有向量的一组基，那么（ ）
A、若存在实数使，那么
B、空间任一向量可以表示为，这里为实数
C、对实数，不一定在该平面内
D、对平面内任一向量，使的实数有无数对
典例剖析
例1、若是平面内一组基，则下列四组向量能作为平面向量的基的是（ ）
A、和 B、2与
C、2和6 D、与
如图一，在△中，是线段的中点，，与相交于点，
设。以为基表示和和；
【分析】主要考察向量之间的线性表示。找向量所在的三角形以及线段之间的比例关系，同时需要思考三点共线所包含的隐含条件的应用。同一个向量放在不同的三角形内进行表示。解方程组法。
因为：是线段的中点，，
所以：，
在△中，
在△中，
在△中，
在△中，
所以：，所以：，所以
如图二，在矩形中，，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与相交于点，设，用和表示。
【分析】主要考察向量之间的线性表示。从不同的关系中用同一个基来表示同一个向量，解方程组法。
因为在矩形中，，是的中点，是边上靠近点的三等分点
所以：
所以：在△中，
所以：
所以：，所以，所以：
某市为表彰在抗疫中变现突出的个人，制作的荣誉勋章的挂坠结构示意图如图所示，O为图中两个同心圆的圆心，在中，，大圆半径，小圆半径，若，则，求的值。
例5、如图，在中，点是的中点，在上且与交于点，求的值。
例6、如图，在中，是上的一点，若，求实数的值。
例7、在△中，点为△所在平面的两点，，
,。
（1）以和作为一组基表示；
（2）点为直线上一点，设，若直线经过△的垂心，求的取值。
【解析】
如图所示，因为：,；
在△中，，,，
所以：
（2）如图，作交于点，则直线经过△的垂心
且因为
所以：由勾股定理可知：
所以：在△中，且
在△中，，且
所以：，
所以：，解得：，
所以：
所以：,
例8、如图，在△中，,,与相交于点，设,。
（1）试用向量,表示；
（2）过点作直线，分别交线段于点，记,，求证：为定值。
【解析】（1）主要考察三点共线的性质，在不同的三角形中表示同一个向量，解方程组
（2）缩减未知量
因为,，
所以：在△中，
所以：在△中，
所以：，所以：
所以：
因为三点共线，设
由（1）可知，，所以，所以为定值。
课堂总结
平面向量基本定理的内容；
平面向量基本定理的应用。
分层作业设计
板书设计
课后反思

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