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第一单元长方体和正方体（单元复习讲义）
（知识梳理+精讲例题+专项练习）
1、两个面相交的线叫做棱，三条棱相交的点叫做顶点。
2、长方体相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫做它的长、宽、高。
3、长方体的特征：面——有六个面，都是长方形（特殊情况下有两个相对的面是正方形），相对的面完全相同；棱——有12条棱，相对的棱长度相等；顶点——有8个顶点。
4、正方体的特征：面——有六个面，都是正方形，所有的面完全相同；棱——有12条棱，所有的棱长度相等；顶点——有8个顶点。
5、正方体也是一种特殊的长方体。
6、把一个长方体或正方体纸盒展开，至少要剪开7条棱。
7、长方体（或正方体）的六个面的总面积，叫做它的表面积。
8、长方体的表面积=（长×宽+宽×高+高×长）×2
正方体的表面积=棱长×棱长×6。
9、物体所占空间的大小叫做物体的体积。
10、容器所能容纳物体的体积，叫做这个容器的容积。
11、常用的体积单位有立方厘米、立方分米、立方米。1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米。
12、计量液体的体积，常用升和毫升作单位。1立方分米=1升，1立方厘米=1毫升， 1升=1000毫升。
13、长方体的体积=长×宽×高 V =abh
14、正方体的体积=棱长×棱长×棱长 V =a×a×a
15、长方体（或正方体）的体积=底面积×高=横截面×长 V=Sh
17、每相邻两个长度单位（除千米外）的进率都是10，每相邻两个面积单位之间的进率都是100，每相邻两个体积单位之间的进率都是1000。
18、正方体的棱长扩大n倍，表面积会扩大n 的平方倍，体积会扩大n 的立方倍。
【例题一】用3个表面积都是24平方厘米的小正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是（ ）平方厘米。
A．72 B．64 C．56 D．48
【分析】根据正方体的表面积公式：S＝6a2，据此用24除以6可求出正方体一个面的面积，把3个小正方体拼成一个长方体，此时的表面积比原来减少4个正方形的面积，据此计算即可。
【详解】3×24－24÷6×4
＝72－16
＝56（平方厘米）
则这个长方体的表面积是56平方厘米。
故答案为：C
本题考查正方体和长方体的表面积，明确表面积的定义是解题的关键。
【例题二】一个正方体木块，棱长6分米，已知每立方分米木块重0.4千克，这个木块重多少千克？
【分析】根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，先求出正方体的体积，再乘单位体积的质量即可。
【详解】6×6×6×0.4
＝216×0.4
＝86.4（千克）
答：这块木块重86.4千克。
此题主要考查正方体体积的实际应用，掌握其计算公式是解题关键。
【例题三】下面是一个长方体的展开图的四个面，请你画出其余两个面，使他成为一个完整的展开图。（单位：cm）
（1）这个长方体的体积是多少？
（2）做这个长方体形状的盒子至少要用多少平方分米的铁皮？（结果保留一位小数）
【分析】根据长方体的特点，已知的展开图缺少2个面，分别是16×4和16×6的相对的面，相对的面不相邻，据此可画出其它2个面。
观察展开图可知，长方体的长是16厘米，宽6厘米，高4厘米。
（1）根据长方体的体积＝长×宽×高即可解答。
（2）根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2即可解答。
【详解】完整的展开图如下图：
（1）16×6×4＝384（立方厘米）
答：这个长方体的体积是384立方厘米。
（2）（16×6＋16×4＋6×4）×2
＝（96＋64＋24）×2
＝184×2
＝368（平方厘米）≈3.7（平方分米）
答：做这个长方体形状的盒子至少要用3.7平方分米的铁皮。
本题主要考查长方体的展开图、表面积和体积的应用。根据长方体6个面的特点画图。
一、选择题
1．有10、8、5的小棒若干根，用橡皮泥做成不同的长方体或正方体框架（每条棱只用一根小棒），一共可以做（ ）种。
A．4 B．6 C．8 D．10
2．如图，一个由8个小正方体拼成的大正方体，如果去掉一个小正方体，得到图形的表面积与原来正方体的表面积相比，（　　）。
A．无法比较 B．表面积没有变化
C．表面积变小了 D．表面积变大了
3．下面两个立体图形，它们的表面积相比较（ ）。
A．甲比乙大 B．甲和乙相等
C．乙比甲大 D．无法确定
4．一个长方体正好能切成两个大小相同的正方体，正方体的棱长是a米，这个长方体的表面积是（ ）平方米。
A．12a B．12a C．10a D．10a
5．制作一个长方体的鱼缸，要用多少玻璃是求鱼缸的（ ）。
A．棱长总和 B．表面积 C．体积 D．容积
二、填空题
6．一个长方体，如果高增加2厘米就成了正方体，且体积增加了72立方厘米。原来这个长方体的体积是( )立方厘米。
7．2.4公顷＝( )平方千米 24分＝( )时 6040cm3＝( )dm3
8．一根铁丝长48cm，如果围一个正方体框架，棱长是( )cm；如果围一个长是5cm，宽是4cm的长方体框架，高是( )cm．(接头处不计)
9．把体积是1立方分米的正方体木块，平均切成棱长是1厘米的小正方体木块，可以切成( )个；如果把这些小正方体木块排成一排，拼成一个长方体，这个长方体的长是( )厘米。
10．若一个小正方体的棱长为5厘米，则最少有( )个这样的小正方体可拼成一个大正方体，此时该大正方体的表面积为( )平方厘米，体积为( )立方厘米。
11．把一个棱长6分米的正方体木块锯成两个完全一样的长方体后，表面积比原来增加了( )平方分米。
12．用一根长厘米的铁丝正好做成一个正方体，这个正方体的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。
13．4平方米＝( )平方分米
0.8立方分米＝( )立方厘米
360升＝( )立方米
4.8立方分米＝( )毫升
14．下面是一个长方体的展开图。
（1）如果底面数字是1，那么数字( )在上面。
（2）如果数字3在前面，从右面看是数字5，那么数字( )在上面。
（3）相交于同一个顶点的三个面上的数字之和最大是( )。
15．一个正方体，棱长扩大为原来的( )倍，表面积扩大为原来的4倍，体积扩大为原来的( )倍．
三、判断题
16．将一个正方体切成两个完全相等的长方体后，表面积增加了。( )
17．桌子所占空间的大小叫做桌子的体积． ( )
18．一个正方体的底面周长是8厘米，这个正方体的表面积是24平方厘米。( )
19．如果将一个长方体的长宽高分别减少1分米，那么它的体积减少1立方分米。( )
20．决定长方体大小的是它的长、宽和高。( )
21．一个长方体蓄水池长8米、宽4米、深2米，这个蓄水池的占地面积是32平方米。( )
四、图形计算
22．求下列图形的表面积与体积：
长：4cm 宽：3cm 高：2cm 棱长：5dm．
五、解答题
23．公园里要修一个长8，宽5，深2的长方体水池。如果在水池四壁和底面抹上水泥，抹水泥的面积是多少平方米？
24．明明家有一个长方体玻璃鱼缸，从里面量，长7分米，宽4分米，深5分米。一天，明明不小心把鱼缸的一个面打碎了，为了保护金鱼，需要把鱼缸转过来盛水，如下图所示，算一算，用这个坏的鱼缸，最多能盛水多少升？
25．体育场用37.5立方米的沙土铺在一条长100米，宽7.5米的直跑道上，沙土可以铺多少厘米厚？
26．一张办公桌有4个一样的抽屉，每个抽屉长50厘米、宽40厘米、高12厘米，做这些抽屉至少需要多少平方分米的木板？
27．一个长方体木块，如图切成三块，中间的正方体木块比原长方体的表面积少96平方厘米，那么原来长方体的体积是多少立方厘米？
28．一个长方体游泳池，长50米，宽25米，深2.2米。如果每小时注水150立方米，多少小时后，池里水深1.8米？
29．一个无盖长方体的铁皮水槽，长10分米，宽8分米，高6分米。（铁皮厚度忽略不计）
（1）做这个水槽至少需要铁皮多少平方分米？
（2）这个水槽最多可以盛水多少升？
30．一个长方体容器的底面积是50平方厘米，其中有8厘米深的水，将一个棱长为5厘米的正方体铁块完全浸入水中，这时水深多少厘米？
试卷第6页，共7页
参考答案：
1．D
【解析】正方体的棱长相等，每种棱长都可以组成一个正方体，可以组成3种，长方体的长、宽、高可以不同，列举出所有可能，最后加起来即可得解。
【详解】如果搭成正方体，有三种搭法，也就是棱长分别为10、8、5；
如果搭成长方体，长宽高可以分别为：（10，8，5）；（10，8，8）；（10，5，5）；（10，10，8）；（10，10，5）；（8，8，5）；（8，5，5）；有7种搭法。
所以总共3＋7＝10（种）
故答案为：D。
本题主要考查长方体正方体棱的关系，正方体每条棱都相等，长方体的长宽高可以不同。
2．B
【详解】八个小正方体拼成一个大正方体，若去掉一个小正方体，减少了三个小正方形的面，同时又增加了三个小正方形的面积，所以得到图形的表面积与原来正方体的表面积相等．
故答案为：B
本题考查正方体的表面积。
3．B
【分析】观察图形可知，甲图形中有6×4＝24个正方形的面积；乙图形中有4×3＋3×3＋3＝24个正方形的面积；由此可以进行判断。
【详解】根据分析可知，甲图形面积：
6×4＝24（个正方形）
乙图形面积：
4×3＋3×3＋3
＝12＋9＋3
＝21＋3
＝24（个正方形）
甲的表面积等于乙的表面积。
故答案选：B
本题考查正方体的表面积计算；考查认真观察分析的能力，灵活解决问题能力。
4．D
【分析】如图，长方体的长是2a米，宽和高都是a米，根据长方体表面积公式计算即可。
【详解】（2a×a＋2a×a＋a×a）×2
＝（2a ＋2a ＋a ）×2
＝5a ×2
＝10a （平方米）
故答案为：D
长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。
5．B
【分析】制作一个长方体玻璃鱼缸要用多少玻璃，是求这个鱼缸的表面积，由于鱼缸是无盖的，所以只求它的5个面的总面积，根据长方体的表面积的计算方法解答。
【详解】制作一个长方体玻璃鱼缸要用多少玻璃，是求这个鱼缸的表面积。
故选：B。
此题考查的目的是理解掌握长方体的表面积公式的意义及应用。
6．144
【分析】根据题意可知：一个长方体如果高增加2厘米，就变成了一个正方体；说明长和宽相等且比高长2厘米；体积增加72立方厘米，据此可求出底面积72÷2＝36（平方厘米），则长方体的长和宽均为36÷6＝6（厘米），根据长方体的体积V＝sh，，代入数值进行计算即可。
【详解】长方体底面积：72÷2＝36（平方厘米）
长方体的长和宽：36÷6＝6（厘米）
长方体的高：6－2＝4（厘米）
长方体的体积：36×4＝144（立方厘米）
本题考查长方体体积公式的实际应用，关键是抓住长和宽相等且比高长2厘米这一数量关系。
7． 0.024 0.4 6.04
【分析】1平方千米＝100公顷，1时＝60分，1dm3＝1000cm3，根据这三个进率进行单位换算即可。
【详解】2.4公顷＝0.024平方千米；24分＝0.4时；6040cm3＝6.04dm3
本题考查了单位换算，掌握单位间的进率是解题的关键。
8． 4 3
9． 1000 1000
【分析】根据立方厘米的概念，棱长是1厘米的小正方体木块体积是1立方厘米，1立方分米＝1000立方厘米，即1立方分米的正方体木块可以切成1000个小正方体；把这些小正方体木块排成一排，拼成的长方体长是1×1000＝1000厘米。
【详解】把体积是1立方分米的正方体木块，平均切成棱长是1厘米的小正方体木块，可以切成1000个；如果把这些小正方体木块排成一排，拼成一个长方体，这个长方体的长是1000厘米。
本题主要考查体积单位的认识和换算。
10． 8 600 1000
【分析】用最少的小正方体拼成大正方体，则大正方体的棱长用2个小正方体的棱长拼成。根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，需要用2×2×2＝8个；这个大正方体的棱长是5×2＝10厘米，根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，即可解答。
【详解】2×2×2＝8（个）
5×2＝10（厘米）
表面积：10×10×6＝600（平方厘米）
体积：10×10×10＝1000（立方厘米）
本题考查正方体的表面积和体积，明确大正方体的棱长最少用2个小正方体的棱长拼成，所以大正方体需要8个小正方体拼成是解题的关键。
11．72
【分析】把一个正方体锯成两个长方体后，表面积增加了两个正方形的面。据此解答。
【详解】增加的面积为：
2×6×6
＝12×6
＝72（平方分米）
本题主要考查了正方体的分割表面积变化问题。一个立体图形切分后表面积之和比原来表面积增加了，分割一次增加2个面。
12． 54 27
【分析】根据题意，36厘米就是正方体的棱长之和。正方体有12条棱，且长度相等，则用36除以12即可求出正方体的棱长。正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，据此代入数据计算。
【详解】（厘米）
表面积：（平方厘米）
体积：（立方厘米）
则这个正方体的表面积是54平方厘米，体积是27立方厘米。
本题考查正方体表面积和体积的计算。根据正方体棱长的特点，求出正方体的棱长是解题的关键。
13． 400 800 0.36 4800
【分析】高级单位变低级单位，乘单位之间的进率；低级单位变高级单位，除以单位之间的进率。1平方米＝100平方分米，1立方分米＝1000立方厘米，1立方分米＝1升，1升＝1000毫升。据此解答。
【详解】4×100＝400，4平方米＝400平方分米；
0.8×1000＝800，0.8立方分米＝800立方厘米；
360升＝360立方分米，360÷1000＝0.36，360升＝0.36立方米；
4.8立方分米＝4.8升，4.8×1000＝4800，4.8立方分米＝4800毫升。
本题考查面积、体积和容积单位之间的转换，明确单位间的进率是解题的关键。
14． 5 6 15
【分析】根据长方体的特点：相对的面完全相同，题干中，1和5相对，2和6相对，3和4相对；相交于同一个顶点的三个面上的数字之和最大则是相邻的三个面4、5、6之和，据此解答。
【详解】由分析得：
（1）如果底面数字是1，那么数字5在上面。
（2）如果数字3在前面，从右面看是数字5，那么数字6在上面。
（3）相交于同一个顶点的三个面上的数字之和最大是：
4＋5＋6
＝9＋6
＝15
此题考查的是长方体的展开图的应用，掌握长方体的展开图并能够根据展开图想象拼接是解题关键。
15． 2 8
16．×
【分析】假设正方体一个面的面积是1平方厘米，由此即可知道正方体的表面积是6平方厘米，由于一个正方体切成两个完全相等的长方体，增加两个面的面积，增加了1×2＝2平方厘米，由此即可知道增加了2÷6＝。
【详解】假设正方体的一个面的面积是1平方厘米，
正方体的表面积：1×6＝6（平方厘米）
切完之后增加了两个面的面积，即增加了：1×2＝2（平方厘米）
则表面积增加了：2÷6＝
故答案为：×。
本题主要考查立体图形的切割，切一刀增加两个面的面积。
17．正确
【详解】物体所占空间的大小叫做它们的体积，所以桌子所占空间的大小叫做桌子的体积，原题说法正确.
故答案为正确.
18．√
19．×
【分析】假设长方体的长是4分米，宽是3分米，高是2分米，则根据长方体的体积公式，求出原来的体积和减少后的体积，由此即可比较。
【详解】假设长方体的长是4分米，宽是3分米，高是2分米
体积：4×3×2
＝12×2
＝24（立方分米）
减少后的长：4－1＝3（分米）
减少后的宽：3－1＝2（分米）
减少后的高：2－1＝1（分米）
减少后的体积：3×2×1
＝6×1
＝6（立方分米）
故答案为：×。
本题主要考查长方体的体积公式，熟练掌握长方体的体积公式并灵活运用。
20．√
【分析】长方体所占空间的大小，即长方体的体积由长、宽、高共同决定。
【详解】决定长方体大小的是它的长、宽和高，表述正确，答案为√。
长方体的棱长和、表面积、体积都由长方体的长、宽、高决定。
21．√
22．52平方厘米，24立方厘米；150平方分米，125立方分米
【详解】试题分析：根据“长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2”和“长方体的体积=长×宽×高”进行解答即可；
根据“正方体的表面积=棱长2×6”和“正方体的体积=棱长3”进行解答即可．
解：（1）长方体的表面积：
（4×3+4×2+3×2）×2
=（12+8+6）×2
=26×2
=52（平方厘米）
体积：4×3×2=24（立方厘米）
（2）正方体的表面积：
5×5×6=150（平方分米）
体积：5×5×5=125（立方分米）
所以长方体的表面积是52平方厘米，体积是24立方厘米；正方体的表面积是150平方分米，体积是125立方分米．
23．92平方米
【分析】由题意可知，抹水泥的面积是这个长方体水池四周的面积加上一个底面积，根据长方体的表面积公式计算即可。
【详解】8×5＋8×2×2＋5×2×2
＝40＋32＋20
＝92（平方米）
答：抹水泥的面积是92平方米。
此题考查的是长方体的表面积的应用，熟练掌握长方体表面积公式是关键。
24．70升
【分析】由题意分析可知，鱼缸打坏以后，转过来盛水时，水在鱼缸里形成一个三角体的形状，它的底面是长×宽，高是鱼缸的高，此时水的体积＝长×宽×高÷2，由此解答。
【详解】7×4×5÷2＝70（立方分米）＝70（升）
答：最多能盛70升。
解答题关键是理解鱼缸打碎后转过来盛水时水在鱼缸里形成一个三角体的形状，它的体积用底面积乘高再除以2得到。
25．5厘米
【分析】根据长方体的体积公式：V＝长×宽×高，高＝体积÷长÷宽，代入数值进行解答。
【详解】37.5÷100÷7.5
＝0.375÷7.5
＝0.05（米）
0.05米＝5厘米
答：沙土可以铺5厘米厚。
此题考查的是长方体体积公式的实际应用，解题时注意铺得沙土的厚度就是长方体的高。
26．166.4平方分米
【分析】因为抽屉无盖，用长方体表面积公式：S＝2ab＋2ah＋2bh减去一个上底面积，代入数据求出一个抽屉需要多少平方厘米木板，再乘4求出总共需要木板多少平方厘米，由低级单位平方厘米转换成高级单位平方分米除以进率100，据此求解即可。
【详解】由分析可得：
2×50×40＋2×50×12＋2×40×12
＝100×40＋100×12＋80×12
＝4000＋1200＋960
＝5200＋960
＝6160（平方厘米）
50×40＝2000（平方厘米）
6160－2000＝4160（平方厘米）
4160×4＝16640（平方厘米）
16640平方厘米＝166.4平方分米
答：做这些抽屉至少需要166.4平方分米的木板。
本题主要考查了长方体表面积公式的熟练掌握和灵活运用，注意无盖抽屉就是去掉一个上底面，同时注意单位的换算。
27．360立方厘米
【分析】根据题意可知，减少的面积，就是上面长方体4个侧面面积和下面长方体4个侧面积面积，根据中间是正方体，上面的长方体的长和宽和下面的长方体的长和宽都等于正方体的棱长，用96除以4，就是高为3厘米和高为1厘米的长方体侧面的和，长和宽相等，进而求出这个长方体的长和宽，高等于3厘米＋长方体的长＋1厘米，根据长方体的体积公式：长×宽×高，即可解答。
【详解】96÷4＝24（平方厘米）
长：24÷（3＋1）
＝24÷4
＝6（厘米）
长方体的长是6厘米，宽是6厘米，高是3＋6＋1＝10厘米
体积：6×6×10
＝36×10
＝360（立方厘米）
答：原来这个长方体的体积是360立方厘米。
本题考查长方体体积公式的应用，关键是减少的面积是上面长方体4个侧面积和下面长方体4个侧面之和。
28．15小时
【分析】先算出水深1.8米时的水的体积，然后除以150立方米，即可解答。
【详解】50×25×1.8
＝1250×1.8
＝2250（立方米）
2250÷150＝15（小时）
答：15小时后，池里水深1.8米。
本题主要考查了长方体的体积的计算，解答此类问题的时候一定要注意排除题目中的干扰信息，如本题中的2.2米。
29．（1）296平方分米
（2）480升
【分析】（1）做这个水槽需要铁皮，相当于求这个水槽的表面积，根据无盖长方体的表面积公式：长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，把数代入公式即可求解。
（2）根据长方体的体积公式：长×宽×高，把数代入求出水槽的体积，之后再转换单位即可。
【详解】（1）10×8＋（10×6＋8×6）×2
＝80＋（60＋48）×2
＝80＋108×2
＝80＋216
＝296（平方分米）
答：做这个水槽至少需要铁皮296平方分米。
（2）10×8×6
＝80×6
＝480（立方分米）
480立方分米＝480升
答：这个水槽最多可以盛水480升。
本题主要考查长方体的表面积和体积的公式，熟练掌握它们的公式并灵活运用。
30．5×5×5÷50＋8＝10.5(厘米)
答案第8页，共9页

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