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第三章 圆锥曲线的方程
探究与发现：为什么
教学设计
教材分析
我采用的是《普通高中课程实验教科书数学选择性必修第一册》人教A版这本教材，本节课是在学生已经掌握双曲线的定义及简单的几何性质的基础上，进一步
探究与发现：为什么
双曲线的渐近线是高考的一个热点，因此有必要做更深入的研究。引导学生从图形的直观感受到代数的严格推导证明，进一步使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质，体会数学的思想价值，锻炼核心素养。
二、教学目标
1. 理解双曲线的简单几何性质；
2. 能用3种方法证明双曲线的渐近线；
3. 类比推广证明其他渐近线，体会渐近线的思想价值。
三、教学重难点
双曲线渐近线的证明.
四、教学过程
（一）新课导入
思考：在学习双曲线的几何性质时，我们是从哪几部分进行研究的？
答：范围、对称性、顶点、离心率.
类比几何性质，来研究双曲线的几何性质.
问题：如何严格证明渐近线？
观看1分钟视频《双曲线之歌》体会渐近线的美。
（二）课前回顾
1. 范围
如图，双曲线上点的横坐标的范围是，或，纵坐标的范围是.
下面利用双曲线的方程求出它的范围.
由方程可得，
于是，双曲线上点的坐标都适合不等式，即.
所以，或；.
这说明双曲线位于直线及其左侧和直线及其右侧的区域.
2. 对称性
双曲线关于x轴、y轴和原点都是对称的.这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心.双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.
3. 顶点
在方程中，令，得，因此双曲线和x轴有两个交点.因为x轴是双曲线的对称轴，所以双曲线和它的对称轴有两个交点，它们叫做双曲线的顶点.
令，得，这个方程没有实数解，说明双曲线和y轴没有公共点，但也把两点画在y轴上（如图）.
线段叫做双曲线的实轴，它的长等于2a，a叫做双曲线的实半轴长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b，b叫做双曲线的虚半轴长.
（三）核心学习
1. 渐近线
实际上，经过两点作y轴的平行线，经过两点作x轴的平行线，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是.可以发现，双曲线的两支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，但永远不相交.
一般地，双曲线的两支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线.实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交.
追问1：如何研究双曲线的渐近线呢？
追问2：如何衡量双曲线与渐近线的接近程度呢？
方案1：求纵向坐标差|MN|
方案2：求点线距 |MQ|
方案3：利用斜率变化
课堂练习
学生反思
本节课同学们学习到的数学思想和收获：
数与形结合，猜想再求证
双曲线有形，渐近线无形
可为与不为，规矩与自律
吾生也有涯，而知也无涯
无尽的关爱，健康的成长
板书设计
探究： 双曲线的渐近线

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