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2.3 2、5的倍数的特征
个位上是0,2,4,6,8的数都是2的倍数。
个位上是0或5的数都是5的倍数。
个位上是0的数既是2的倍数又是5的倍数。
例1：5个连续的偶数，中间的一个数为m，其中最小的数是（ ）。
A．m－2 B．m－3 C．m－4
答案：C
分析：整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。
连续偶数的特点：两个相邻的偶数相差2。
已知5个连续偶数的中间一个数为m，根据连续偶数的特点，分别写出其他4个偶数，找出最小的数即可。
详解：5个连续的偶数，中间的一个数为m，根据连续偶数的特点，这5个连续的偶数分别是：
m－4，m－2，m，m＋2，m＋4；
其中最小的数是m－4。
故答案为：C
例2：用0、5、6三个数字组成的三位数中，是5的倍数的有（ ）个。
A．2 B．3 C．4
答案：B
分析：先用0、5、6三个数字组成三位数，再根据5的倍数特征从中找出5的倍数，并数出个数。
5的倍数特征：个位上是0或5的数。
详解：用0、5、6三个数字组成的三位数有：506、560、605、650；
这些数中，是5的倍数有：560、605、650；共有3个。
故答案为：B
例3：1021至少减去( )就是2的倍数；1708至少加上( )就是5的倍数。
答案： 1 2
分析：本题考查2和5的倍数特征。2的倍数特征是：个位上是0、2、4、6、8的数；5的倍数特征是：个位上的数字是0或者5的数。比1021小的2的倍数中，最大的是1020。比1708大的5的倍数中，最小的是1710。据此解答。
详解：比1021小的2的倍数中，最大的是1020。1021－1020＝1
比1708大的5的倍数中，最小的是1710。1710－1708＝2
所以，1021至少减去1就是2的倍数；1708至少加上2就是5的倍数。
例4：如果a是奇数，那么1097＋89＋a＋25的结果还是奇数。( )
答案：×
分析：奇数是指不能被2整除的整数，根据奇数加法的性质判定，偶数个的奇数相加，得到的结果是偶数。据此可得出答案。
详解：1097＋89＋a＋25式子中，1097、89、25都是奇数，如果a是奇数，则是4个奇数相加，是偶数个，则得到的结果是偶数。原题说法错误。
故答案为：×
例5：小欣在文体店买了一些中国风杯垫和山水画书签，中国风杯垫10元1个，山水画书签5元1个，小欣给了售货员50元，找回17元，你能很快地帮小欣判断找回的钱对不对吗？说说你的方法。
答案：不对，买若干个中国风杯垫和山水画书签的总钱数一定是5的倍数，个位上一定是0或5，则找回的钱的个位上也一定是0或5，所以找回17元不对。
分析：中国风杯垫10元1个，山水画书签5元1个，小欣买两种物品的钱一定是5的倍数，根据5的倍数特征：个位上是0或5的是5的倍数。据此可判断小欣找回的钱是否正确，据此可得出答案。
详解：小欣买两种物品的价钱应是5的倍数，根据5的倍数特征，付出的钱只能个位上是0或5；小欣给了售货员50元，则找回来的钱数应该个位也是0或5，不会找回17元。
答：小欣找回的钱不对；小欣买两种物品的价钱是5的倍数，则拿出50元。找回的钱也应该是5的倍数，所以不可能找回17元。
：基础过关练
一、选择题
1．仪仗队所有同学一起排队，若排成每行5人的方阵，则多了4人，若排成每行7人的方阵，则恰好排完。这个仪仗队可能共有（ ）人。
A．21 B．24 C．35 D．84
2．小亮一家坐火车去北京旅游，购票时小亮发现开往北京方向的火车的车次用偶数表示，从北京开出的火车车次用奇数表示。下面车次的火车，有（ ）趟是出京的。
K179次 D921次 Z44次 G155次
A．1 B．2 C．3 D．4
3．5个人分成一组。现在一共有44个人。至少再来（ ）个人才能正好分完。
A．6 B．11 C．2 D．1
4．一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（ ）。
A．2010 B．2011 C．2012 D．2013
5．以下各选项中（x为不等于0的自然数），计算结果一定是偶数的是（ ）。
A．2022＋x B．2022－x C．2022×x D．2022÷x
二、填空题
6．三个相邻的奇数，中间的奇数是a，最小的奇数是( )；欢欢今年b岁，妈妈今年（b＋25）岁，10年后，欢欢和妈妈相差( )岁。
7．习爷爷出生在上个世纪五十年代，他今年的年龄正好是2、5的倍数，他今年( )岁。
8．方老师在文具店买一些魔方，每个魔方15元，营业员说应付254元。营业员算的钱是( )的（填“对”或“错”），理由是( )。
9．王老师准备了分别写着0~9的十张数字卡片，任意摸出两张组成5的倍数，最大是( )。
10．有个房间里有10盏灯，都是关着的。房间外面有10位学生，都是编号1－10，现在要求学生排队逐个进入房间，将灯的号码是自己的编号的整数倍的灯按一下，那么10个人全部做完之后，还有( )盏灯是亮着的。
三、判断题
11．534＋319＝853所以，它们的和是奇数。( )
12．某班每人捐书5本，当这些书借出18本后，剩下的有可能是85本。( )
13．a表示自然数，那么，2a－1一定是奇数。( )
14．个位数是2、4、8的数都是2的倍数。( )
15．若n是一个非0自然数，则（2n＋1）一定是奇数。( )
：培优提升练
四、解答题
16．李文在新华书店用100元买了几本单价为5元一本和10元一本的书，找回了36元，请你帮李文算一算，钱找对了吗？
17．小花有些糖块，数量在25~30之间。如果2个2个地数，刚好数完，如果5个5个地数余3个，小花有多少糖块？
18．张明在文具店买了几支单价是12元和6元的钢笔，付给营业员30元，找回5元。请你判断：钱找对了吗？
19．小梅、小兰、小菊3人的年龄和是39岁，并且她们的年龄是相邻的奇数，已知小梅最小，小菊最大，请问小菊多少岁？
20．敏敏打算买一些花送给妈妈，马蹄莲10元1枝，玫瑰7元1枝，郁金季5元1枝。她买了一些马蹄莲和郁金香，付给售货员100元后，售货员找了她13元，请问找回的钱对吗？为什么？
21．小红和朋友去公园玩，她拿出妈妈给她准备的27颗糖准备平均分给自己和她的4个好朋友。至少拿走几颗糖，就可以平均分？每人可以分几颗糖？
1．D
分析：因为若排成每行5人的方阵，则多了4人，那么人数减去4后是5的倍数，因为若排成每行7人的方阵，则恰好排完，那么人数是7的倍数；找出选项中是7的倍数，并且减去4之后是5的倍数的数即可。
详解：A．因为21－4＝17，17不能被5整除，17不是5的倍数，此项不符合题意；
B．因为24不能被7整除，所以24不是7的倍数，此项不符合题意；
C．因为35－4＝31，31不能被5整除，31不是5的倍数，此项不符合题意；
D．因为84÷7＝12，84是7的倍数，84－4＝80，80÷5＝16，80是5的倍数，所以这个仪仗队可能共有84人，符合题意。
故答案为：D
分析：此题需要学生掌握求一个数倍数的方法并灵活运用。
2．C
分析：整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。
详解：K179次 D921次 Z44次 G155次，其中奇数有179、921、155，共有3趟是出京的。
故答案为：C
分析：关键是掌握奇数和偶数的分类标准。
3．D
分析：5人一组，当总人数是5的倍数时，能正好分完。个位上是0或5的数都是5的倍数。据此可知比44大的最小的5的倍数是45。用45减去原来的人数可求出至少再来的人数。
详解：45的个位上是5，所以45是5的倍数。
45－44＝1（人）
所以至少再来1个人才能正好分完。
故答案为：D
分析：明确5的倍数的特征是解决此题的关键。
4．D
分析：一个纸环链按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，即每5个不同颜色的纸环为一组循环，且右边剩下的4个纸环以“黄绿蓝紫”的顺序排列，正好是一组的结束，所以这个纸环链用到纸环的总个数是5的倍数；
截去其中的一部分，左边剩8个纸环，右边剩4个纸环，一共还剩下12个纸环；分别用四个选项的个数加上12，看得数是否是5的倍数，如果是5的倍数，就是被截去部分纸环可能的个数。
5的倍数特征：个位上是0或5的数。
详解：A．2010＋12＝2022，2022不是5的倍数，所以2010不是被截去部分纸环的个数；
B．2011＋12＝2023，2023不是5的倍数，所以2011不是被截去部分纸环的个数；
C．2012＋12＝2024，2024不是5的倍数，所以2012不是被截去部分纸环的个数；
D．2013＋12＝2025，2025是5的倍数，所以2013可能是被截去部分纸环的个数。
故答案为：D
分析：本题考查图形的变化规律，发现纸环的总个数是5的倍数是解题的关键。
5．C
分析：根据偶数、奇数的意义：是2的倍数的数叫做偶数；不是2的倍数的数叫做奇数；据此解答。
详解：A．2022＋x，当x是奇数时，2022＋x的结果是奇数；
B．2022－x，当x是奇数时，2022－x的结果是奇数；
C．2022×x，2022是偶数，x不论是多少，它与x的乘积都是偶数；
D．2022÷x，当x＝2时，2022÷2＝1011，计算结果是奇数。
故答案为：C
分析：解题的关键是掌握奇数、偶数的意义。
6． a－2 25
分析：因为相邻的奇数相差2，所以如果中间的奇数是a，则最小的奇数是（a－2），欢欢今年b岁，妈妈今年（b＋25）岁，要知道不管过去多少年，欢欢和妈妈的年龄差不变，所以用b＋25－b即可求出欢欢和妈妈相差多少岁。据此解答。
详解：b＋25－b＝25（岁）
三个相邻的奇数，中间的奇数是a，最小的奇数是（a－2）；欢欢今年b岁，妈妈今年（b＋25）岁，10年后，欢欢和妈妈相差25岁。
分析：本题考查了用字母表示数以及含未知数式子的化简，注意相邻的奇数相差2，且要知道不管过去多少年，年龄差是不变。
7．70
分析：2的倍数的数的特征是：个位上是0、2、4、6、8的数；5的倍数的数的特征是：个位上是0或5的数都是5的倍数；既是2的倍数又是5的倍数的数的特征：个位上必定是0，说明习爷爷今年的年龄的个位上是0，可假定他今年的年龄分别是50岁、60岁、70岁、80岁，今年是2023年，用2023年依次减去假定的年龄，看习爷爷的出生年月是否在上个世纪五十年代即可。
详解：根据分析得，习爷爷今年的年龄的个位上是0，
若习爷爷今年的年龄是50岁，2023－50＝1973，在上世纪七十年代，不符合题意；
若习爷爷今年的年龄是60岁，2023－60＝1963，在上世纪六十年代，不符合题意；
若习爷爷今年的年龄是70岁，2023－70＝1953，在上世纪五十年代，符合题意；
综上所述，他今年70岁。
分析：熟练掌握2、5倍数的特征是解答本题的关键。
8． 错 魔方的总价是15的倍数，而15的倍数个位是0或5，不可能个位是4，所以钱算错了。
分析：根据题意，已知每个魔方15元，总价应该是15的倍数，根据求一个数的倍数的方法，求出15的倍数，总结规律，即可判断营业员算的钱是否正确。
详解：15的倍数有15、30、45、50、55、60、65、70、75、80
可以发现，15的倍数的个位是0或5，而营业员说应付254元，可见营业员算的钱是错的。理由：魔方的总价是15的倍数，而15的倍数个位是0或5，不可能个位是4，所以钱算错了。
分析：此题的解题关键是灵活运用求一个数的倍数的方法求解。
9．95
分析：5的倍数的数的特征是：个位上是0或5的数都是5的倍数；个位上是0时，十位上可以是1~9的所有数，个位上是5时，十位上的数是1~9（5除外）的所有数，据此写出所有符合要求的两位数，即可找出最大的数是多少。
详解：个位上是0时，两位数有：10、20、30、40、50、60、70、80、90；
个位上是5时，两位数有：15、25、35、45、65、75、85、95。
综合可得，最大的数是95。
分析：此题的解题关键是理解掌握5的倍数的特征。
10．3/三
分析：对于任何一盏灯，由于原来都不亮，那么，当它的开关被按了奇数次时，灯是亮着的；当它的开关被按了偶数次时，灯是关着的；一盏灯的开关被按的次数，恰等于这盏灯的编号的因数的个数；要求哪些灯还亮着，就是问哪些灯的编号的因数有奇数个。据此解答即可。
详解：1的因数只有1；2的因数有：1、2；3的因数有：1、3；4的因数有：1、2、4；5的因数有：1、5；6的因数有：1、2、3、6；7的因数有：1、7；8的因数有：1、2、4、8；9的因数有：1、3、9；10的因数有：1、2、5、10；则编号的因数有奇数个的有：1、4、9共3盏，所以还有3盏灯是亮着的。
分析：本题考查求一个数的因数，明确开关被按了奇数次时，灯是亮着的是解题的关键。
11．√
分析：一个数若不能被2整除，这样的数就是奇数。据此判断即可。
详解：因为853÷2＝426 1
所以853不能被2整除，则853是奇数。所以原题干说法正确。
故答案为：√
分析：本题考查奇数，明确奇数的定义是解题的关键。
12．×
分析：某班每人捐书5本，捐书的总数是5的倍数，个位上是0或5，当这些书借出18本后，剩下的本数个位上的数不可能是5，据此解答即可。
详解：某班每人捐书5本，当这些书借出18本后，剩下的有可能是85本，说法错误。
故答案为：×。
分析：本题考查5的倍数，解答本题的关键是掌握5的倍数特征。
13．×
分析：a是非0自然数，那么2a是偶数，则2a－1是奇数。据此解答即可。
详解：由分析可得：题干中没有表示a是非0自然数，只有当a是非0自然数，那么2a是偶数，则2a－1是奇数，所以原题说法错误。
故答案为：×
14．√
分析：根据2的倍数特征：个位数是0、2、4、6、8的数；据此解答。
详解：根据分析可知，个位数是2、4、8的数都是2的倍数。
原题干说法正确。
故答案为：√
分析：熟练掌握2的倍数特征是解答本题的关键。
15．√
分析：整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。根据奇数的意义解答即可。
详解：若n是一个非0自然数，当n＝1时，2n＋1＝2×1＋1＝2＋1＝3；当n＝2时，2n＋1＝2×2＋1＝4＋1＝5；当n＝3时，2n＋1＝2×3＋1＝6＋1＝7；…。根据奇数的意义可知3，5，7，…都是奇数。即原题说法正确。
故答案为：√
分析：如果a是整数，偶数可以用2a来表示；奇数可以用（2a＋1）来表示。
16．不对，两本书的价格都是5的倍数，所以找回的钱也应该是5的倍数，36不是5的倍数，所以钱找的不对。
分析：5的倍数特点是个位是0或5，36的个位不是5或0，所以不是5的倍数。
详解：两本书的价格都是5的倍数，所以找回的钱也应该是5的倍数，找回的钱不是5的倍数，所以找回的钱数不对。
分析：这个题目考查5的倍数特点。
17．28块
分析：小花的糖块数量，如果2个2个地数，刚好数完，说明糖块的数量是2的倍数，如果5个5个地数余3个，就是比5的倍数多3个，根据求一个数的倍数的方法，先从小到大写出2的倍数，找出在25~30之间的数，看这些数中哪一个数比5的倍数多3个，即是小花糖块的数量。
详解：2的倍数有2、4、6、8、10、12、14、16、18、20、22、24、26、28、30、32 ，数量在25~30之间，只有26、28、30满足题意；
5的倍数有5、10、15、20、25、30 ，
15＋3＝18（块）
20＋3＝23（块）
25＋3＝28（块）
30＋3＝33（块）
数量在25~30之间，只有23、28满足题意。
综上，数量在25~30之间符合条件的是28。
答：小花有28糖块。
分析：这是一道关于倍数应用的题目，关键是掌握求一个数的倍数的方法。
18．不对
分析：不能被2整除的自然数叫奇数，能被2整除的自然数叫偶数。12和6都是偶数，30元也是偶数，偶数与不是0的正整数相乘，都是偶数，偶数加偶数也是偶数，偶数减偶数也是偶数，所以营业员找5元是奇数，营业员找错了。
详解：两种钢笔的单价都是偶数，因为偶数×奇数＝偶数，偶数×偶数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，所以买钢笔一共所花的钱数一定是偶数，
又因为30是偶数，偶数－偶数＝偶数，即找回的钱一定是偶数。5是奇数，所以找回的钱不对。
答：钱没有找对。
分析：此题的解题关键是灵活运用奇数和偶数的运算性质求解。
19．15岁
分析：中间的奇数是三个连续奇数的平均数，由相邻的奇数相差2可知，最大的奇数＝中间的奇数＋2，据此解答。
详解：39÷3＋2
＝13＋2
＝15（岁）
答：小菊15岁。
分析：利用平均数求出中间的奇数，并掌握相邻奇数的差为2是解答题目的关键。
20．见详解
分析：观察发现，马蹄莲和郁金香的单价，以及100元都是5的倍数，所以找回的钱数也应是5的倍数。但是，题中找回的13元不是5的倍数。据此解题。
详解：答：找回13元不对；因为马蹄莲和郁金香的单价分别是10元、5元，都是5的倍数，所以不论买几枝，总钱数也应是5的倍数，付了100元，找回的钱数也应是5的倍数，即个位数应是0或5，所以找回13元不对。
分析：本题考查了5的倍数特征，个位是0或5的数是5的倍数。
21．2颗；5颗
分析：小红和她的4个好朋友共1＋4＝5人，5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数，据此分析。
详解：1＋4＝5（人）
27－25＝2（颗）
25÷5＝5（颗）
答：至少拿走2颗糖，就可以平均分，每人可以分5颗糖。
分析：关键是掌握5的倍数的特征。

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