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2.1 因数和倍数的认识
在整数除法中，如果商是整数且没有余数（或者说余数为0），我们就说除数是被除数的因数（也称约数），被除数是除数的倍数。
为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所指的数是自然数（一般不包括0）。
如果a×b=c(a,b,c都是不为0的自然数)，那么a和b就是c的因数， c就是a和b的倍数。
例1：一个数既是32的因数，又是32的倍数，这个数是（ ）。
A．16 B．32 C．64
答案：B
分析：一个数最大因数是它本身，一个数最小倍数是它本身，据此解答。
详解：根据分析可知，一个数既是32的因数，又是32的倍数，这个数是32。
故答案为：B
例2：，那么28是4和7的( )，4和7是28的( )。
答案： 倍数 因数
分析：a×b＝c（a、b、c均为非0自然数），那么a和b是c的因数，c是a和b的倍数。据此解题。
详解：4×7＝28，那么28是4和7的倍数，4和7是28的因数。
例3：因为40÷5＝8，所以40是倍数，5是因数。( )
答案：×
分析：在整数除法中，商是整数且没有余数，我们就说被除数是商和除数的倍数，商和除数是被除数的因数，因数和倍数是相互依存的，一般我们说谁是谁的因数，谁是谁的倍数。据此判断即可。
详解：因为40÷5＝8，所以40是5和8的倍数，5和8是40的因数，原题干说法错误。
故答案为：×
例4：早餐店有三种规格的油桶，分别是5千克装、10千克装和2千克装。店长买回75千克豆油，用哪种规格的油桶能正好把豆油装完？需要多少个这样的油桶？
答案：5千克装；15个
分析：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数；根据“正好把豆油装完”，所以在5、10和2这三个数中，能整除75的数字，即是要选择的桶；因为买回来75千克豆油，75的个位数字是5，得出能被5整除，所以选用5千克装，据此解答即可。
详解：在5、10和2中，是75因数的只有5。
75÷5＝15（个）
答：用5千克装的油桶能正好把豆油装完；需要15个这样的油桶。
：基础过关练
一、选择题
1．有一些6厘米和7厘米长的小棒，从中取出一些接在一起不能得到的长度（ ）。
A．29厘米 B．30厘米 C．31厘米
2．蛋糕店的张师傅要把做好的45块蛋糕装进6个盒子里。张师傅至少再做（ ）块蛋糕，才能使每个盒子里蛋糕的块数相同。
A．1 B．2 C．3
3．继共享单车后，某公司推出了共享篮球，他们准备在每个体育场门口放60个篮球方便大家使用。下面三种包装方式中，（ ）种包装方式能正好装完。
A． B． C．
4．能表示因数和倍数的关系的等式是（ ）。
A．4×0.25＝1 B．3×7＝21 C．5×0＝0
5．如果a÷b＝，（a、b都是非0自然数）那么（ ）。
A．a＝1，b＝4 B．b是a的4倍 C．a是b的4倍
二、填空题
6．数a是一个不为零的自然数，它的最大因数是( )，最小倍数是( )。
7．在5×7＝35中，( )是7的倍数，( )和( )都是35的因数。
8．根据32÷8＝4，( )是( )的因数；( )是( )的倍数。
9．一个数既是28的因数，又是28的倍数。这个数是( )。
10．一个自然数，它的最大因数是25，这个自然数是( )；一个自然数，它的最小倍数是18，这个自然数是( )。
三、判断题
11．18既是3的倍数，也是6的倍数。( )
12．16的最大因数和最小倍数都是16。( )
13．27是倍数，4是因数。( )
14．因为，所以36是倍数，3是因数。( )
15．一个整数a（a≠0）的最大因数和最小倍数都是a。( )
16．一个数的因数一定小于这个数，倍数可能等于这个数。( )
：培优提升练
四、解答题
17．饭店有三种规格的油桶，分别是5千克装、10千克装和3千克装。店长买回45千克菜籽油，用哪一种规格的油桶能正好把菜籽油装完？需要多少个这样的油桶？
18．一个数的最大因数和最小倍数的和是58，这个数是多少？
19．如果用“2→8”表示2是8的因数，请你用“→”表示下面图中各数之间的关系。
20．下面的4组数中，谁是谁的因数？谁是谁的倍数？
5和45 56和7 65和13 8和96
21．选择包装盒并说明理由。
设计与上面不同的其它包装方式，并给予说明。
22．某单位有员工共99人，准备租车郊游，客车公司有以下几种客车。要使租的车上空位最少，应租哪种车？为什么？
车型 大客车 中型客车 小客车
座位数 58 33 16
1．A
分析：接在一起能得到的长度最短应该是6的倍数，最长应该是7的倍数，由于木条的长为6厘米和7厘米两种，则共4根时，长度在24厘米和28厘米之间；共5根时，长度在30厘米和35厘米之间，依此即可求解。
详解：由分析可知：
从中取出一些接在一起不能得到的长度是29厘米。
故答案为：A
分析：考查了数字和问题，注意本题木条的根数为整数，依此可得木条接起来长度的区间。
2．C
分析：要使每个盒子里蛋糕的块数相同，就是把45块蛋糕平均分成6份，先用45除以6，求出平均每个盒子里的蛋糕块数，以及剩余的蛋糕块数，再用6减去余下的块数，就是还需要再做的蛋糕块数。
详解：45÷6＝7（块）……3（块）
6－3＝3（块）
至少再做3块蛋糕，才能使每个盒子里蛋糕的块数相同。
故答案为：C
分析：本题考查因数与倍数的运用，也可以列举出6的倍数，找到48是6的倍数且48＞45，即可得解。
3．C
分析：要求60个篮球哪种包装方式能正好装完，也就是求哪个数是60的因数，据此解答。
详解：由分析得，
因为在8、9、12中只有12是60的因数，所以C种包装方式能正好装完。
故选：C
分析：此题考查的是因数的实际应用，掌握因数的意义是解答本题的关键。
4．B
分析：在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。
详解：根据因数和倍数的意义可知：
A．4×0.25＝1，其中0.25是小数，所以4×0.25＝1不能表示因数和倍数关系；
B．3×7＝21，即21÷3＝7，是整除算式，所以3×7＝21能表示因数和倍数关系；
C．5×0＝0，即0÷5＝0，被除数和商都是0，所以5×0＝0不能表示因数和倍数关系。
故答案为：B
分析：本题考查因数和倍数的意义，明确因数和倍数是在整数范围内讨论。
5．B
分析：在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。因数与倍数是相互依存的。必须说，谁是谁因数，谁是谁的倍数，据此解答。
详解：由分析可得：如果a÷b＝，（a、b都是非0自然数）那么b是a的4倍。
故答案为：B
分析：掌握因数和倍数的定义是解题的关键。
6． a a
分析：一个非0自然数的最大因数是本身，最小倍数也是本身。据此解题。
详解：数a是一个不为零的自然数，它的最大因数是a，最小倍数是a。
分析：本题考查了因数和倍数，掌握因数和倍数的特点是解题的关键。
7． 35 7 5
分析：如果a÷b＝c（a，b，c是大于0的自然数），那么b，c就是a的因数，a就是b，c的倍数。根据因数、倍数意义解答即可。
详解：由5×7＝35可知：35÷7＝5或35÷5＝7，根据因数、倍数的意义可知：在5×7＝35中，35是7的倍数，7和5都是35的因数（或5和7都是35的因数）。
分析：因数与倍数都不能单独存在，不能说谁是倍数，谁是因数，应该说谁是谁的倍数，谁是谁的因数。
8． 8 32 32 8
分析：在整数除法中，商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数，据此解答即可。
详解：由分析可知：
根据32÷8＝4，8是32的因数；32是8的倍数。
分析：本题考查因数和倍数，明确因数和倍数的定义是解题的关键。
9．28
分析：一个非0自然数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身。据此解答即可。
详解：28的最大因数是28，28的最小倍数是28。所以若这个数既是28的因数，又是28的倍数，那么这个数是28。
分析：解决此题的关键是明确因数和倍数的意义。一个数既是它本身的最大因数，也是它本身的最小倍数。
10． 25 18
分析：一个数的因数的个数是有限的，最小因数是1，最大因数是它本身；
一个数的倍数的个数是无限的，最小倍数是它本身，没有最大倍数。
详解：一个自然数，它的最大因数是25，这个自然数是25；
一个自然数，它的最小倍数是18，这个自然数是18。
分析：本题考查因数和倍数的知识，明确一个数的最大因数和最小倍数都是它本身是解题的关键。
11．√
分析：18÷3＝6，18÷6＝3，18是3的6倍，是6的3倍，据此判断。
详解：由分析得：
18既是3的倍数，也是6的倍数。题干叙述正确。
故答案为：√
分析：本题关键是正确理解倍数的定义。
12．√
分析：一个数的最大因数是本身，一个数的最小倍数也是本身。据此解题。
详解：16的最大因数是16，16的最小倍数也是16。
故答案为：√
分析：本题考查了因数和倍数，掌握因数和倍数的特征是解题的关键。
13．×
分析：根据因数和倍数的意义，如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；因数和倍数是相对的，是相互依存的，不能单独存在，只能说一个数是另一个数的倍数或另一个数是这个数的因数；据此判断。
详解：根据分析可知，不能单独说这个数是因数或倍数。所以原题干说法错误。
故答案为：×
分析：解答此题的关键是根据因数和倍数的意义进行分析、解答即可。
14．×
分析：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数；据此解答。
详解：因为36÷3＝12，所以36是3的倍数，3是36的因数；因此36是倍数，3是因数，说法错误。。
故答案为：×
分析：此题考查因数和倍数的意义，注意因数和倍数是相互依存的，掌握因数和倍数的意义是解题的关键。
15．√
分析：根据一个数的因数和倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的倍数；一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数最大的因数＝最小的倍数＝这个数本身。据此解答。
详解：根据分析得，一个整数a（a≠0）的最大因数等于最小倍数等于它本身，都是a。
故答案为：√
分析：此题的解题关键是掌握一个数的因数和倍数的特征。
16．×
分析：一个数的最大因数是它本身，一个数的最小倍数也是它本身。据此判断。
详解：一个整数，比如5，它的最大因数是5，最小倍数也是5；所以一个数的因数可能小于或等于这个数，倍数可能等于这个数。
原题说法错误。
故答案为：×
分析：了解一个数最大因数是它本身，最小倍数也是它本身这个知识点是解答的关键。学习时注意知识的归纳。
17．5千克装或3千克装；9个5千克装的油桶或15个3千克装的油桶
分析：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数；如果刚好把菜籽油装完，那么菜籽油的总质量是油桶可以装菜籽油质量的倍数，需要油桶的数量＝菜籽油的总质量÷每个油桶可以装菜籽油的质量，据此解答。
详解：45÷5＝9（个）
45÷3＝15（个）
由上可知，45是5和3的倍数，则用5千克装或3千克装的油桶能正好把菜籽油装完，需要5千克装的油桶9个或3千克装的油桶15个。
答：用5千克装或3千克装的油桶能正好把菜籽油装完，需要9个5千克装的油桶或15个3千克装的油桶。
分析：本题主要考查因数、倍数的应用，掌握因数、倍数的意义是解答题目的关键。
18．29
分析：由“一个数的最大因数是它本身，一个数的最小倍数也是它本身”可知，一个数的最大因数和最小倍数的和是58，也就是说这个和是它本身的2倍，用和除以2即可求出这个数。
详解：58÷2＝29
答：这个数是29。
分析：本题考查因数和倍数的知识，明确一个数的最大因数和最小倍数都是它本身是解题的关键。
19．见详解
分析：在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。
详解：3×2＝6、3×6＝18、3×8＝24
6×3＝18、6×4＝24
分析：关键是理解因数和倍数的含义，因数和倍数两个不同的概念是相互依存的，不能单独存在。
20．5是45的因数，45是5的倍数；7是56的因数，56是7的倍数；8是96的因数，96是8的倍数
分析：在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。
详解：5×9＝45、5是45的因数，45是5的倍数；
7×8＝56、7是56的因数，56是7的倍数；
8×12＝96、8是96的因数，96是8的倍数。
分析：因数和倍数两个不同的概念是相互依存的，不能单独存在。
21．见详解
分析：由题意可知，若包装盒内能装的瓶数能够整除90即正好能够装完。据此解答即可。
详解：可以选择四种包装盒中的3瓶装、5瓶装或6瓶装。
理由：90＝3×30＝6×15＝18×5
创新包装：
还可以设计成1瓶装、2瓶装、9瓶装、10瓶装、15瓶装、18瓶装、30瓶装、45瓶装、90瓶装。
理由：90＝2×45＝3×30＝18×5＝6×15＝9×10＝1×90，只要包装盒所包装饮料的瓶数是90的因数就可。
分析：本题考查因数，明确包装盒内所包装饮料的瓶数必须是90的因数是解题的关键。
22．因为99是33的倍数，不是58和16的倍数，所以应租中型客车。
分析：由题意可知，要使租的车上空位最少，则应该找到99的因数即可。
详解：99÷33＝3（辆）
答：应租中型客车，因为99是33的倍数，不是58和16的倍数。
分析：本题考查因数和倍数，明确能整除99的即为99的因数是解题的关键。

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