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2.5 质数和合数
一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。如2、3、5、7都是质数。
一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。如4、6、15、49都是合数。
判断一个数是合数还是质数的方法：
先找出这个数的因数，再根据质数和合数的定义去判断这个数是质数还是合数，1既不是质数也不是合数。
1不是质数，也不是合数。
例1：最小的质数与最小的合数的积是（ ）。
A．2 B．4 C．8 D．10
答案：C
分析：自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数，除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数，由此可知，最小的质数为2，最小的合数为4，所以最小的质数与最小的合数的积就是2乘4的积。
详解：2×4＝8
所以最小的质数与最小的合数的积是8；
故答案为：C
例2：下面各组中的三个连续自然数都是合数的有（ ）。
A．11，12，13 B．6，7，8 C．8，9，10 D．12，13，14
答案：C
分析：根据质数与合数的意义，分析各选项中的三个连续自然数是否都是合数即可。
一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；
一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。
详解：A．11，12，13中，11和13是质数，12是合数，不符合题意；
B．6，7，8中，6和8是合数，7是质数，不符合题意；
C．8，9，10中，三个数都是合数，符合题意；
D．12，13，14中，12和14是合数，13是质数，不符合题意。
故答案为：C
例3：小于20的合数共有( )个，在这些合数中，( )既是2，也是5的倍数。
答案： 10 10
分析：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。一个数除了1和它本身两个因数，还有其他的因数，这个数叫做合数。2的倍数特征：个位数是0、2、4、6或8；5的倍数特征：个位数是0或5。既是2也是5的倍数特征：个位数是0。
详解：小于20的合数有4、6、8、9、10、12、14、15、16、18，共10个，10既是2的倍数也是5的倍数。
例4：15的因数共有4个。其中3和5是质数，其他的都是合数。( )
答案：×
分析：15的因数有1，3，5，15。其中1既不是质数，也不是合数；3和5是质数；15是合数。据此判断即可。
详解：15的因数共有4个。其中3和5是质数，15是合数，1不是合数。即原题说法错误。
故答案为：×
例5：一个长方形的长和宽都是质数，周长是20厘米，这个长方形的面积是多少平方厘米？
答案：21平方厘米
分析：长方形的周长是20厘米，则长与宽的和是厘米；不相等的两个质数相加等于10的只有：3＋7＝10，长与宽的值都是质数的是3厘米和7厘米，所以这个长方形的长是7厘米，宽是3厘米，据此解答即可。
详解：长宽之和：20÷2＝10（厘米）
面积是：7×3＝21（平方厘米）
答：这个长方形的面积是21平方厘米。
：基础过关练
一、选择题
1．下列说法正确的是（ ）。
A．小可、小奇、小西 B．小可、小西、小玲 C．小可、小西 D．小奇、小铃
2．一袋苹果刚好分成两盘，第一盘苹果有9个，第二盘苹果的个数为偶数，这袋苹果的总个数一定为（ ）。
A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数
3．下面的句子正确的有（ ）句。
①非零自然数按因数个数可以分为质数和合数。
②13的因数都是质数。
③甲乙两数是质数，则甲与乙的积一定是合数。
A．0 B．1 C．2 D．3
4．下面说法正确的是（ ）。
①一个合数最少有3个因数
②一个数的倍数一定大于它的因数
③所有的质数加上1后，就变成了合数
④在5个连续的非0自然数中，必有1个是5的倍数
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
5．在半期测试中，小明的成绩在班上的排名是最小的质数，他排在第（ ）。
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
6．认真阅读材料，回答下面问题。
2023年3月22日发布的晋中市政府工作报告中指出，在省委、省政府和市委坚强领导下，全市有效解决了一些群众关注的老大难问题。实施309处农村饮水安全工程；251个老旧小区旧貌换新颜；实施房屋产权登记确权颁证清零行动，270000余户房主拿到“大红本”，建成市城区免费停车场104处，免费停车位达到50000余个，困扰群众多年的急难愁盼问题得到有效解决。
(1)文中的自然数中是奇数的有( )，是偶数的有( )。
(2)文中的自然数中既是2的倍数又是3的倍数的有( )，同时是2、5的倍数的有( )。
(3)文中100以内的自然数中是质数的有( )，是合数的有( )。
(4)文中自然数22的因数有( )，最大的因数是( )。
7．区分一个数是质数还是合数的标准是看这个数( )的个数。
8．杭州2022年第19届亚运会，将于2023年9月23日至10月8日举办，赛事名称和标识保持不变。材料中出现的自然数中，奇数有( )，偶数有( )，质数有( )，3的倍数有( )。
9．王老师给新手机设置了一个开机密码。这个开机密码是一个六位数，从高位到低位的数字依次是：①最小的合数；②最小的自然数；③最大的一位奇数；④最小的质数；⑤既是2的倍数，也是3的倍数；⑥与8相邻的质数。王老师手机的开机密码是( )。
10．一个手机号码的后八位是ABCDE469，其中A是非零数，且既不是质数也不是合数；B是10以内最大的质数；C既是偶数又是质数；D是8的最大因数；E比最小的合数多1，这个手机号码的后八位是( )。
三、判断题
11．10个同学排成一排，从1开始报数，老师说：“谁报的数是质数，向前一步”，结果有5名同学向前走了一步。( )
12．有7个小学生排成人数均等的队伍，只有一种排法。( )
13．“是不是所有大于2的偶数，都可以表示为两个质数的和呢？”这个问题是德国数学家哥德巴赫最先提出的，所以被称作哥德巴赫猜想。( )
14．两个数都是质数，它们的和是12，积是35，那么这两个数分别是5和7。( )
15．1是最小的质数，2是最小的合数。( )
：培优提升练
四、计算题
16．最大的两位质数减去最小合数与最小的两位质数的积，差是多少？
17．最大的一位数减去最小质数与最小合数的积，结果是多少？
五、解答题
18．亮亮把自然数m的最小因数和m的另一个因数相加，发现得数是4，几个小朋友根据亮亮的发现做了以下几种猜测：聪聪：m一定是偶数。明明：m一定是合数。乐乐：m一定是3的倍数。三个小朋友的猜测中，哪些是正确的？请你说明理由。
19．整数的奥秘。
6的因数有1、2、3、6，这几个因数的关系是：1＋2＋3＝6。像6这样的自然数，叫做完全数（也叫做完美数）。8的因数有1、2、4、8，这几个因数的关系是：1＋2＋4＜8，像8这样的自然数，叫做亏数。20的因数有1、2、4、5、10、20，这几个因数的关系是：1＋2＋4＋5＋10＞20，像20这样的自然数，叫做盈数。3和5是一对质数，且相差2，像3和5这样相差为2的一对质数叫做孪生质数。
（1）请你找出20以内的其他孪生质数。
（2）小新说：“最小的盈数是12”。你同意他的说法吗？请说明理由。
20．如果a×（b＋c）＝209，并且a、b、c是不同的质数（c＜b），那么a、b、c各代表多少？
21．如图，从2至100的数中画掉2的倍数，再依次画掉3、5、7的倍数（但2、3、5、7本身不画掉）。剩下的数都是什么数？
22．用长度是50厘米的铁丝围成一个长方形，长方形的长和宽均为整厘米数，且均为质数，这个长方形的面积是多少平方厘米？
23．一个长方形的周长是24厘米，它的长宽之和是整厘米数，且都是质数。这个长方形的面积是多少平方厘米？
1．C
分析：在整数除法中，商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数；
不是2的倍数的数叫做奇数；一个自然数如果只有1和它本身两个因数，那么这个自然数叫做质数；
2的倍数特征：末尾数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数；5的倍数特征：末尾数字是0或5的数是5的倍数，若一个数既是2的倍数，又是5的倍数，则这个数的个位数字一定是0；
根据求一个数的倍数的方法，用这个数依次乘1、2、3、4 ，且这个数的倍数在100以内，据此解答即可。
详解：小可：因为90÷45＝2，所以90是45和2的倍数，小可说法正确；
小奇：2是质数但不是奇数，所以小奇说法错误；
小西：“23□”既是2的倍数，又是5的倍数，□一定填0。说法正确；
小玲：9×1＝9，9×2＝18，9×3＝27，9×4＝36，9×5＝45，9×6＝54，9×7＝63，9×8＝72，9×9＝81，9×10＝90，9×11＝99，则100以内9的倍数有9、18、27、36、45、54、63、72、81、90、99共11个，小玲说法错误。
则说法正确的有小可和小西。
故答案为：C
分析：本题主要考查2、5的倍数和质数、奇数，明确2、5的倍数特征和质数、奇数的定义是解题的关键。
2．A
分析：苹果刚好分成两盘，第一盘苹果有9个，第二盘苹果的个数为偶数，根据奇数和偶数的运算性质中“奇数＋偶数＝奇数”，据此解答。
详解：由分析得知：
第一盘苹果有9个，9是奇数，第二盘苹果的个数为偶数，奇数＋偶数＝奇数，所以这袋苹果的总个数一定为奇数。
故答案为：A
分析：本题考查奇数和偶数，要求学生熟练掌握奇数和偶数的运算性质。
3．B
分析：（1）以因数的个数为标准，自然数（不包括0）可以分为三类。只有一个因数：1；只有两个因数：质数；有两个以上的因数：合数。
（2）质数只有两个因数：1和它本身，其中1即不是质数，也不是合数。
（3）两个质数的乘积的因数有3个或4个，即两个质数的积一定是合数。
详解：①非零自然数按因数个数可以分为1、质数和合数。①错误。
②13的因数有1，13。其中1不是质数。13的因数不都是质数。②错误。
③甲乙两数是质数，则甲与乙的积一定是合数。比如：甲数是2，乙数是3，甲数与乙数的积是2×3＝6，6是合数。③正确。
所以正确的有1句。
故答案为：B
分析：明确质数与合数的意义是解决此题的关键。判断一个数是质数还是合数，关键看它含有的因数的个数。质数只有两个因数，合数至少有三个因数。1既不是质数，也不是合数。
4．D
分析：①一个数的因数除了1和它本身以外还有其他的因数，这样的数就是合数。据此判断；
②一个数的最小倍数是本身，最大因数也是本身，据此判断；
③质数2加上1等于质数3，据此判断；
④5的倍数，即能被5整除的数是个位是0或是5的数字，五个连续的自然数，如1、2、3、4、5或16、17、18、19、20或22、23、24、25、26等等，其中一定有一个数的个位是0或5；据此判断。
详解：①一个数的因数除了1和它本身以外还有其他的因数，这样的数就是合数，所以原题干说法正确；
②一个数的倍数还可能等于它的因数，所以原题干说法错误；
③所有的质数加上1后，就变成了合数，原题干说法错误，因为质数2加上1等于质数3；
④五个连续的自然数中必有一个数是5的倍数，所以原题干说法正确。
正确的结论有：①④。
故答案为：D
分析：本题考查质数和合数，明确质数和合数的定义是解题的关键。
5．B
分析：根据质数的定义可知，最小的质数是2，据此解答即可。
详解：由分析可知：
在半期测试中，小明的成绩在班上的排名是最小的质数，最小的质数是2，则他排在第2。
故答案为：B
分析：本题考查质数，明确质数的定义是解题的关键。
6．(1) 2023、3、309、251 22、270000、104、50000
(2) 270000 270000、50000
(3) 3 22
(4) 1、2、11、22 22
分析：（1）根据偶数、奇数的意义：是2的倍数的数叫做偶数；不是2的倍数的数叫做奇数。
（2）2的倍数的数的特征是：个位上是0、2、4、6、8的数；3的倍数的数的特征是：各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数；5的倍数的数的特征是：个位上是0或5的数都是5的倍数；据此解答。
（3）质数是指除了1和它本身的两个因数以外再没有其他的因数的数。合数是指就除了1和它本身的两个因数以外还有其他的因数的数。
（4）根据找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。一个数最大的因数＝最小的倍数＝这个数本身。
详解：（1）文中的自然数中是奇数的有2023、3、309、251，是偶数的有22、270000、104、50000。
（2）文中的自然数中既是2的倍数又是3的倍数的有270000，同时是2、5的倍数的有270000、50000。
（3）文中100以内的自然数中是质数的有3，是合数的有22。
（4）22＝1×22＝2×11
即文中自然数22的因数有1、2、11、22，最大的因数是22。
分析：此题主要明确奇数与偶数、质数与合数的定义以及2、3、5的倍数的特征，掌握求一个数的因数的方法，才能做出正确的解答。
7．因数
分析：一个自然数如果只有1和它本身两个因数，那么这个自然数叫做质数；一个自然数如果除了1和它本身还有其它的因数，那么这个自然数叫做合数，则质数有两个因数，合数至少有三个因数，据此解答即可。
详解：由分析可知：
区分一个数是质数还是合数的标准是看这个数因数的个数。
分析：本题考查质数和合数，明确质数和合数的定义是解题的关键。
8． 19、2023、9、23 2022、10、8 19、2023、23 2022、9
分析：在自然数中，不是2的倍数的数叫做奇数，是2的倍数的数叫做偶数。一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。3的倍数特征：各个数位上的数字和是3的倍数；据此解答。
详解：奇数有19、2023、9、23，偶数有2022、10、8，质数有19、2023、23；3的倍数有2022、9。
分析：本题主要考查了奇数、偶数、质数的认识以及3的倍数特征。
9．409267
分析：①最小的合数是4；②最小的自然数是0；③最大的一位奇数是9；④最小的质数是2；⑤既是2的倍数，也是3的倍数的一位数是6；⑥与8相邻的质数是7；则王老师手机的开机密码是409267。
详解：由分析可知：
王老师手机的开机密码是409267。
分析：本题考查合数、质数和2、3的倍数，明确质数和合数的定义是解题的关键。
10．17285469
分析：由题意可知，1既不是质数也不是合数，所以A是1；10以内最大的质数是7，所以B是7；2既是偶数又是质数。所以C是2；8的最大因数是8，所以D是8；最小的合数是4，所以E是4＋1＝5，据此解答即可。
详解：由分析可知：
这个手机号码的后八位是17285469。
分析：本题考查偶数、质数和合数，明确它们的定义是解题的关键。
11．×
分析：质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。从1到10找到其中的质数，即可解答。
详解：从1到10的数中，质数有：2、3、5、7，共四个，所以有4名同学向前走了一步。
故答案为：×
分析：掌握质数的意义是解答此题的关键。
12．√
分析：质数是指除了1和它本身的两个因数以外再没有其他的因数的数。小学生的人数是7个，7符合质数的定义，所以7的因数只有1和7，再据此解答即可。
详解：根据分析得，7是质数，只有1和7两个因数。
所以要把7个小学生排成人数均等的队伍，只能站成一排，共有7人。所以只有这一种排法。原题说法正确。
故答案为：√
分析：此题通过质数的定义以及找一个数的因数的方法解决问题。
13．√
详解：4＝2＋2，6＝3＋3，8＝5＋3，10＝7＋3，12＝7＋5，14＝11＋3…那么，是不是所有大于2的偶数，都可以表示为两个质数的和呢？这个问题是德国数学家哥德巴赫最先提出的，所以被称作哥德巴赫猜想，哥德巴赫猜想看似简单，要证明却非常困难，成为数学中一个著名的难题，被称为“数学皇冠上的明珠”。
故答案为：√
14．√
分析：因为两个质数的乘积是35，把35分解质因数，然后找出和是12的即可解决此题。
详解：因为35＝5×7，又符合5＋7＝12，所以这两个质数分别是5、7，原题说法正确。
故答案为：√
15．×
分析：自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数，除了1和它本身外，还有别的因数的数为合数，由此可知，最小的质数是2，最小的合数是4，据此判断。
详解：由分析可得：1不是质数，也不是合数，2是最小的质数，原题说法错误。
故答案为：×
16．53
分析：最大的两位质数是97，最小的两位质数是11，最小的合数是4，先用乘法表示最小合数与最小的两位质数的积，再用减法表示最大的两位质数与它们的差。
详解：97－4×11
＝97－44
＝53
所以，差是53。
17．1
分析：最大一位数是9，最小的质数是2，最小的合数是4。先计算出2和4的积，再用9减去它们的积即可。
详解：9－2×4
＝9－8
＝1
18．乐乐；见详解
分析：一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；
一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。
3的倍数特征：各个数位上的数字相加，和要能被3整除。
整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。
根据题意可知，任何自然数的最小因数都是1，1和m的另一个因数的得数是4，由此可得出m的另一个因数是3，也就是说m是3的倍数，再与每个小朋友的猜测对比，得出谁的猜测是正确的。
详解：乐乐的猜测是正确的。
因为任何自然数的最小因数都是1，m的另一个因数是4－1＝3，所以m的另一个因数是3，也就是说m一定是3的倍数。
假设m＝3，则m是奇数，且是质数，所以聪聪和明明的猜测都不正确；
因为m的因数中有3，则m一定是3的倍数，所以乐乐的猜测是正确的。
分析：本题考查3的倍数特征及偶数、合数、质数的认识。
19．（1）5和7、11和13、17和19；（2）同意
分析：（1）根据像3和5这样相差为2的一对质数叫做孪生质数，先列举出20以内的质数，再找出两个质数相差2的一对质数即可。
（2）根据20的因数有1、2、4、5、10、20，这几个因数的关系是：1＋2＋4＋5＋10＞20，像20这样的自然数，叫做盈数，根据盈数的定义，质数不是盈数，先列举出12以下的合数的因数，看能不能找到比12还小的盈数。
详解：（1）20以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19。
由题意得，3和5是一对孪生质数，
7－5＝2
5和7是一对孪生质数，
13－11＝2
11和13是一对孪生质数，
19－17＝2
17和19是一对孪生质数。
（2）4的因数有：1、2、4，
这几个因数的关系是：1＋2＜4
6的因数有：1、2、3、6，
这几个因数的关系是：1＋2＋3＝6
8的因数有1、2、4、8，
这几个因数的关系是：1＋2＋4＜8
9的因数有1、3、9，
这几个因数的关系是：1＋3＜9
10的因数有1、2、5、10，
这几个因数的关系是：1＋2＋5＜10
12的因数有1、2、3、4、6、12，
这几个因数的关系是：1＋2＋3＋4＋6＞12
根据盈数的定义，说明4、6、8、9、10都不是盈数，质数也不是盈数。
所以找不到比12还小的盈数，小新说：“最小的盈数是12”。此说法正确。
我同意小新的说法。
分析：本题主要考查了质数、合数、因数的灵活应用，关键是分析题干的信息，解决问题。
20．11、17、2
分析：一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能整除其他自然数的数， 即除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数。
详解：209＝11×19
19＝17＋2
答：a、b、c各代表11、17、2。
分析：关键是掌握质数、合数的分类标准。
21．质数
分析：从数表中找到2、3、5、7的倍数划掉，2、3、5，7本身不划掉，那么剩下的数是质数，据此解答即可。
详解：
剩下的数是：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、91、97，这些数是质数。
分析：此题考查的目的是理解质数的意义，熟记100以内的26个质数。
22．46平方厘米
分析：根据长方形周长公式：周长＝（长＋宽）×2，长＋宽＝周长÷2；50÷2＝25厘米；把25分成两个整厘米数，且是质数，25＝2＋23，即长是23厘米，宽是2厘米，根据长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据，即可解答。
详解：50÷2＝25（厘米）
25＝2＋23
即长方形的长为23厘米，宽为2厘米。
2×23＝46（平方厘米）
答：这个长方形的面积是46平方厘米。
分析：熟练掌握和灵活运用长方形周长公式、面积公式以及质数的意义是解答本题的关键。
23．35平方厘米
分析：长方形周长÷2＝长＋宽，除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数，据此确定长和宽，根据长方形面积＝长×宽，列式解答即可。
详解：24÷2＝12＝7＋5
长方形的长7厘米，宽5厘米。
7×5＝35（平方厘米）
答：这个长方形的面积是35平方厘米。
分析：关键是理解质数、合数的分类标准，掌握并灵活运用长方形周长和面积公式。

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