资源简介

21．1 一元二次方程(教学设计)
第一课时
教材分析
一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要的地位.通过对一元二次方程的学习，能够对以前学过的实数、一元一次方程、因式分解、二次根式等知识进行复习巩固.本节课是一元二次方程的概念，是通过丰富的实例，让学生建立一元二次方程，并通过观察归纳出一元二次方程的概念.
教学策略
因为学生已经学习了一元一次方程及相关概念，所以本节课我主要采用启发式、类比法教学. 教学中力求体现“问题情景---数学模型-----概念归纳”的模式. 但是由于学生将实践问题转化为数学方程的能力有限，所以，本节课借助多媒体辅助教学，指导学生通过直观形象的观察与演示，从具体的问题情景中抽象出数学问题，建立数学方程，从而突破难点. 同时学生在现实的生活情景中，经历数学建模，经过自主探索和合作交流的学习过程，产生积极的情感体验，有效发挥学生的思维能力.
教学目标
1. 知识与技能：了解整式方程和一元二次方程的概念.
2. 过程与方法：通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义.
3．情感态度与价值观：通过本节课引入的教学，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣.
教学重难点
1．重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题.
2．难点：对一元二次方程的一般形式的正确理解及其各项系数的确定.
教具学具准备
多媒体、PPT课件等.
教学过程
一、创设情景，导入新课
情景1：
在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感，这就是黄金分割．
按此比例，如果雕像的高为2 m，那么它的下部应设计为多高？
如右图，雕像的上部高度AC与下部高度BC应有如下关系：
AC∶BC＝BC∶2，即BC2＝2AC．
设雕像下部高x m，可得方程x2＝2(2―x)，整理得
x2＋2x―4＝0．
这个方程中有一个未知数x，x的最高次数是2．
情景2：
问题：如下图，有一块矩形铁皮．长100 cm．宽50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为(100―2x) cm，宽为(50―2x) cm．根据方盒的底面积为3 600 cm2，得
(100―2x)(50―2x)＝3 600．
整理，得
4x2―300x＋1 400＝0.
化简，得
x2―75x＋350＝0．
由这个方程可以得出所切正方形的具体尺寸．
情景3：
要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛
分析: 全部比赛共4×7=28场
设应邀请x个队参赛,每个队要与其他(x―1)个队各赛1场, 由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛,所以全部比赛共x(x―1)／2=28场.
即x2―x=56.
二、探究新知，讲授新课
学生活动：口答下面问题．
（1）上面这三个方程含有几个未知数？
（2）它们的最高次数是几？
（3）式子中有等号吗？还是与多项式一样只有式子？
老师点评：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）都有等号，是方程．
像这样，等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的形式．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
三、例题讲解
例1．判断下列方程是否为一元二次方程？
（1）3x+2=5y―3;
（2）x2=4；
（3）（x―2）／（x+1）=x2;
（4）x2―4=(x+2)2.
分析：根据一元二次方程满足的三个条件去判断．
解：只有（1）是一元二次方程.
例2．将方程（x+1）2+（x―2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．
分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x―2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式．
解：去括号，得：
x2+2x+1+x2―4=1
移项，合并得：2x2+2x―4=0
其中：二次项2x2，二次项系数2；一次项2x，一次项系数2；常数项―4．
例3.方程（2a—4）x2 —2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？
解：当a≠2时是一元二次方程；当a＝2，b≠0时是一元一次方程.
四、巩固练习
教材P4 练习1、2题.
五、课堂小结
（1）一元二次方程的概念；
（2）一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用．
六、布置作业
1．必做题：教材P4习题22.1 第1、2题．
2．选做题：求证:关于x的方程(m2－8m+17)x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
七、板书设计（略）
八、教学反思
整节课的设计以落实双基为起点，培养学生独立思考的能力，重视知识和产生过程，关注人的发展．无论是教学环节设计，还是作业的布置上，我注意分层次教学，让每一个学生都得到不同的发展 ．为了真正做到有效的合作学习，我在活动中大胆地让学生自主完成．先让学生把问题提出来，然后让学生带着问题去讨论，这样学生在讨论时就有目的，就会事半功倍．也让不同层次的学生得到不同的发展，也符合新课程的教学理念．
不足之处：引入方面有待加强，不够激发学生的学习兴趣；板书还有待加强，应给学生做出示范；给学生思考的时间还不够．

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