资源简介
2.2基本不等式（第二课时）
教材分析
本节课是人教A版数学必修第一册第二章第二节《基本不等式》，共2课时，本节为第二课时。本节课是在上一节学习了基本不等式的定义、几何解释、证明方法以及简单的应用基础上进行的，进一步学习基本不等式的应用，包括数学中的应用与实际中的应用，利用基本不等式解决简单的最值问题。
二、学情分析
本章内容属于高中数学课程的预备知识部分，将帮助学生完成初高中数学学习的过渡，为学生整个高中阶段的数学学习提供学习心理、学习方式、知识技能等方面的准备。
学生在上一节学习了基本不等式的定义、几何解释、证明方法以及简单应用，本节课是上一节内容的延伸，利用基本不等式解决简单的最大(小)值问题，运用基本不等式解决生活中的应用问题，本节知识渗透了数学运算、逻辑推理、数学建模等核心素养，有利于培养学生良好的思维品质。
三、教学目标
1. 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题
2. 能够运用基本不等式解决生活中的应用问题
四、教学重点、难点
重点：用基本不等式解决简单的最大(小)值问题
难点：运用基本不等式解决生活中的应用问题
五、教法与学法分析
1.教法分析
本节课以学生为中心，以问题为载体，采用启发、引导、探索相结合的变式教学方法。课堂中应注重创设师生互动、生生互动的和谐氛围，加强引导学生通过自己的观察、思考等活动自主构建知识，引导学生自己归纳出本节课的核心：求和的最小值，要构造积为定值，积定和最小；求积的最大值，要构造和为定值，和定积最大。同时通过例题引导学生归纳出利用基本不等式解决实际问题的步骤。以问题引导学生的思维活动，使学生在问题带动下进行更加主动的思考，倡导合作学习与独立思考相结合，有效地调动学生思维。
2.学法指导
启发学生学会配凑项、配凑系数、“1”的代换等等价变形，构造和是定值或者积是定值，利用不等式求最值，体会转化化归的数学思想，体会利用基本不等式求最值体现的是和积互化的过程。
六、课型课时、教学准备
1.课型：新授课
2.课时：1课时
3.教学准备：多媒体、实物投影、展台、话筒等
七、教学流程图
教学内容及过程
（一）引出课题
多媒体动态展示思维导图：上一节课我们学习了基本不等式的定义、几何解释、证明方法以及简单的应用，这一节课我们进一步学习基本不等式的应用，基本不等式的应用包括数学中的应用与实际中的应用，这两种应用都是利用基本不等式解决简单的最值问题。
知识链接
（1）请写出基本不等式及其变式？并说明基本不等式成立的条件
．
教师：引导学生一起回答，同时在黑板板书基本不等式的内容，两个主要变式，以及基本不等式成立的条件：一正，二定，三相等，并作解释。ppt展示答案
学生：口答以上问题
已知x、y都是正数，若积xy等于定值P，那么当x=y时，和x＋y有最小值 ．
教师：引导学生思考，回答问题，ppt展示答案，强调结论:积定和最小，并黑板板书结论
学生：一起口答以上问题
（3）已知x、y都是正数，若和 x＋y是定值S，那么当x=y时，积xy有最大值 ．
教师：引导学生思考，一起回答问题，ppt展示答案，强调结论:和定积最大，并黑板板书结论
学生：一起口答以上问题
设计意图：通过复习基本不等式的内容，两个主要变式，基本不等式成立的条件，以及两个重要结论：积定和最小，和定积最大，为本节课做知识储备。
基本不等式在数学中的应用
探究一
例1（1）已知的最小值
问题1：如何求和的最小值？
教师：给学生留时间思考，然后提问学生
学生1：减去2再加上2，利用基本不等式求和的最小值
追问学生：为什么想到减去2再加上2？
学生1：减去2再加上2，和原式相等，并凑出积为定值，利用基本不等式求和的最小值
教师：肯定学生的答案，并提出表扬
教师：黑板板书规范解题过程，减去2再加上2，凑出积为定值，然后利用基本不等式求和的最小值。同时强调：一正、二定、三相等3个条件全部满足。
教师：这种方法称为配凑项，黑板板书配凑项，并ppt展示规范解题步骤
问题2：如果将，如何求和的最小值？
教师：，不等式的等号还成立吗？
学生：不成立
教师：不等式的等号不成立，还能利用基本不等式求和的最小值吗？
学生：不能
教师:不能利用基本不等式求和的最小值，我们会有其他方法来处理这个问题，在后面的学习中同学们将会学习
设计意图：通过此题，得到结论：求和的最小值，要构造积为定值。此题通过配凑项，构造积为定值，然后利用基本不等式求和的最小值，其中一正、二定、三相等3个条件必须全部满足。另外，强调变形必须是等价变形。
例1（2）
问题3：如何求和的最小值？
教师：给学生留时间思考，然后让学生展台投影答案，并讲解此题
学生2：展台投影答案，并讲解此题：把1代入
追问学生：为什么想到把1带入？
学生2：一个数乘以1等于它本身
追问学生：仅仅是因为一个数乘以1等于它本身吗？
学生2：把1代入，展开，构造出积为定值，利用基本不等式求和的最小值
教师：肯定学生的答案，并提出表扬
教师：此题是求和的最小值，要构造积为定值，所以把1代入，展开，构造出积为定值，利用基本不等式求和的最小值。
教师：这种方法称为“1”的代换，黑板板书“1”的代换，并ppt展示规范解题步骤
问题4：变式：若将条件改成4x+y=3，如何求和的最小值？
教师：在ppt上写出此变式，并提问学生
学生3：两边同时除以3，构造1，然后将1代入求和的最小值
教师：肯定学生的答案，并提出表扬
教师：强调两边同时除以3，构造1，然后利用“1”的代换求和的最小值
问题5：如果把，又如何求最小值？
教师：此题留给同学们作为一个思考题
设计意图：通过此题，强调结论：求和的最小值，要构造积为定值。此题通过“1”的代换，构造积为定值，然后利用基本不等式求和的最小值。
基本不等式在实际中的应用
（四）探究二
例2（1）我家有一个小院，准备用篱笆围成一个面积为的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短？最短的篱笆是多少？
问题6：例2（1）如何求篱笆的最短长度？
教师：给学生留时间思考，然后让学生黑板板书解题过程
学生4：黑板板书例2（1）解题过程
教师：对学生板书进行点评，并规范解题步骤，做出归纳：积定和最小，并利用ppt展示规范解题步骤
设计意图：此题为基本不等式在实际中的应用，积定和最小，并了解利用基本不等式解决实际问题的步骤。
（2）一段长为16 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少
问题7：例2（2）如何求矩形菜园的最大面积？
教师：给学生留时间思考，然后让学生黑板板书解题过程
学生5：黑板板书例2（2）解题过程
教师：对学生板书进行点评，并规范解题步骤，做出归纳：和定积最大，并利用ppt展示规范解题步骤
设计意图：此题为基本不等式在实际中的应用，和定积最大，并了解利用基本不等式解决实际问题的步骤。
例3 我们学校要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为,深为3m，如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为50元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
问题8：如何设计水池能使总造价最低？
教师：因为水池深为3，所以问题转化成：水池池底如何设计能使总造价最低？
教师：给学生留时间思考，然后在黑板板书解题过程，并归纳：积定和最小，并利用ppt展示规范解题步骤
教师：归纳出利用基本不等式解决实际问题的步骤：审题-建模-求解-作答
设计意图：此题为基本不等式在实际中的应用，背景更加复杂，由于水池深为3，所以把问题转化为：水池池底如何设计能使总造价最低？从而使问题简单化，积定和最小。通过例2和例3，引导学生总结出利用基本不等式解决实际问题的步骤：审题-建模-求解-作答。
（五）当堂检测
1.
问题9：如何求积的最大值？
教师：给学生留时间思考，让学生去展台投影答案，并进行讲解
学生6：学生展台投影答案，并讲解此题：乘以2再除以2
追问学生：为什么想到乘以2再除以2？
学生6：乘以2再除以2，和原式相等
追问学生：仅仅是因为乘以2再除以2，和原式相等吗？
学生6：然后构造出和为定值，和定积最大
教师：肯定学生的答案，并提出表扬
教师：此题求积的最大值，要构造和为定值，乘以2再除以2，构造出和为定值，利用基本不等式求积的最大值
教师：这种方法称为配凑系数，黑板板书配凑系数，并ppt展示规范解题步骤
问题10：这个题除了利用基本不等式，还有其他解法吗？
学生7：还可以用二次函数，考虑对称轴
教师：肯定学生的答案，并提出表扬。把原式展开，二次函数对称轴为，开口向下，在对称轴处取得最大值
教师：还可以配方来做
设计意图：此题是例1（1）的变式：求积的最大值，要构造和为定值。此题通过配凑系数，构造出和为定值，然后利用基本不等式求积的最大值。此题还可以利用二次函数或者配方来解。
2.用一段长为40m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长24m，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
问题11：如何求积的最大值？
教师：给学生留时间思考，然后让学生能够口答答案
学生8：口答答案，归纳：和定积最大
教师：肯定学生的答案，并提出表扬
教师：利用ppt展示规范解题步骤，并强调自变量x的取值范围。
设计意图：此题是例2（2）的变式：和定积最大。通过此题，再次利用基本不等式解决实际问题。
（拓展提升）3.
问题12：如何求和的最小值？
教师：给学生留时间思考，然后让学生口答答案
学生9：两边同时除以xy，构造1，然后利用“1”的代换求和的最小值
教师：肯定学生的答案，并提出表扬
教师：此题两边同时除以xy，构造1，利用“1”的代换求和的最小值，利用ppt展示规范解题步骤
问题13：这个题除了利用基本不等式，还有其他解法吗？
教师：此题还可以利用换元、构造定值等方法来解
设计意图：此题是例1（2）的变式，通过等价变形，先构造出1，再利用“1”的代换，求和的最小值。
反思小结
多媒体动态展示思维导图，并结合多媒体形成知识网络
问题14：（1）这节课我们主要学习了哪些知识？
（2）在学习的过程中，体现了哪些数学思想方法？
（3）通过这节课的学习你有哪些感悟？还存在哪些问题？
设计意图：以知识为载体，通过反思小结，凸显知识之间的联系，形成思维导图，突出学习过程中运用的数学思想方法，使学生收获的不仅仅是“鱼”，更重要的是主动获取“鱼”的方法——“渔”。
布置作业
习题2.2复习巩固1、2、3
（2）习题2.2综合运用4、5
九、板书设计
十、教后反思
本节课主要学习利用基本不等式解决简单的最大(小)值问题，运用基本不等式解决生活中的应用问题。
本节课核心：求和的最小值，要构造积为定值，积定和最小；求积的最大值，要构造和为定值，和定积最大。
通过例1和当堂检测1学习利用基本不等式求最值的3种方法：配凑项、配凑系数、“1”的代换。这3种方法，每一种变形都必须是等价变形。通过这3种等价变形目的是转化为和是定值或者积是定值，体现了转化化归的数学思想。利用基本不等式求最值，体现了一种和积互化的过程。
通过例2和例3，学习基本不等式在实际中的应用，并归纳出利用基本不等式解决实际问题的步骤：审题—建模—求解—作答。
本节课属于高中数学课程的预备知识部分，将帮助学生完成初高中数学学习的过渡，为学生整个高中阶段的数学学习提供学习心理、学习方式、知识技能等方面的准备。
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