资源简介

2.2.2基本不等式的应用
一、教学内容解析：
1、本节内容选自《普通高中教科书》（人教A版教材）高中数学必修第一册第二章第2节基本不等式，是在学习了等式性质与不等式的性质、基本不等式的基础上对基本等式的应用进一步的研究，本节是教学的重点，学生学习的难点，内容具有条件约束性、变通灵活性、应用广泛性等的特点；
2、本节主要利用基本不等式求最值，以及建立基本不等式模型解决实际问题，为后面的求函数最值和建立函数模型打好了良好的基础，也是体会数形结合、分类讨论等数学思想，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养的良好素材；
3、在高中数学中，不等式的地位不仅特殊，而且重要，它与高中数学很多章节都有联系，尤其与函数、方程联系紧密，因此，不等式才自然而然地成为高考中经久不衰的热点、重点，有时也是难点．
二、学情分析：
1、学生已经掌握的基本不等式及其结构特征对本节课的学习有很大帮助；
2、学生逻辑推理能力有待提高，没有系统学习过证明不等式的基本方法，尤其对于分析法证明不等式的思路以前接触较少；
3、对于最值问题，学生习惯转化为一元函数，根据函数的图像和性质求解，对于根据已知不等式求最值接触较少，尤其会忽略取等号的条件。
三、教学目标：
1、知识与技能：会从不同角度探索基本不等式，会用基本不等式解决简单的最值问题；
2、过程与方法：经历基本不等式的推导过程，体会数形结合、分类讨论等数学思想，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养；
3、情感态度价值观：培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，并在探究的过程中，体会数学的严谨性，发现数学的实用性.
四、教学重点与难点：
1、教学重点：建立基本不等式模型解决简单的最值问题
2、教学难点：以数学模型的观点理解基本不等式，用其解决两类最值问题，判断实际问题中的最值问题是否可以用基本不等式模型求解。
五、教学策略分析：
1、由课本例1引入课题，可明确本堂的主要内容，使学生学习目标明确，进而激发学生的学习兴趣；
2、精心设置“问题串”，由简到难，由感性到理性，一步步引导学生自主探究，小组讨论探究两类利用基本不等式求最值得模型，让学生感受知识发生发展深化的过程，也体现学生为主体，老师为主导的教学理念；
3、为突破最值定理思路的获得这一教学难点，采用先学生小组讨论，再师生共同完成的策略；
4、为突破应用基本不等式求最值这一难点，先由例题归纳应用基本不等式求最值的要点，然后趁热打铁设置两个练习，由简到难，由浅入深，采用学生板演，抢答和小组讨论等方式，及时发现问题，及时纠错，让“一正二定三相等”深入人心；
5、对于转化为函数进而用函数的图像和性质求最值的问题，教师只作适当提示，不作为重点；
6、课堂小结重视知识间的联系和研究问题的方法，并强调了数学思想方法和数学核心素养在数学学习中的作用。
六、教学过程设计：
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
复习回顾 请思考下面两个问题： 1.什么是基本不等式？ 2.它的结构特征及产生过程是怎样的？ 生：回忆，背诵 师：和学生一起回顾从赵爽弦图到基本不等式的形成过程， 利用好课前2分钟预备时间，并将前面知识形成网络。
一、情境创设 导入课题 典例探究 师：引导学生思考 生：学生先独立思考，后小组合作讨论，并展示成果。 师：教师巡视，解惑。 这是一个具有模型意义的不等式，有非常广泛的应用。重点在于引导学生明确基本不等式的使用条件和注意事项。
二、自主探究 推导公式 追问1：“求该代数式的最小值”是在做一件什么事情？ 追问2：该代数式有什么结构特点？能否用基本不等 式模型求最值？如何求？ 追问3：为什么要必须说明等号成立？ 追问4：利用基本不等式求最值需要满足什么条件？ 注意：一正二定三相等 学生审题后，直接切入追问。 教师利用二次函数的最小值进行引导，师生共同分析。 问题1以课本习题为入点，让学生探究具体数的积与和关系并发现相等时取小值。
例2 已知x,y都是正数，求证：（1）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2√P； （2）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值。 追问：通过本题，请说说基本不等式可以解决怎样的最值问题？ 学生独立完成后展示交流，师生共同补充完善。 在例1的基础上，进一步示范如何用基本不等式求最值，能把基本不等式处理最值问题当成数学模型去看待，从而提高解决问题能力。
题后反思：结合基本不等式，你能将本题的结论推广为更一般的情况吗？ 结论：设， 1、若（定值），则当且仅当时，有最小值； 2、若（定值），则当且仅当时，有最小值. 要点：一正二定三相等 师：引导学生将实际问题抽象为数学问题，明确已知和所求，将问题一般化. 生：思考后将例题的结论推广为更一般的情况. 师：板书结论，指导学生根据基本不等式的变形理解记忆该结论 师生共同归纳该结论的三个要点 在学生经历例题中的两个最值问题之后，及时提问，培养学生题后反思的好习惯，将特殊问题一般化，举一反三，总结规律，有利于构建系统完整的知识结构.
三、实际应用 加深理解 例3：（1）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短的篱笆是多少？ （2）一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大.最大面积是多少？ 追问1:你能用数学符号语言描述上述关系吗？ 追问2：上述问题能用基本不等式的数学模型求解吗？如何求解？ 追问3：你能归纳基本不等式模型解决实际问题的一般步骤吗？ 解：（1）设长为，宽为，则，篱笆长为，由可得：，当且仅当时，等号成立，所以这个矩形的长和宽都为时，篱笆最短，最短的篱笆是. （2）设矩形菜园的长为，宽为，则，即：，矩形菜园的面积为.由可得：，当且仅当时，等号成立，所以这个矩形的长和宽都为时，菜园的面积最大，最大面积是. 规律总结：学生思考，讨论交流，教师补充完善。 1、转化问题 2、分析模型 3、求解模型 4、回归问题 师：分析解题思路，将实际问题转化为数学问题，注意分析为何可用基本不等式来解决该问题，PPT展示（1）的解答过程，请一学生板演（2），指导学生完成（2） 生：一学生板演（2），其他学生自己完成（2） 师：适当引导学生其他解法，比如：（1）也可转化为对勾函数，（2）可转化为二次函数 和引例前后呼应，学以致用，把两个实际问题化归为利用基本不等式求最值的数学模型，体会数学的应用价值，增强学生的学习的动力和信心. 板演有利于及时发现学生解答中的问题，及时纠错. 一题多解可更好的培养学生思维的发散性.
例4：例4 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800 m3，深为3 m，如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？ 追问1：水池的总造价由什么确定？ 追问2：如何求水池的总造价？ 追问3：此题能用基本不等式模型求解吗？ 学生回答，教师关注学生目标意识的培养。 学生思考回答，教师关注学生的表达。 学生思考回答，教师引导学生增强模型意识。 及时巩固加深血色好难过对基本不等式模型解决实际问题的理解。
四、课堂小结 回顾本节的学习过程，回答下列问题： 1.基本不等式有怎样的结构特点？ 2.利用基本不等式模型解决实际问题的一般步骤是怎样的？需要注意哪些问题？ 3.你如何理解基本不等式的“基本”？你能说一说它的重要性吗？ 师： 1、强调课堂中涉及到的数学思想：特殊到一般，分类讨论，数学结合 2、数学核心素养：数学抽象，逻辑推理，数学建模，直观想象，数学运算 从多个角度总结归纳本堂课的主要内容，不仅重视知识本身，更重视知识间的联系和研究问题的方法；另外，更强调了数学思想方法和数学核心素养在数学学习中的作用.
五 当堂检测 当堂检测：判断下列3个命题是否正确，并说明理由. （1）函数的最小值为2. （ ） （2）函数 的最小值为6. （ ） （3）函数 的最小值是2. （ ） 解：（1）假. 可为负数，不能直接用基本不等式，无最小值. （2）真. ，当且仅当时取等号，所以 的最小值为6. （3）假.一正二定满足，但等号取不到 师：让学生小组讨论，解决该问题 生：小组讨论，小组代表回答问题 师：点评学生回答，并指出：运用基本不等式求最值，三个条件缺一不可，尤其三相等最忽略. 当堂检测可加深对用基本不等式求最值的条件的理解，小组讨论可培养学生的合作交流能力，小组代表回答问题可培养学生数学表达能力、概括能力和逻辑推理能力.
六、课堂小结 布置作业 布置课后作业： 1、必作题： 课本48页：1.3.5 2、选作题： 课本49页：6 学生课下独立完成 体现作业的巩固性和发展性原则，分为必做题和选作题，又充分考虑了学生的差异性.

展开更多......

收起↑