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1.7 整理与练习
等式方程的含义及关系
等式的性质
方程的解和解方程
列方程解决实际问题
例1：已知x＋y＝75，x÷y＝4，则x＝（ ）。
A．15 B．30 C．45 D．60
答案：D
分析：根据题意可知，x与y的和是75，其中x是y的4倍，根据和倍公式，先求出较小数y，再乘4，就是x，据此解答。
详解：75÷（4＋1）
＝75÷5
＝15
15×4＝60，所以x＝60。
故选择：D
例2：如图，正方形内的涂色部分是一个长方形，如果正方形的面积是长方形的4倍，那么长方形的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。
答案： 40 64
分析：看图，长方形的长和正方形的边长相等。将正方形的边长设为x厘米，那么长方形的宽是（13＋7－x）厘米。根据“正方形面积＝长方形面积×4”列方程解方程即可。
详解：解：设正方形的边长是x厘米。
x2＝x×（13＋7－x）×4
x2÷x＝x×（13＋7－x）×4÷x
x＝（20－x）×4
x＝80－4x
x＋4x＝80
5x＝80
5x÷5＝80÷5
x＝16
长方形宽：13＋7－16＝4（厘米）
长方形周长：（16＋4）×2
＝20×2
＝40（厘米）
长方形面积：16×4＝64（平方厘米）
所以，长方形的周长是20厘米，面积是64平方厘米。
例3：一个直角梯形上底是下底的一半，面积是12平方厘米（上下底和直角边的腰长都是整厘米）。这样不同的直角梯形共有3种。( )
答案：×
分析：根据题意，上底、下底和高的长度均为整厘米数，设梯形的上底为x厘米，下底就是2x厘米，高为h厘米，可列方程（x＋2x）h÷2＝12，根据题意找出符合条件的未知数的值即可。
详解：解：设设梯形的上底为x厘米，下底就是2x厘米，高为h厘米。
（x＋2x）h÷2＝12
3xh＝24
xh＝8
x和h都是整数，则有1×8＝8，8×1＝8，2×4＝8，4×2＝8，所以有四组数据。也就是有4种这样不同的直角梯形。
故答案为：×
例4：小红和妈妈一起坐火车去姥姥家。买票时，妈妈付了100元，找回40.6元，小红买的是学生票，学生票价是成人票价的一半。你知道小红的票价是多少钱吗？
答案：19.8元
分析：用100－40.6，求出买学生票和成人票的价钱，设小红的票价是x元，学生票价是成人票价的一半，则成人票价是2x元，学生票价＋成人票价＝学生票价＋成人价钱，列方程：x＋2x＝100－40.6，解方程，即可解答。
详解：解：设小红的票价是x元，则成人票价是2x元。
x＋2x＝100－40.6
3x＝59.4
3x÷3＝59.4÷3
x＝19.8
答：小红的票价是19.8元。
基础过关练
一、选择题
1．福州西湖公园至今有一千七百多年的历史，是福州迄今为止保留最完整的一座古典园林，被称为“福建园林明珠”，现占地面积为42.51公顷，其中陆地面积是12.21公顷，水面面积是x公顷。根据其中的数量关系，下列方程正确的是（ ）。
A． B．
C． D．
2．3袋苹果和4袋桔子一共重60千克，每袋苹果比每袋桔子重5千克。如果假设都是苹果，总质量就会比60千克（ ）。
A．少15千克 B．多15千克 C．少20千克 D．多20千克
3．一张单人课桌的价格是145元，它的价格比一把椅子的2倍便宜3元。设一把椅子的价格为x元，下面方程正确的是（ ）。
A． B． C． D．
4．在①5x＝12，②0.4y，③8.4－m＝2.4＋n，④5＋3.2＝8.2，⑤3a＞32.8中，方程有（ ）个。
A．1 B．2 C．3 D．4
5．一块梯形菜地的上底是10米，下底是8米，高是x米，面积是72平方米。下面方程（ ）的解，就是它的高。
A． B． C．
6．农场里羊的只数是牛的1.5倍，牛比羊少180只，方程1.5x－x＝180中的x表示（ ）。
A．牛的数量 B．羊的数量 C．牛和羊的总数 D．牛比羊少的数量
二、填空题
7．果园里收获了5筐苹果（如图），已知每个大筐的千克数是小筐的2倍。
(1)假如5筐都是大筐，一共能装( )筐，这样就求得每个大筐有( )千克。
(2)假如5筐都是小筐，一共能装( )筐，这样就求得每个小筐有( )千克。
8．在括号中填上合适的序号。
①35＋65＝100 ②5x＋32＝47 ③x－14＞72 ④y＋24
上面式子中，( )是等式，( )是方程。
9．通过预习，我知道用方程解决实际问题的步骤，通常设( )量为x，列ax±b＝c形式的方程来解答。
10．甲比乙的几倍多（或少）几，已知甲，求乙的问题，可设( )为x，根据( )×倍数±几＝( )，列出形如ax±b＝c的方程，并解答。
11．在同一题中，如果出现多个未知数，就需用不同的字母设未知数，一般用( )和( )来设。
12．解方程x＋3＝4时，可以在等式两边( )，就可以得到x＝( )。解方程0.5x＝4时，可以在等式两边( )，就可以得到x＝( )。
三、判断题
13．含有未知数的式子叫做方程。( )
14．等式的两边同时加、减、乘或除以同一个数，所得结果仍是等式。( )
15．，方程的两边可以同时加x，方程的解不变。( )
16．是一个非零自然数，如果，那么一定等于2。( )
17．若x＋2.6＝7.6，则1.5x＜7.5。( )
培优提升练
四、计算题
18．解方程。

19．看图列方程并解答。
20．看图列方程，并求出x的值。
五、解答题
21．当前，无锡市轨道交通即将实现锡澄S1线、地铁4号线二期以及地铁5号线、锡宜S2线“四线共建”态势。其中地铁五号线工程线路全长34.5千米，是地铁4号线二期工程线路全长的4倍多1.3千米，地铁4号线二期工程全长多少千米？（列方程解答）
22．“端午节”快要到了，林奶奶包了蜜枣粽子37个，比赤豆粽子的1.5倍还多7个。林奶奶包了赤豆粽子多少个？（用方程解）
23．港珠澳大桥是一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，全长55千米；苏通大桥位于江苏省，是沈阳——海口高速公路跨越长江的重要枢纽。港珠澳大桥的长度比苏通大桥全长的2倍少9.8千米，苏通大桥全长多少千米？
24．扬州踏春和淄博烧烤，今年春天都特别火爆。某日，由“扬州东”开往“淄博北”的动车上一共载客780人，其中独自一人出行的有180人，其余都是三口之家或者两口之家。已知三口之家比两口之家多10户，请问这列动车上三口之家有多少户？
25．某快餐店某一天一共接了240个外卖订单，其中微信支付的订单数量是支付宝订单数量的1.4倍。支付宝订单数量与微信支付订单数量各有多少个？（用方程解）
26．列方程解决问题。
一根竹竿插入池塘，入泥部分长0.4米，水中部分的长度是入泥部分的3倍，水中部分的长度比露出水面部分的3倍少0.12米。竹竿露出水面部分长多少米？
1．A
分析：根据题意，可知陆地面积＋水面面积＝占地面积，据此列出方程为。据此选择即可。
详解：根据其中的数量关系，下列方程正确的是。
故答案为：A
2．D
分析：根据题意，把4袋桔子替换成4袋苹果，因为每袋苹果比每袋桔子重5千克，那么4袋苹果比4袋桔子重（5×4）千克，也就是假设都是苹果，总质量会比原来的总质量多（5×4）千克。
详解：4袋苹果比4袋桔子重：5×4＝20（千克）
如果假设都是苹果，总质量就会比60千克多20千克。
故答案为：D
分析：本题考查等量代换，利用“每袋苹果比每袋桔子重5千克”，得出4袋桔子替换成4袋苹果后比原来多的质量。
3．A
分析：根据题意可知，一张单人课桌的价格比一把椅子的2倍便宜3元，即一把椅子的价钱×3－3元＝一张课桌的价钱，列方程：2x－3＝145，据此解答。
详解：根据分析可知，一张单人课桌的价格是145元，它的价格比一把椅子的2倍便宜3元。设一把椅子的价格为x元，下面方程正确的是2x－3＝145。
故答案为：A
分析：解答本题的关键明确便宜3元，就是椅子价钱的2倍需要减去3元才等于课桌的价钱。
4．B
分析：含有未知数的等式叫做方程，据此解答。
详解：①5x＝12，含有未知数，是等式，是方程；
②0.4y，含有未知数，不是等式，不是方程；
③8.4－m＝2.4＋n，含有未知数，是等式，是方程；
④5＋3.2＝8.2，不含未知数，是等式，不是方程；
⑤3a＞32.8，含有未知数，不是等式，不是方程。
方程有2个。
在①5x＝12，②0.4y，③8.4－m＝2.4＋n，④5＋3.2＝8.2，⑤3a＞32.8中，方程有2个。
故答案为：B
分析：方程必须具备两个条件：（1）含有未知数；（2）是等式。
5．B
分析：梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，据此列方程求出高。
详解：求这个梯形的高，列方程为：（10＋8）x÷2＝72
故答案为：B
分析：本题考查了梯形面积和列简易方程，熟记梯形面积公式是列方程的关键。
6．A
分析：设牛有x只，则羊有1.5x只，根据等量关系：羊得只数－牛得只数＝180只，列方程即可。
详解：1.5x－x＝180
解：0.5x＝180
0.5x÷0.5＝180÷0.5
x＝180÷0.5
x＝360
360×1.5＝540（只）
540－360＝180（只）
根据分析可得：方程1.5x－x＝180中的x表示牛的数量。
故答案为：A
分析：本题主要考查了列方程解应用题，关键是找等量关系。
7．(1) 4 50
(2) 8 25
分析：（1）由题意可知，每个大筐的千克数是小筐的2倍，即两个小筐的千克数相当于1个大筐的千克数，则假如图中的筐都是大筐，共有3＋1＝4个大筐，然后用苹果的总重量除以大筐的个数即可求出每个大筐有多少千克；
（2）由题意可知，每个大筐的千克数是小筐的2倍，即1个大筐的千克数相当于2个小筐的千克数，则假如图中的筐都是小筐，共有3×2＋2＝8个小筐，然后用苹果的总重量除以小筐的个数即可求出每个小筐有多少千克。
详解：（1）3＋1＝4（个）
200÷4＝50（千克）
则假如5筐都是大筐，一共能装4筐，这样就求得每个大筐有50千克。
（2）3×2＋2
＝6＋2
＝8（个）
200÷8＝25（千克）
则假如5筐都是小筐，一共能装8筐，这样就求得每个小筐有25千克。
分析：本题考查等量代换，明确1个大筐的千克数相当于2个小筐的千克数是解题的关键。
8． ①② ②
分析：等式：含有等号的式子是等式；方程：含有未知数的等式是方程，据此即可填空。
详解：由分析可知：
等式有：35＋65＝100；5x＋32＝47
方程有：5x＋32＝47
则①②是等式，②是方程。
分析：本题主要考查等式和方程的认识，要注意方程一定是等式，等式不一定是方程。
9．未知
详解：由于总结出列一元一次方程组解决实际问题的主要步骤，主要由三个步骤，分别是列方程，解方程，最后答题。
列一元一次方程组解决实际问题的主要步骤：
（1）根据题目所求，设出未知数，设未知数一般用x表示；
（2）根据所设的未知数，确定出问题中的相等关系，列出方程；
（3）解由这些方程组成的方程组，求出未知数的值，并根据问题的实际意义，确定出问题的解答。
通过预习，我知道用方程解决实际问题的步骤，通常设未知量为x，列ax±b＝c形式的方程来解答。
10． 乙 乙 甲
分析：列方程解应用题的基本步骤：设未知数、列出方程、解方程、写出答案；根据题意可设乙为x，已知甲比乙的几倍多（或少）几，则甲为x×倍数±几，据此列方程即可。
详解：甲比乙的几倍多（或少）几，已知甲，求乙的问题，可设乙为x，根据乙×倍数±几＝甲，列出形如ax±b＝c的方程，并解答。
分析：考查了利用方程解决实际问题的基本思路：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答。
11． x y
详解：本题主要考查了用字母表示数，解题的关键是明确数量之间的关系。早在三千六百多年前，埃及人就会用方程解决数学问题了。在我国古代，大约两千年前成书的《九章算术》中，就记载了用一组方程解决实际问题的史料。一直到三百多年前，法国的数学家笛卡尔第一个提倡用x、y等字母代表未知数，才形成了现在的方程。因此可得，同一题中，如果出现多个未知数，就需用不同的字母设未知数，一般用x和y来设。
12． 同时减去3 1 同时除以0.5 8
分析：解方程x＋3＝4时，根据等式的性质1，在等式两边同时减去3，求出x的值；
解方程0.5x＝4时，根据等式的性质2，在等式两边同时除以0.5，求出x的值。据此解答。
详解：x＋3＝4
解：x＋3－3＝4－3
x＝1
0.5x＝4
解：0.5x÷0.5＝4÷0.5
x＝8
解方程x＋3＝4时，可以在等式两边同时减去3，就可以得到x＝1。解方程0.5x＝4时，可以在等式两边同时除以0.5，就可以得到x＝8。
分析：熟练掌握利用等式性质1和性质2解方程是解答本题的关键。
13．×
分析：根据方程的意义，含有未知数的等式叫做方程，所以方程必须具备两个条件：①必须是等式；②必须含有未知数。
详解：例如：4x＋6是含有未知数的式子，4＋5＝9是等式，可它们都不是方程，而5＋x＝9就是方程，所以原题说法错误；
故答案为：×
14．×
分析：根据等式的性质可得，
（1）等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式；
（2）等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式。
详解：根据分析可知，等式的两边同时加、减、乘或除以一个不为0的数，所得结果仍是等式。
原题干说法错误。
故答案为：×
分析：本题考查等式的性质，注意0不能作除数。
15．√
分析：根据等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式；
详解：根据分析可知，，方程的两边可以同时加x，方程的解不变。
原题干说法正确。
故答案为：√
分析：熟练掌握等式的性质1是解答本题的关键。
16．√
分析：由于a2表示a×a，由于a是一个非0自然数，根据等式的性质2，等式两边同时除以a，即a＝2，由此即可判断。
详解：由分析可知
a2＝2a
解：a×a＝2a
a×a÷a＝2a÷a
a＝2
所以a一定等于2，原题说法正确。
故答案为：√
分析：本题主要考查等式的性质2，熟练掌握等式的性质是解题的关键。
17．×
分析：先解方程x＋2.6＝7.6，然后计算出1.5x的值，看结果是否小于7.5即可。
详解：x＋2.6＝7.6
x＋2.6－2.6＝7.6－2.6
x＝5
当x＝5时，1.5x＝1.5×5＝7.5
原题说法错误。
故答案为：×
分析：本题考查了方程的解法及利用代入法求值，需熟练掌握计算方法。
18．；；
分析：，根据等式的性质1和2，将方程左右两边同时加上10.8，再同时除以2.5即可；
，先将左边合并为，再根据等式的性质2，将方程左右两边同时除以8.8即可；
，先计算，再根据等式的性质1和2，将方程左右两边同时减去28，然后同时除以6即可。
详解：
解：
解：
解：
19．15朵；39朵
分析：设玫瑰有x朵，则百合有（3x－6）朵，根据等量关系：玫瑰的朵数＋百合的朵数＝54朵，列方程解答即可。
详解：x＋（3x－6）＝54
解：x＋3x－6＝54
4x－6＝54
4x－6＋6＝54＋6
4x＝60
4x÷4＝60÷4
x＝15
3×15－6
＝45－6
＝39（朵）
则玫瑰有15朵，百合有39朵。
20．x＋3x＋7＝55
x＝12
详解：根据等量关系：鸡的只数＋鸭的只数＝55只，列方程解答即可。
解答：解：x＋3x＋7＝55
4x＋7＝55
4x＝48
x＝12
鸡有12只。
分析：本题主要考查了列方程解应用题，关键是找等量关系。
21．8.3千米
分析：根据题意可知，地铁4号线二期工程线路全长×4＋1.3千米＝地铁五号线工程线路全长，据此列方程为4x＋1.3＝34.5，然后解出方程即可。
详解：解：地铁4号线二期工程全长x千米。
4x＋1.3＝34.5
4x＋1.3－1.3＝34.5－1.3
4x＝33.2
4x÷4＝33.2÷4
x＝8.3
答：地铁4号线二期工程全长8.3千米。
分析：本题主要考查了列方程解决问题，找到相应的关系式是解答本题的关键。
22．20个
分析：设林奶奶包了赤豆粽子x个，根据等量关系：林奶奶包了赤豆粽子的个数×1.5＋7个＝林奶奶包蜜枣粽子的个数，列方程为1.5x＋7＝37，然后解出方程即可。
详解：解：设林奶奶包了赤豆粽子x个。
1.5x＋7＝37
1.5x＋7－7＝37－7
1.5x＝30
1.5x÷1.5＝30÷1.5
x＝20
答：林奶奶包了赤豆粽子20个。
分析：本题主要考查了列方程解决问题，找到相应的关系式是解答本题的关键。
23．32.4千米
分析：设苏通大桥全长x千米，根据题意，苏通大桥的长度×2－9.8＝港珠澳大桥的长度，据此列方程解答。
详解：解：设苏通大桥全长x千米。
2x－9.8＝55
2x＝55＋9.8
2x＝64.8
x＝64.8÷2
x＝32.4
答：苏通大桥全长32.4千米。
分析：本题用方程解答比较简便。找出题中的等量关系式是列出方程的关键。
24．124户
分析：设这列动车上三口之家有x户，根据等量关系：三口之家的人数和＋两口之家的人数和＝载客总人数－180人，列方程解答。
详解：解：设这列动车上三口之家有x户。
3x＋2×（x－10）＝780－180
3x＋2x－20＝600
5x－20＝600
5x－20＋20＝600＋20
5x＝620
5x÷5＝620÷5
x＝124
答：这列动车上三口之家有124户。
分析：本题考查列方程解应用题，解题关键是找出题目中的等量关系列方程解答。
25．支付宝订单有100个，微信订单有140个
分析：先设支付宝订单有x个，则微信订单有1.4x个，由题意可知等量关系式：微信订单数量＋支付宝订单数量＝240个，据此列方程解答即可。
详解：解：设支付宝订单有x个，则微信订单有1.4x个。
x＋1.4x＝240
2.4x＝240
x＝100
1.4×100＝140（个）
答：支付宝订单有100个，微信订单有140个。
分析：本题考查列方程解含有一个未知数的应用题，找到等量关系是关键。
26．0.44米
分析：设竹竿露出水面部分长x米，根据等量关系：露出水面部分的长度×3倍－0.12米＝入泥部分的长度×3倍，列方程解答即可。
详解：解：设竹竿露出水面部分长x米，根据题意列方程可得：
3x－0.12＝0.4×3
3x－0.12＝1.2
3x－0.12＋0.12＝1.2＋0.12
3x＝1.32
3x÷3＝1.32÷3
x＝0.44
答：竹竿露出水面部分长0.44米。
分析：本题是一道有关用方程解决问题的题目，关键是找等量关系，再根据方程的性质求解即可。

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