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1.6 列方程解决实际问题
列方程解决实际问题的一般步骤：
1.先弄清题意，找出未知数，并用字母表示；
2.根据题中数量之间的相等关系列方程；
3.解方程；
4.检验，写出答语。（检验时，先检查方程是否符合题意，再把未知数的值代入原方程看方程的左右两边是否相等。）
解形如ax±b=c的方程：
先把ax看作一个整体，然后根据等式的性质（1）求出ax是多少，最后再根据等式的性质（2）求出x是多少。
用解形如ax±b=c的方程解决实际问题：
1.解决涉及两个未知量的问题，一般设其中的一个未知量为x，另一个未知量用含x的式子表示，然后根据这两个量的和差关系列方程求解。
2.解形如ax±b=c的方程时，可以先利用乘法分配律把方程变形为（ a±b）x=c，再求x是多少。
3.检验时，既要看求出的两个未知量相加（减）是否等于指定的和（差），还要看求出的两个未知量是否存在指定的倍数关系。
用数学公式与方程解决实际问题：
在解决实际问题时，常常遇到一些数学公式，如：速度×时间=速度。类似的还有：甲的路程+乙的路程=总路程，工作效率×时间=工作总量，等等。此时可以根据这些数学公式列方程求解。
例1：近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活。某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送。若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件。该分派站现有包裹多少件？快递员多少名？
答案：快递员：6名；包裹：66件
分析：可列方程解决盈亏问题。根据题意可知，无论按哪种派送方法，包裹的总件数是一定的。若每个快递员派送10件，还剩6件，则包裹的总件数是10×快递员的人数＋6；若每个快递员派送12件，还差6件，则包裹的总件数是12×快递员的人数－6。所以此题的等量关系为“10×快递员的人数＋6＝12×快递员的人数－6”。设快递员x名，则可列出方程10x＋6＝12x－6，解方程即可求出快递员的人数；再用10×快递员的人数＋6可求出包裹的件数。
详解：解：设快递员x名。
10x＋6＝12x－6
10x＋6＋6＝12x－6＋6
10x＋12＝12x
10x＋12－10x＝12x－10x
12＝2x
2x＝12
2x÷2＝12÷2
x＝6
10×6＋6
＝60＋6
＝66（件）
答：该分派站现有包裹66件，快递员6名。
例2：在4个同样的大盒和6个同样的小盒里装满球，正好是200个。每个大盒比每个小盒多装5个，每个大盒和小盒各装多少个？
答案：每个大盒可以装23个，每个小盒可以装18个
分析：由题意可知，设每个小盒可以装x个，则每个大盒可以装（x＋5）个，再根据等量关系：4个大盒装的个数＋6个小盒装的个数＝200，据此列方程解答即可。
详解：解：设每个小盒可以装x个，则每个大盒可以装（x＋5）个。
6x＋4×（x＋5）＝200
6x＋4x＋20＝200
10x＋20＝200
10x＋20－20＝200－20
10x＝180
10x÷10＝180÷10
x＝18
18＋5＝23（个）
答：每个大盒可以装23个，每个小盒可以装18个。
例3：某农场有三块菜地，总面积是500公顷，已知第一块菜地的面积比第二块少40公顷，第二块菜地的面积比第三块多60公顷。这三块菜地的面积各是多少平方米？（先画线段图表示题中的数量关系，再解答）
答案：第一、二、三块地分别是160公顷、200公顷、140公顷
图见详解
分析：三块地都与第二块地进行比较，假设第二块地是x公顷，则第一块地是（x－40）公顷，第三块地是（x－60）公顷，根据总面积是500公顷，列方程解答。
详解：线段图如下：
解：设第二块地是x公顷，则第一块地是（x－40）公顷，第三块地是（x－60）公顷。
（x－40）＋x＋（x－60）＝500
x－40＋x＋x－60＝500
3x－100＝500
3x－100＋100＝500＋100
3x＝600
3x÷3＝600÷3
x＝200
x－40＝200－40＝160（公顷）
x－60＝200－60＝140（公顷）
答：第一、二、三块地分别是160公顷、200公顷、140公顷。
例4：2辆大货车和3辆小货车共运货21吨，大货车的载重量是小货车的2倍。两种货车的载重量各是多少吨？
答案：小货车3吨；大货车6吨
分析：根据“大货车的载重量是小货车的2倍”，设小货车的载重量是吨，则大货车的载重量是2吨；
根据“2辆大货车和3辆小货车共运货21吨”可得出等量关系：每辆大货车的载重量×大货车的辆数＋每辆小货车的载重量×小货车的辆数＝运货的总吨数；据此列出方程，并求解。
详解：解：设每辆小货车的载重量是吨，则每辆大货车的载重量是2吨。
2×2＋3＝21
4＋3＝21
7＝21
7÷7＝21÷7
＝3
大货车：3×2＝6（吨）
答：小货车的载重量是3吨，大货车的载重量是6吨。
基础过关练
一、选择题
1．汾河湿地公园的一段水域上生活有野鸭114只，比白鹭数量的3倍少30只。设白鹭的数量是x只，下列方程错误的是（ ）。
A．3x－30＝114 B．114－3x＝30 C．3x－114＝30 D．3x＝114＋30
2．鞋的尺码常用“码”作单位，其换算方法是：码数＝厘米数×2－10，丁丁的鞋子是35码，那么他的脚长（ ）厘米。
A．22.5 B．25 C．60 D．35
3．甲乙两地间的铁路长480千米，客车和货车同时从两地相对开出，4小时相遇。已知客车每小时行65千米，货车每小时行x千米。不正确的方程是（ ）。
A． B．
C． D．
4．甲、乙两地相距480千米，客车和货车同时从两地相对开出，经过4小时相遇。已知客车每小时行驶65千米，货车每小时行驶千米，可列出方程为（ ）。
A． B．
C． D．
5．电脑爱好者于飞设计了一个计算程序：“输入一个数→乘3→加6→输出结果”，他输入一个数后，输出结果是36，则于飞输入的数是（ ）。
A．10 B．12 C．14 D．114
二、填空题
6．芳芳读一本书，第一天读了80页，第二天读了78页，第三天读了70页，第四天读的页数比前四天的平均数少3页。芳芳第四天读了( )页。
7．学校举行“小小数学家”数学竞赛，试题共有20题，每做对一题得5分，每做错一题倒扣2分。张华20题都做了，最终得到72分，他做对了( )题。
8．师徒两人合作完成了540个零件的加工任务，其中徒弟加工了3小时，师傅加工了5小时。已知师傅每小时比徒弟多加工12个，徒弟每小时加工( )个，师傅每小时加工( )个。
9．南通人杰地灵，风光秀丽。啬园风景区的占地面积约是127公顷，啬园风景区的占地面积是狼山风景区的11倍还多6公顷，狼山风景区的的占地面积约是( )公顷，合( )平方千米。
10．盒子里有80枚白子和50枚黑子。每次取走4枚白子，同时放入2枚黑子，像这样取放( )次后，白子与黑子正好相等。
11．1千克白糖5.6元，妈妈买了x千克，付给售货员50元，找回33.2元，妈妈买了( )千克白糖。
三、判断题
12．若五年级二班有女生25人，比男生人数的2倍少27人，则五年级二班的女生比男生多。( )
13．一个三角形的面积是60平方厘米，高是x厘米，底是10厘米，那么x是6厘米。( )
14．方程2x＋12＝27－3x与方程9x－3（2x－2）＝6的解相同。( )
15．水果超市上午运来75箱生梨，下午运来的箱数除以2，再加上25就和上午运来的一样多了，下午运来多少箱生梨？根据题意，得出的等量关系是：下午运来的箱数÷2＋25＝上午运来的箱数。( )
16．根据“鸡比鸭多20只”可以想到“鸡的只数＋20＝鸭的只数”。( )
培优提升练
四、计算题
17．解下列方程。
x÷5.5＝7.2 x－0.16x＝21 24－0.5x＝12.8
18．看图列方程并解答。
19．看图列方程并解答。

五、解答题
20．甲、乙两车同时从A城开往B城。7小时后，甲车超过乙车42千米，甲车每小时行78千米，乙车每小时行多少千米？
21．办公室买进一些A4纸，如果平均每天用20张，可以用28天，实际每天节约用纸4张，这些A4纸实际可用多少天？
22．第七届世界军人运动会吉祥物名为“兵兵”，它的设计灵感来源于中国一级重点保护野生动物中华鲟。雌性中华鲟体长2.3米，比雄性中华鲟体长的2倍少1.1米。雄性中华鲟的体长是多少米？（用方程解）
23．有“徐州之巅”之称的徐州苏宁广场主塔楼高266米，比徐州电视塔高度的2倍少133.2米，徐州电视塔高多少米？（用方程解答）
24．《九章算术》第七章“盈不足”：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六。
问：人数、鸡价各几何？
译释：几人凑钱买鸡，每人出9元，则多11元；每人出6元，则差16元。有几人？鸡的价格是多少元？
25．两地间的路程是792千米。一辆货车和一辆客车同时从两地开出，相向而行，经过4.8小时相遇。货车平均每小时行75千米，客车平均每小时行多少千米？（列方程解答）
26．客车和货车同时从相距500千米的甲乙两地相对开出，客车每小时行驶90千米，货车每小时行驶70千米，经过几小时后两车还有20千米才相遇？（列方程解答）
1．B
分析：设白鹭的数量是x只，野鸭的数量比白鹭的3倍少30只，即白鹭的只数×3－30＝野鸭的只数，野鸭只数有114只，列方程：3x－30＝114，据此分析，进行解答。
详解：设白鹭的数量是x只。则：
3x－30＝114
3x－114＝30
3x＝114＋30
汾河湿地公园的一段水域上生活有野鸭114只，比白鹭数量的3倍少30只。设白鹭的数量是x只，下列方程错误的是114－3x＝30。
故答案为：B
分析：解答本题的关键是根据题意，找清楚野鸭和白鹭数量之间的关系，进而解答。
2．A
分析：设他的脚长是x厘米，根据：码数＝厘米数×2－10，列方程：35＝x×2－10，解方程，即可解答。
详解：解：设他的脚长x厘米。
35＝x×2－10
2x－10＋10＝35＋10
2x＝45
2x÷2＝45÷2
x＝22.5
鞋的尺码常用“码”作单位，其换算方法是：码数＝厘米数×2－10，丁丁的鞋子是35码，那么他的脚长22.5厘米。
故答案为：A
分析：本题考查方程的实际应用，利用码数与厘米之间的关系，设出未知数，列方程，解方程即可。
3．B
分析：客车所行的路程＋货车所行的路程＝两地之间的距离，速度之和＝两地路程÷相遇时间，速度之和×相遇时间＝两地路程，由此分别列方程解答即可。
详解：根据分析可知，方程为：65×4＋4x＝480；65＋x＝480÷4；（65＋x）×4＝480。
甲乙两地间的铁路长480千米，客车和货车同时从两地相对开出，4小时相遇。已知客车每小时行65千米，货车每小时行x千米。不正确的方程是4x＝480－65。
故答案为：B
分析：本题考查相遇问题，利用速度、时间和路程三者的关系，列出方程，进行解答。
4．C
分析：设货车每小时行驶x千米；用货车速度＋客车速度，求出两车行驶的速度和，再乘行驶的时间，就是甲、乙两地的距离，据此解方程，解答。
详解：解：设货车每小时行驶x千米。
4（65＋x）＝480
4×（65＋x）÷4＝480÷4
65＋x＝120
x＝120－65
x＝55
甲、乙两地相距480千米，客车和货车同时从两地相对开出，经过4小时相遇。已知客车每小时行驶65千米，货车每小时行驶x千米，可列出方程为4（65＋x）＝480。
故答案为：C
分析：本题考查相遇问题，利用速度、时间、路程三者的关系，列方程解答。
5．A
分析：设于飞输入的数是x，根据于飞所设计的程序可列出方程3x＋6＝36，再根据等式的性质解方程即可求出于飞所输入的数。
详解：解：设于飞输入的数是x。
3x＋6＝36
3x＋6－6＝36－6
3x＝30
3x÷3＝30÷3
x＝10
所以于飞输入的数是10。
故答案为：A
分析：列方程解决问题时，把所求的未知数用x表示，未知数参与列式，把算术法的逆向思维转变成列方程的顺向思维来思考。
6．72
分析：先设第四天读了x页，通过每天读的页数列出方程式（80＋78＋70＋x）÷4求出前四天的平均数，在根据第四天的比平均数少3页列出方程式（80＋78＋70＋x）÷4＝x＋3，据此求出x。
详解：解：设第四天读了x页。
（80＋78＋70＋x）÷4＝x＋3
（228＋x）÷4＝x＋3
228＋x＝（x＋3）×4
228＋x＝4x＋12
228－12＝3x
3x＝216
x＝216÷3
x＝72（页）
因此第四天读了72页。
分析：本题需要列一个含有未知数的方程并求解。
7．16
分析：根据题意，先设张华做对了x题，那么他做错了（20－x）题。据此列出方程式为：5x－2×（20－x）＝72。解出x即可。
详解：解：设张华做对了x题，那么他做错了（20－x）题。
5x－2×（20－x）＝72
他做对了16题。
分析：此题考查了学生的列方程、解方程的能力。
8． 60 72
分析：根据题意，可以设徒弟每小时加工x个，则师傅每小时加工（x＋12）个，根据工作量＝工作时间×工作效率这一公式，可以列出等量关系式为：5×（x＋12）＋3x＝540。
详解：解：设徒弟每小时加工x个，则师傅每小时加工（x＋12）个。
5×（x＋12）＋3x＝540
5x＋60＋3x＝540
8x＋60＝540
8x＋60－60＝540－60
8x＝480
8x÷8＝480÷8
x＝60
师傅：60＋12＝72（个）
分析：此题考查了工作量、工作时间、工作效率三者之间的关系以及学生对列方程、解方程的熟练掌握程度，关键是要找到等量关系式。
9． 11 0.11
分析：设狼山风景区的占地面积约是x公顷。根据题意，狼山风景区的占地面积×11＋6＝啬园风景区的占地面积，据此列方程解答，求出狼山风景区的占地面积，再化成以平方千米为单位的数。把公顷换算成平方千米，要除以它们之间的进率100。
详解：解：设狼山风景区的占地面积约是x公顷。
11x＋6＝127
11x＝127－6
11x＝121
x＝121÷11
x＝11
11÷100＝0.11，则11公顷＝0.11平方千米。
则狼山风景区的占地面积约是11公顷，合0.11平方千米。
分析：本题考查了列方程解应用题和面积单位的换算。找出题中的等量关系式是列出方程的关键。
10．5
分析：设这样取放x次后，白子与黑子正好相等；每次取走4枚白子，x次取走4x枚，还剩下（80－4x）枚白子；每次放入2枚黑子，x次放入2x枚黑子，黑子的数量是（50＋2x）枚；白子与黑子正好相等，列方程：80－4x＝50＋2x，解方程，即可解答。
详解：解：设这样取放x次后，白子与黑子正好相等。
80－4x＝50＋2x
80－4x＋4x－50＝50－50＋2x＋4x
4x＋2x＝80－50
6x＝30
6x÷6＝30÷6
x＝5
盒子里有80枚白子和50枚黑子。每次取走4枚白子，同时放入2枚黑子，像这样取5次后，白子与黑子正好相等。
分析：本题考查方程的实际应用，利用取放次数相同，剩下的白子和黑子的枚数相同，设出未知数，找出相关的量，列方程，解方程。
11．3
分析：根据公式：单价×重量＝总价，用妈妈买的量×1千克白糖的单价＋找回的钱数＝付给售货员的钱数，据此即可列方程，再根据等式的性质解方程即可。
详解：5.6x＋33.2＝50
解：5.6x＋33.2－33.2＝50－33.2
5.6x＝16.8
5.6x÷5.6＝16.8÷5.6
x＝3
所以妈妈买了3千克白糖。
分析：本题主要考查列方程解题，找准等量关系是解题的关键。
12．×
分析：根据题意可知，男生人数×2－27＝女生人数，设男生人数为x，据此列方程解答即可。
详解：解：设男生人数为x
2x－27＝25
2x＝25＋27
2x＝52
x＝26
男生有26人，所以五年级二班的女生比男生少。故答案为：错误。
分析：此题的等量关系比较明显，用方程解答较简单。
13．×
分析：根据三角形的面积＝底×高÷2，据此列方程解答。
详解：10x÷2＝60
解：10x÷2×2＝60×2
10x＝120
10x÷10＝120÷10
x＝12
原题说法错误。
故答案为：×。
分析：本题考查的是等式的性质2：等式两边同时乘或除以同一个不是0的数，所得结果仍然是等式。并考察到三角形的面积＝底×高÷2。
14．×
分析：根据等式的性质1，将2x＋12＝27－3x左右两边同时加上3x，然后将左边合并为5x＋12＝27，再根据等式的性质1和2，将方程左右两边同时减去12，再同时除以5即可求出x的值；
根据乘法分配律，将9x－3（2x－2）＝6去掉括号，然后将左边合并为3x＋6＝6，再根据等式的性质1和2，将方程左右两边同时减去6，再同时除以3即可求出x的值。据此解答。
详解：2x＋12＝27－3x
解：2x＋12＋3x＝27－3x＋3x
5x＋12＝27
5x＋12－12＝27－12
5x＝15
5x÷5＝15÷5
x＝3
8x－3（2x－2）＝6
解：9x－（6x－6）＝6
9x－6x＋6＝6
3x＋6＝6
3x＋6－6＝6－6
3x＝0
3x÷3＝0÷3
x＝0
方程2x＋12＝27－3x与方程9x－3（2x－2）＝6的解不同；原题干说法错误。
故答案为：×
15．√
分析：根据题干可知水果超市上午运来75箱生梨，下午运来的箱数除以2，再加上25就和上午运来的一样多了，可以列式为：下午运来的箱数÷2＋25＝上午运来的箱数
详解：根据分析：
得出的等量关系是：下午运来的箱数÷2＋25＝上午运来的箱数。
所以题干的说法是正确的。
故答案为：√。
分析：解决本题的关键是找准等量关系式。
16．×
分析：鸡比鸭多20只，说明鸡多鸭少，多20只，以此判断。
详解：根据分析可知，“鸡比鸭多20只”可以想到“鸭的只数＋20＝鸡的只数”。
故答案为：×
分析：此题主要考查学生对题干中等量关系的理解分析能力。
17．x＝39.6；x＝25；x＝22.4
分析：（1）根据等式性质2，两边同时乘上5.5，再计算即可；
（2）先算出x－0.16x＝0.84x，再根据等式性质2，两边同时除以0.84，再计算即可；
（3）将方程转化成0.5x＝24－12.8，等号两边同时除以0.5，再计算即可；
详解：（1）x÷5.5＝7.2
解：x÷5.5＝7.2
x÷5.5×5.5＝7.2×5.5
x＝7.2×5.5
x＝39.6
（2）x－0.16x＝21
解：x－0.16x＝21
0.84x＝21
0.84x÷0.84＝21÷0.84
x＝21÷0.84
x＝25
（3）24－0.5x＝12.8
解：0.5x＝24－12.8
0.5x÷0.5＝11.2÷0.5
x＝11.2÷0.5
x＝22.4
18．3y－y＝72；y＝36
分析：根据题意可知，桃树有y棵，杏树是桃树的3倍，即杏树是3y棵，杏树比桃树多72棵，列方程：3y－y＝72，解方程，即可解答。
详解：3y－y＝72
解：2y＝72
2y÷2＝72÷2
y＝36
19．124元
分析：根据题意，篮球的价格＋乒乓球拍的价格＝296元，根据这个等量关系式列方程解答。
详解：解：x＋172＝296
x＋172－172＝296－172
x＝124
则足球的价格是124元。
20．72千米
分析：速度×时间＝路程，将乙车的速度设为未知数，从而表示出乙车的路程。根据“甲车路程－乙车路程＝42千米”列出方程解方程即可。
详解：解：设乙车每小时行x千米。
78×7－7x＝42
（78－x）×7＝42
（78－x）×7÷7＝42÷7
78－x＝6
x＝78－6
x＝72
答：乙车每小时行72千米。
21．35天
分析：根据题意可知A4纸的总张数一定，等量关系：实际平均每天用A4纸的张数×实际用的天数＝计划平均每天用A4纸的张数×计划用的天数，据此列出方程，并求解。
详解：解：设这些A4纸实际可用天。
（20－4）＝20×28
16＝560
16÷16＝560÷16
＝35
答：这些A4纸实际可用35天。
22．1.7米
分析：可设雄性中华鲟的体长为x米，根据数量关系：雌性中华鲟体长＝雄性中华鲟体长×2－1.1，据此列出方程，解答方程即可。
详解：解：设雄性中华鲟的体长是x米。
答：雄性中华鲟的体长是1.7米。
23．199.6米
分析：根据比徐州电视塔高度的2倍少133.2米，所以写出数量关系式是：电视塔的高度×2－133.2＝塔楼的高度，根据数量关系式列方程即可。
分析：解：设徐州电视塔高x米
答：徐州电视塔高199.6米。
详解：重点是能够根据题目中的关键信息写出数量关系式，根据数量关系式列出方程。
24．9人；70元
分析：根据题意可知，鸡的总价、总人数是不变的，总人数×9元－11元＝总人数×6元＋16元，设一共有x人，列方程为9x－11＝6x＋16，然后解出方程即可。
详解：解：设一共有x人。
9x－11＝6x＋16
9x－11＋11＝6x＋16＋11
9x＝6x＋27
9x－6x＝6x＋27－6x
3x＝27
3x÷3＝27÷3
x＝9
9×9－11
＝81－11
＝70（元）
答：有9人；鸡的价格是70元。
分析：本题主要考查了盈亏问题，可用列方程解决问题，找到相应的数量关系式是解答本题的关键。
25．90千米
分析：根据题意可知，货车的速度×相遇时间＋客车的速度×相遇时间＝路程和，设客车平均每小时行x千米，列方程为75×4.8＋4.8x＝792，然后解出方程即可。
详解：解：设客车平均每小时行x千米。
75×4.8＋4.8x＝792
360＋4.8x＝792
360＋4.8x－360＝792－360
4.8x＝432
4.8x÷4.8＝432÷4.8
x＝90
答：客车平均每小时行90千米。
分析：本题主要考查了列方程解决问题，找到相应的关系式是解答本题的关键。
26．3小时
分析：根据题意可知，客车的速度×行驶时间＋货车的速度×行驶时间＋20千米＝500千米，据此设经过x小时后两车还有20千米才相遇，列方程为90x＋70x＋20＝500，然后解出方程即可。
详解：解：设经过x小时后两车还有20千米才相遇。
90x＋70x＋20＝500
160x＋20＝500
160x＋20－20＝500－20
160x＝480
160x÷160＝480÷160
x＝3
答：经过3小时后两车还有20千米才相遇。
分析：本题主要考查了列方程解决问题，找到相应的关系式是解答本题的关键。

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