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1.5 用等式的性质二解方程
等式两边同时乘或除以同一个不是0的数，所得结果仍然是等式。
解形如ax=c(a≠0)或x÷a=c的方程。根据等式的性质（2），方程的两边要同时除以或乘a，即ax÷a=c÷a或x÷a×a=c×a ，得到x=c÷a或x=c×a 。
例1：一个直角三角形，一个锐角是另一个锐角的2倍，那么这个三角形的两个锐角分别是( )度和( )度。
答案： 30 60
分析：直角三角形的两个锐角的和是90度，那么将其中一个小锐角设为未知数，那么大一点的锐角是2x度。据此，列出方程求解即可。
详解：解：设另一个锐角是x度。
x＋2x＝90
3x＝90
3x÷3＝90÷3
x＝30
30×2＝60（度）
所以，那么这个三角形的两个锐角分别是30度和60度。
例2：若2x＝48和□＋x＝50.5中的x的值相等，则□中应填的数是( )。
答案：26.5
分析：根据等式的性质2，将2x＝48左右两边同时除以2，即可求出x的值，然后把x的值代入□＋x＝50.5，然后根据等式的性质1，将□＋x＝50.5左右两边同时减去x的值，即可求出□中应填的数。
详解：2x＝48
解：2x÷2＝48÷2
x＝24
□＋x＝50.5
解：□＋24＝50.5
□＋24－24＝50.5－24
□＝26.5
若2x＝48和□＋x＝50.5中的x的值相等，则□中应填的数是26.5。
例3：少先队员参加植树活动，六年级植树的棵数是五年级的1.5倍，五年级比六年级少植树24棵，六年级植树多少棵？（用方程解答）
答案：72棵
分析：将五年级植树数量设为x棵，那么六年级植树1.5x棵。再根据“六年级植树数量－五年级植树数量＝24棵”这一数量关系列方程解方程即可。
详解：解：设五年级植树x棵。
1.5x－x＝24
0.5x＝24
0.5x÷0.5＝24÷0.5
x＝48
48×1.5＝72（棵）
答：六年级植树72棵。
例4：同学们参观“抗震救灾英雄事迹展览”。五年级去的人数是四年级的1.2倍，四年级比五年级少去24人。两个年级各去了多少人？（列方程解答）
答案：四年级：120人；五年级：144人
分析：根据“五年级去的人数是四年级的1.2倍”可知，假设四年级的人数为x人，那么五年级的人数是1.2x人，再根据等量关系“五年级人数－四年级人数＝24人”，据此列方程解题即可。
详解：解：设四年级的人数为x人，则五年级的人数是1.2x人，可得，
1.2x－x＝24
0.2x＝24
0.2x÷0.2＝24÷0.2
x＝120
1.2×x
＝1.2×120
＝144（人）
答：四年级有120人，五年级有144人。
基础过关练
一、选择题
1．已知3x＝19，那么9x＝（ ）。
A．15 B．38 C．57 D．无法计算
2．x＝3是（ ）的解。
A．2x＋9＝15 B．4x＝1.2 C．3x÷3＝9 D．7x－2＝21
3．方程5－2x＝1的解与方程（ ）的解相同。
A．5x－1＝4 B．2x－5＝1 C．2x＝5＋1 D．2x＋1＝5
4．与方程3.4x＝10.2的解相同的方程是（ ）。
A．3x－4＝8 B．3x＝1.8 C．2x＋5＝11 D．18÷x＝3
5．由得，是根据（ ）。
A．加法结合律 B．乘法结合律 C．乘法分配律
二、填空题
6．2.37是x的3倍，求x是多少。根据题中的数量关系可列方程为( )，这个方程的解是x＝( )。
7．9kg盐平均装在x个瓶子里，每瓶装1.5kg。用方程表示是( )，方程的解是( )。
8．x＝5是25－mx＝15的解，则m＝( )，4m＋6＝( )。
9．如果2x＝3.6，y－x＝12，那么y＝( )。
10．含有( )的等式叫作方程，求方程的解的过程叫作( )。
三、判断题
11．方程与的解相同，则a等于18.2。( )
12．方程5x＝0，x的值为0，表示没有，所以方程没有解。( )
13．方程和方程的解是相同的。( )
14．如果，那么。( )
15．76.3x＝0，x＝0，所以76.3x＝0没有解。( )
培优提升练
四、计算题
16．解方程。
4x＋11x＝36 12.3＋15x＝57.6 4（x＋2.1）＝16
五、解答题
17．已知李明今年的年龄和他妈妈的年龄和是40岁，又知李明妈妈今年的年龄是他今年年龄的4倍，问妈妈和李明今年的年龄？（列方程）
18．古城小学图书室有1800本科技书和故事书，故事书的本数是科技书的3.5倍。图书室有故事书和科技书各多少本？（用方程解）
19．柏树和松树一共有6000棵，柏树的棵数是松树的1.5倍。两种树各有多少棵？（列方程）
20．果园里桃树和梨树一共有7200棵，桃树的棵数是梨树的2倍，两种树各有多少棵？（先画出线段图，最后列方程解答）
21．妈妈比小明大24岁，妈妈今年的年龄是小明的3倍，小明和妈妈今年分别是多少岁？（列方程解答）
22．培英小学五、六年级共有学生900人，其中五年级的学生人数是六年级学生人数的1.5倍，六年级有学生多少人？（列方程解答）
23．小红花了28元钱买了面额为6角和8角的邮票。两种邮票的数量相同，小红买的两种邮票各多少枚？（用方程解）
1．C
分析：根据等式的性质2，将3x＝19左右两边同时乘3即可求出9x的结果。
详解：3x＝19
解：3x×3＝19×3
9x＝57
已知3x＝19，那么9x＝57。
故答案为：C
2．A
分析：根据等式的性质解出各个选项方程即可。
详解：A．2x＋9＝15
解：2x＋9－9＝15－9
2x＝6
2x÷2＝6÷2
x＝3
x＝3是2x＋9＝15的解，符合题意。
B．4x＝1.2
解：4x÷4＝1.2÷4
x＝0.3
x＝3不是4x＝1.2的解，故不符合题意。
C．3x÷3＝9
解：3x÷3＝9
x＝9
x＝3不是3x÷3＝9的解，故不符合题意。
D．7x－2＝21
解：7x－2＋2＝21＋2
7x＝23
7x÷7＝23÷7
x＝
x＝3不是7x－2＝21的解，故不符合题意。
故答案为：A
3．D
分析：先根据等式的性质1和性质2分别求出5－2x＝1和四个选项中方程的解，再作比较找出相同的解。
详解：5－2x＝1
解：5－2x＋2x＝1＋2x
5＝1＋2x
5－1＝1＋2x－1
4＝2x
4÷2＝2x÷2
x＝2
A．5x－1＝4
解：5x－1＋1＝4＋1
5x＝5
5x÷5＝5÷5
x＝1
B．2x－5＝1
解：2x－5＋5＝1＋5
2x＝6
2x÷2＝6÷2
x＝3
C．2x＝5＋1
解：2x＝6
2x÷2＝6÷2
x＝3
D．2x＋1＝5
解：2x＋1－1＝5－1
2x＝4
2x÷2＝4÷2
x＝2
所以方程5－2x＝1的解与方程2x＋1＝5的解相同。
故答案为：D
4．C
分析：3.4x＝10.2，根据等式的性质2，两边同时÷3.4即可。
A．3x－4＝8，根据等式的性质1和2，两边同时＋4，再同时÷3即可；
B．3x＝1.8，根据等式的性质2，两边同时÷3即可；
C．2x＋5＝11，根据等式的性质1和2，两边同时－5，再同时÷2即可；
D．18÷x＝3，根据等式的性质2，两边同时×x，再同时÷3即可。
详解：3.4x＝10.2
解：3.4x÷3.4＝10.2÷3.4
x＝3
A．3x－4＝8
解：3x－4＋4＝8＋4
3x＝12
3x÷3＝12÷3
x＝4
B．3x＝1.8
解：3x÷3＝1.8÷3
x＝0.6
C．2x＋5＝11
解：2x＋5－5＝11－5
2x＝6
2x÷2＝6÷2
x＝3
D．18÷x＝3
解：18÷x×x＝3×x
3x＝18
3x÷3＝18÷3
x＝6
与方程3.4x＝10.2的解相同的方程是2x＋5＝11。
故答案为：C
5．C
分析：乘法交换律，两数相乘，交换因数的位置，积不变；乘法结合律，三个数相乘，先求前两个数或先求后两个数，积不变；乘法分配律，两个数的和与一个数相乘，可以把它们与这个数分别相乘，再相加。据此解答即可。
详解：
解：
即5x＋2x＝（5＋2）x＝7x，这是根据乘法分配律。
故答案为：C
分析：本题考查含有字母的式子的化简和求值，熟记乘法运算定律是解题的关键。
6． 3x＝2.37 0.79
分析：根据求一个数的几倍是多少，用乘法计算，据此可列方程：3x＝2.37，然后再根据等式的性质解方程即可。
详解：2.37是x的3倍，求x是多少。根据题中的数量关系可列方程为3x＝2.37；
3x＝2.37
解：3x÷3＝2.37÷3
x＝0.79
则这个方程的解是x＝0.79。
7． 1.5x＝9 x＝6
分析：根据乘法的意义，用每瓶装的盐的重量乘瓶子的个数即可求出盐的总重量，即可列方程为：1.5x＝9；再根据等式的性质，解方程即可。
详解：9kg盐平均装在x个瓶子里，每瓶装1.5kg。用方程表示是1.5x＝9
1.5x＝9
解：1.5x÷1.5＝9÷1.5
x＝6
则方程的解是x＝6。
分析：本题考查列方程和解方程，熟练运用等式的性质是解题的关键。
8． 2 14
分析：把x＝5代入25－mx＝15，根据等式的性质解出m的值，然后把m的值代入4m＋6解答即可。
详解：25－mx＝15
解：25－5m＝15
5m＝25－15
5m＝10
5m÷5＝10÷5
m＝2
把m＝2代入4m＋6计算。
4m＋6
＝4×2＋6
＝8＋6
＝14
x＝5是25－mx＝15的解，则m＝2，4m＋6＝14。
分析：本题主要考查了解方程以及含未知数式子的求值，掌握等式的性质是解答本题的关键。
9．13.8
分析：先根据等式的性质2解方程2x＝3.6，解得x＝1.8；再把x＝1.8代入y－x＝12，得到方程y－1.8＝12；最后根据等式的性质1解方程y－1.8＝12，解得y＝13.8。
详解：2x＝3.6
解：2x÷2＝3.6÷2
x＝1.8
把x＝1.8代入y－x＝12中，可得：
y－1.8＝12
解：y－1.8＋1.8＝12＋1.8
y＝13.8
所以y＝13.8。
分析：对于含有两个未知数的问题，可先求出其中一个隐含在已知条件中的未知数的值，再求出另一个未知数的值。
10． 未知数 解方程
详解：由方程的定义可知，根据等量关系列出的含有未知数的等式叫作方程，求方程的解的过程叫作解方程。
11．√
分析：根据等式的性质2，将左右两边同时乘8，即可求出x的值，因为方程与的解相同，则把x的值代入中，再根据等式的性质1和2进行解答即可。
详解：
解：
解：
a等于18.2，原题说法正确。
故答案为：√
分析：本题考查了解方程的方法，掌握相应的计算方法是解答本题的关键。
12．×
分析：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。题中方程5x＝0解方程，得到x ＝0就是方程5x＝0的解。
详解：5x＝0
解：5x÷5＝0÷5
x＝0
x＝0能使方程5x＝0左右两边相等，所以x＝0是方程5x＝0的解。原题干说法错误。
故答案为：×
分析：方程的解的意义是解题关键。使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
13．√
分析：对于方程，根据等式的性质1，方程左右两边同时加15，解出方程，求出方程的解；对于方程，根据等式的性质2，方程左右两边同时乘2，解出方程，求出方程的解；据此解答。
详解：
解：
解：
所以方程和方程的解是相同的。
故答案为：√
分析：此题主要考查方程的解，通过等式的性质解方程即可解决问题。
14．×
分析：等式的性质1：将方程左右两边同时加或同一个数，等式仍然成立；等式的性质2：将方程左右两边同时乘同一个数，或除以一个不为0的数，等式仍然成立。据此解答。
详解：如果，那么根据等式的性质2，将方程左右两边同时乘5，也就是，所以原题干说法错误。
故答案为：×
分析：本题主要考查了根据等式的性质2解方程。
15．×
分析：根据等式的性质2：将方程左右两边同时乘同一个数，或除以一个不为0的数，等式仍然成立。据此解出76.3x＝0，x＝0是76.3x＝0的解。据此解答。
详解：76.3x＝0
解：76.3x÷76.3＝0÷76.3
x＝0
所以x＝0是76.3x＝0的解。
故答案为：×
分析：本题考查了方程的解以及用等式的性质解方程。
16．x＝2.4；x＝3.02；x＝1.9
分析：4x＋11x＝36，先将左边合并成15x，根据等式的性质2，两边同时÷15即可；
12.3＋15x＝57.6，根据等式的性质1和2，两边同时－12.3，再同时÷15即可；
4（x＋2.1）＝16，根据等式的性质1和2，两边同时÷4，再同时－2.1即可。
详解：4x＋11x＝36
解：15x＝36
15x÷15＝36÷15
x＝2.4
12.3＋15x＝57.6
解：12.3＋15x－12.3＝57.6－12.3
15x＝45.3
15x÷15＝45.3÷15
x＝3.02
4（x＋2.1）＝16
解：4（x＋2.1）÷4＝16÷4
x＋2.1＝4
x＋2.1－2.1＝4－2.1
x＝1.9
17．32岁；8岁
分析：可以设李明今年的年龄为x岁，李明妈妈今年的年龄是他今年年龄的4倍则妈妈的年龄可以表示为4x岁，依据等量关系式：李明今年的岁数＋他妈妈今年的岁数＝40岁，列方程，解方程。
详解：解：设李明今年x岁，则他妈妈今年4x岁。
x＋4x＝40
5x＝40
x＝40÷5
x＝8
4×8＝32（岁）
答：李明妈妈今年32岁，李明今年8岁。
18．故事书1400本，科技书400本
分析：设科技书有x本，则故事书有3.5x本，根据等量关系：故事书的本数＋科技书的本数＝1800本，列方程解答即可。
详解：解：设科技书有x本。
3.5x＋x＝1800
4.5x＝1800
4.5x÷4.5＝1800÷4.5
x＝400
1800－400＝1400（本）
答：图书室有故事书1400本，科技书400本。
19．柏树3600棵；松树2400棵
分析：根据“柏树的棵数是松树的1.5倍”，可以设松树有棵，则柏树有1.5棵；
根据“柏树和松树一共有6000棵”可得出等量关系：松树的棵数＋柏树的棵数＝松树和柏树的总棵数，据此列出方程，并求解。
详解：解：设松树有棵，则柏树有1.5棵。
＋1.5＝6000
2.5＝6000
2.5÷2.5＝6000÷2.5
＝2400
柏树：6000－2400＝3600（棵）
答：柏树有3600棵，松树有2400棵。
20．梨树2400棵；桃树4800棵
分析：先画一条线段表示梨树的棵数，再在下方画这条线段的2倍长的线段表示桃树的棵数，并在线段图上标注信息和数据，完成线段图。
根据“桃树的棵数是梨树的2倍”，设梨树有棵，则桃树有2棵；
根据“桃树和梨树一共有7200棵”可得出等量关系：梨树的棵数＋桃树的棵数＝梨树与桃树的总棵数，据此列出方程，并求解。
详解：如图：
解：设梨树有棵，则桃树有2棵。
＋2＝7200
3＝7200
3÷3＝7200÷3
＝2400
桃树：2400×2＝4800（棵）
答：梨树有2400棵，桃树有4800棵。
21．小明12岁；妈妈36岁
分析：根据“妈妈今年的年龄是小明的3倍”，设小明今年是岁，则妈妈今年是3岁；
根据“妈妈比小明大24岁”可得出等量关系：妈妈今年的年龄－小明今年的年龄＝妈妈比小明大的年龄，据此列出方程，并求解。
详解：解：设小明今年是岁，则妈妈今年是3岁。
3－＝24
2＝24
2÷2＝24÷2
＝12
妈妈：12×3＝36（岁）
答：小明今年是12岁，妈妈今年是36岁。
分析：本题有两个未知数且有倍数关系，要设“是”后面的量为，找到另一个未知数与的关系，然后根据等量关系列出方程。
22．360人
分析：根据题意，将六年级学生人数设为x人，则五年级的学生人数可以表示为1.5x人，两个年级一共有学生900人，可以列出等量关系：六年级学生人数＋五年级的学生人数＝900人，据此列方程解答即可。
详解：解：设六年级学生有人，则五年级的学生有人。
答：六年级有学生360人。
分析：本题考查了简单的列方程解应用题，关键是找准等量关系，根据题中已知条件写出等量关系式即可。
23．20枚
分析：根据“两种邮票的数量相同”，设面额为6角和8角的邮票各有枚；
根据“花了28元钱”可得出等量关系：面额6角的邮票×枚数＋面额8角的邮票×枚数＝一共花的钱数；据此列出方程，并求解。
注意单位的换算：1元＝10角。
详解：28元＝280角
解：设面额为6角和8角的邮票各有枚。
6＋8＝280
14＝280
14÷14＝280÷14
＝20
答：小红买的两种邮票各20枚。
分析：本题考查列方程解决问题，从题目中找到等量关系，按等量关系列出方程。

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