资源简介

单元基本信息
学科 数学 学校 年级 高一
设计者 指导者 组内其他教师
课程标准模块 预备知识
使用教材版本 人民教育出版社普通高中教科书数学必修第一册
单元名称 第二章 第二单元 基本不等式
单元课时数 2课时
一、单元学习主题分析（体现学习主题的育人价值）
主题名称 基本不等式及基本不等式的应用
主题概述 相等关系与不等关系是数学中最基本的数量关系，是构建方程和不等式的基础.基本不等式是不等关系中一种特殊、重要且基本的表现形式，有多种有意义的变式，可以联系很多领域，在数学内外都有广泛的应用，是非常重要且基本的内容，它可以作为不等式理论的基本定理，成为支撑其他许多重要结果的基石，是解决许多最值问题的工具. 基本不等式的结构特点是： 当a>0，b>0时，有 当且仅当a=b时等号成立.从运算角度来看， 是两个正数a、b的“算术平均数”， 是两个正数a、b的“几何平均数”，基本不等式刻画了两个正数在运算中出现的大小关系的变化规律，是“运算中的不变性和规律性”，是不等式性质的一个特例.从代数角度来看，基本不等式在完全平方公式 的基础上进行代数变形而成，正好也体现了代数学中数系结构和各种公式的构造特点(逐步归纳、复合构造)，学生从中体会到构造新公式的手段和方法.从几何角度来看，基本不等式刻画了“周长相等的矩形中，正方形的面积最大”“等圆中，弦长不大于直径”等现象，它们既是基本不等式在几何基本图形中的体现，也是基本不等式的直观解释. 从基本不等式的应用角度来看，基本不等式描述的是二元算术平均数和几何平均数的关系，它可以推广为n个正数的算术平均数与几何平均数的关系.基本不等式不但是描述不等关系的一个公式，更是一个可以求解最值的数学模型，应用时“一正、二定、三相等”虽是解题的套路，但更多渗透模型的理解和识别，在这过程中涉及变与不变、变量与常量、转化与化归等，对学生的数学运算、逻辑推理、数学建模等素养的发展提供了了很好的土壤。
主题学情分析 学生在认知上已经具备了对不等式的性质、重要不等式以及圆的基础知识的了解，对于基本不等式的证明也有了一定解决问题的能力，对几何解释也比较好理解，有了这些基础，学生学习本节内容还是比较有兴趣的，对于这节课学生可能存在的的认知障碍一个是对最值的概念的理解；另外一个可能是取等条件的理解。 本章内容属于高中数学课程的预备知识部分，将帮助学生完成初高中数学学习的过渡，为学生整个高中阶段的数学学习提供学习心理、学习方式、知识技能等方面的准备。通过对不等关系的认识和一元二次不等式的学习，一方面，对不等式的理解达到了一定的高度；另一方面，初步养成了从数和形两方面来分析和认识同一数学对象的习惯，这都有助于基本不等式的学习。 学生在第一节已经学习过基本不等式证明方法及利用基本不等式求简单的函数最值，第二节在此基础上加强形式的变形以及实际问题的解决 在学习过程中可能存在的认知障碍：一、在利用基本不等式求解最值时对式子变形；二、审题（实际意义）
开放性学习环境 由于基本不等式几何解释的探究比较抽象，可借助信息技术，演示基本不等式的动态模型，展示“不等”到“相等”的转化过程，帮助学生直观理解基本不等式；借助师生交互平台及时交流想法和结果，及时进行评价分析；等等.
二、单元学习目标设计（基于标准、分析教材、结合学情，体现素养导向）
单元学习目标 (1)理解基本不等式，发展逻辑推理素养. (2)结合具体实例，用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.发展数学运算和数学建模素养.
三、学习活动/任务设计（指向学习目标，强调学生的活动与体验）
第1课时 活动1 复习回顾：重要不等式 学生回答问题 设计意图：巩固重要不等式的内容，为之后基本不等式的学习证明奠定基础
第1课时 活动2 a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 如果a＞0，b＞0，我们用， 分别代替上式中的a，b，可以得到什么？ 学生活动：学生得出基本不等式 设计意图：通过探究，引导学生发现生活中的相等关系与不等关系，并能用数学式子表示出基本不等式的形式，提高学生用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力。
第1课时 活动3 证明基本不等式 学生活动：作差法与分析法证明 设计意图：利用提问法和引导法引导学生进行问题的思考并进一步的讨论，体现了教师的主导性作用，学生采用小组讨论和自主探究等多种学习方法，进行问题的探究，提高了学生之间的合作交流意识，这也是体现学生主体性作用的一种重要学习方法。
第1课时 活动4 探究基本不等式的几何意义 学生活动：该证明如若学生无法独立完成教师要辅助引导完成 设计意图：通过几何图形，直观地认识基本不等式，符合数学认识的基本规律，从感性到理性，从直观，到理论。
第1课时 活动4 习题练习 例1、已知，求x+的最小值. 学生活动：学生展示练习 设计意图：让学生体会什么是最值（最小值），通过具体问题把握利用基本不等式求最值的条件（一正二定三相等）
第2课时 活动1 复习回顾基本不等式 学生活动：回答基本不等式及其使用条件 设计意图：回顾新知，对基本不等式的形式加强记忆以及对其使用条件的熟悉，初步了解解决问题的思路和方向.
第2课时 活动2 作业讲解 5、把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？ 6、把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？ 学生活动：作业讲解时向学生提问他们有困惑的地方以及为什么困惑，引导学生解决困惑. 设计意图：通过讲解作业及时解决学生学习过程中的困惑，为接下来的学习创造更好的条件.
第2课时 活动3 实际应用 例3(1）用篱笆围一个面积为100 m ？的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ （2）用一段长为36 m 的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 例4：某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800 m ，深为3 m ．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？ 水池的总造价和什么有关？ 怎样设未知量，得到水池的总造价 此问题可以用基本不等式的数学模型求解吗？为什么？ 学生活动：分析问题尝试解决 设计意图：通过本例的教学，可以帮助 学生理解如何用基本不等式模型解决实际最值问题，进一步加强学生的逻辑思维能力．培养学生从较为复杂的实际问题情境中抽象出数学问题，并将能将问题转化为所掌握的基不等式模型求解，体会解决实际问题的方法，形成解决问题的一般思路，提升学生数学建模的素养．
第2课时 活动4 习题练习 1、一家货物公司计划租地建造仓库储存货物经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离x（单位： km ）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与x成正比；若在距离车站10 km 处建仓库，则 和 分别为2万元和8万元。这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？ 学生活动：独立解决黑板展示 设计意图：考察了学生独立完成利用基本不等式数学模型解决实际应用问题的能力检验学生的学习情况
四、单元学习评价设计（教师或同伴对学生的评价，指向学习目标的达成） （备注：方案1、方案2选择其一）
评价要素 方案2：针对单元整体描述
评价内容 学习目标评价：理解基本不等式，学生会用做差比较法、综合法、分析法证明基本不等式；会正确地运用基本不等式解决一些简单的最值问题，能够利用基本不等式求函数或代数式的最值；通过实例，掌握基本不等式及应用，会利用基本不等式求解实际问题中的最值。
评价指标 1.能将重要不等式 a +b ≥2ab 进行变形获得基本不等式；知道基本不等式的结构特点，其实质就是“两个正数的算术平均数与几何平均数的关系”；会用不等式的性质采用“分析法”的证明思路和“综合法”的表达形式对其证明；能借助“圆中弦长与直径的关系”的几何模型进行几何解释. 2.能通过具体实例，把基本不等式作为公式，归纳出其使用条件和注意事项，把基本不等式作为-种数学模型，理解和识别实际问题并求其最大值或最小值.在实际问题的解决过程中，感受基本不等式的作用和力量，发展逻辑推理、数学运算、数学建模等素养.
评价方法 1.设计小组课堂学习评价量化表，评价学生课堂具体表现。 2.设计课时目标评价检测单，以此来检测堂课的目标完成情况。 3.以实际学情为标准设计单元目标评价检测单，检测单元达标情况。 4.结合单元检测和课时作业构成完整性的评价体系．要定时进行单元测试，收集分析数据。 5.定期进行学习问卷调查。
赋值方法 小组课堂学习评价量化表。 2.学习评价测试卷模板 单元目标评价检测单 一、选择题(本题每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1,2,3,4,5，6，7，8题目略 二、填空题(本题每小题5分，共20分，把答案填在横线上) 9,10,11,12题目略 三、解答题(本题共4小题，共40分) 13,14,15,16题目略 四、评价表 列出每题所考查知识点并说明掌握情况 题号知识点掌握程度 纠 错12345678910教 师 评 语
3.学习评价作业模板 课时目标评价检测单 一、作业要求:_____________________________________________ _____________________________________________ 二、作业题目设置同上（略） 三、评价表表格设置同上(略) 4.调查问卷及其的计算机统计图表(项目百分比、柱状图、饼图；成绩折线图等) 调查问卷例1 年级 ______ 班级 ______ 姓名________ 时间 _______ 1、你喜欢数学这门学科吗？ （ ）喜欢 （ ）不喜欢 （ ）无所谓
2、数学课你是怎样课前准备的？ （ ）不预习 （ ）课前粗略预习 （ ）课前自主学习掌握基本知识点，
3、你总是觉得听懂了老师的讲课，自己做却总是做不出来。 （ ）完全符合 （ ） 基本符合 （ ） 完全不符合
4、你在课堂上的学习习惯是：
（ ）积极参与，很乐意举手发言。
（ ）能够独立思考，但在没有把握的情况下，不发言。
（ ）听老师讲，听同学答，不独立思考，不喜欢回答问题。
5、数学课课后你是怎样学习的？ （ ）只完成老师布置的作业 （ ）梳理知识点并巩固练习 （ ）自我反思确保理解掌握每一个知识点 6、对学习数学其它方面的感受 _________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________
五、单元作业设计
一、单选题 1．已知m＝（a＞0），n＝x+1（x＜0），则m、n之间的大小关系是（　　） A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．m≤n 2．已知，，，则的最小值是（ ） A．6 B．8 C． D． 3．若实数，满足，则的最大值是（ ）． A． B． C． D． 4．已知，二次函数有且仅有一个零点，则的最小值为 A．1 B． C． D． 5．已知，，且，若不等式恒成立，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C．或 D．或 6．已知正数x，y满足，则取得最小值时（ ） A． B． C．1 D． 二、多选题 7．已知,则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 8．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 三、填空题 9．设，若不等式对于所有满足题设的，，均成立，则实数的最大值是 ． 10．圆锥的母线与底面所成角为，高为.则过圆锥顶点的平面截圆锥所得截面面积的最大值为 ； 11．用17列货车将一批货物从A市以的速度匀速行驶直达B市.已知A、B两市间铁路线长，为了确保安全，每列货车之间的距离不得小于,则这批货物全部运到B市最快需要________,此时货车的速度是________. 12．已知正数x，y满足，则的最大值为 ． 四、解答题 13．2018年是中国改革开放40周年，改革开放40年来，从开启新时期到跨入新世纪，从站上新起点到进入新时代，我们党引领人民绘就了一幅波澜壮阔，气势恢宏的历史画卷，谱写了一曲感天动地、气壮山河的奋斗赞歌.40年来，我们始终坚持保护环境和节约资源坚持推进生态文明建设某市政府也越来越重视生态系统的重建和维护.若已知该市财政下拨了100（百万元）专款，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态受益可表示为投放资金x（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：.处理污染项目五年内带来的生态受益可表示为投放资金x（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：. （1）设分配给植绿护绿项目的资金为x（单位：百万元），则两个生态维护项目五年内带来的收益总和为y（单位：百万元），写出y关于x的关系式； （2）生态项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代、利在千秋，试求出y的最大值，并求出此时对两个生态维护项目的投资分别为多少百万元. 14．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站10km处建仓库，则与分别为2万元和8.2万元．记两项费用之和为． (1)求关于的解析式； (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？求出最小值． 15．设,求函数的最大值. 16．甲、乙同学分别解“已知，若，求的最小值”的过程如下： 甲：由基本不等式得，因为，故有，即有，又，故； 乙：因为，有，. 同学们，请通过思考用合适的方法求解下题： 已知，，若 求的最小值.
六、反思性教学改进（实施后填写）
基本不等式的应用其实质是数学模型的应用，是基本不等式作为工具优越性的体现，但又与方程模型不一样，由于是不等关系，学生认知水平的限制，达不到熟练掌握的程度，是学习的痛点．教学中用好教材的4个典例，引导学生用基本不等式模型去理解和识别问题中的数量关系，时刻留意基本不等式的使用条件和注意事项，控制难度，逐步培养学生用数学模型解决问题的能力．
七、单元教学结构图
(
定义
) (
证明方法
) (
数学抽象
数学建模
直观想象
（
1课时
）
) (
基本不等式
（
2
课时）
) (
几何解释
) (
应用（
1
课时）
数学建模
数学运算
)

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