资源简介

1.4事件之间的关系与运算
(
教学目标
)
1．从实例出发，类比集合的关系和运算，引导学生从多个角度认识事件之间的关系和运算；提升学生的数学逻辑推理素养．
2．了解如何用概率来描述事件之间的关系，渗透概率的公理化定义．
3．发现生活中的数学知识，进一步提升学生的数学运算素养．
(
教学重难点
)
教学重点：事件的互斥和对立．
教学难点：从多个角度理解事件之间的关系和运算．
(
课前准备
)
PPT课件．
(
教学过程
)
一、整体概览
问题1：阅读课本，回答下列问题：
（1）本节将要研究哪类问题？
（2）本节要研究的问题在数学中的地位是怎样的？
师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结本节的内容．
预设的答案：（1）本节课要学的内容是事件之间的关系与运算，（2）本节内容是本章第二部分概率的第二节内容，由于样本空间和事件都是集合，因此事件之间的关系与运算本质上就是集合之间的关系与运算，正因为如此，教材借助维恩图等呈现了有关内容，但是为了避免学生简单地认为这里的内容只是集合内容的重现，教材在讨论事件之间的关系和运算时，同时给出了它们发生的概率之间的联系。这样做的目的是为了渗透概率的公理化定义，为后续学习打下基础。
设计意图：通过本节课内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．
二、探索新知
1、问题导入
某班数学建模课分成5个小组（编号为1，2，3，4，5）采用合作学习的方式进行，课堂上教师会随机选择一个小组的成果进行展示．这一试验的样本空间可记为＝{1，2，3，4，5}，
记事件E＝{1}，F＝{1，2}，G＝{1，3}，H＝{1，2，3}，I＝{4，5}．
问题1：说出每一事件的实际意义，并尝试理解上述各事件之间的关系．
师生活动：学生自主研究，得出结论。教师给出答案。
预设的答案：事件E发生，则事件F一定发生；事件H与事件I不能同时发生；……
问题2：上节课我们理解了在事件与集合之间的对应关系，类比集合之间的关系和运算，描述上述事件之间的关系．
师生活动：学生自主研究，得出结论。教师给出答案，并引导学生进一步思考本节要讲到的知识。
预设的答案：，，，……
2、形成定义
问题3：如何从多个角度来理解事件的包含关系？
师生活动：小组讨论，从多个角度理解事件的包含关系。
预设的答案：（1）从事件发生的角度看，意味着如果事件A发生，则事件B一定发生；
（2）从包含的样本点的角度看，意味着A的每一个样本点都是B的样本点；
（3）从逻辑的角度看，意味着A发生是B发生的充分条件，B发生是A发生的必要条件；
（4）从维恩图的角度看，意味着表示A的图形在表示B的图形的内部或相等，如图所示：
（5）从发生的概率大小的角度看，意味着P（A）≤P（B）．
教师讲解：
事件的包含：一般地，如果事件A发生时，事件B一定发生，则称“A包含于B”（或“B包含A”）记作AB（或BA）．
事件的相等：如果事件A发生时，事件B一定发生；而且事件B发生时，事件A也一定发生，则称“A与B相等”，记作．
A＝B也可用充分必要的语言表述为：A发生是B发生的充要条件．
显然，当A＝B时，P（A）＝P（B）．
问题5：请你举一些实例，来理解事件的包含与相等的关系．
师生活动：（学生举例，分组讨论，一起判断，教师点评．）
预设的答案：（1）先后抛两枚硬币，如果A表示“恰好有一枚硬币出现正面”，B表示“两枚硬币都出现正面”，C表示“至少有一枚硬币出现正面”，D表示“两枚硬币都没有出现反面”，则，，．
（2）已知某产品是否合格包括长度、直径两个指标，如果A表示“长度不合格”，B表示“产品不合格”，则；
设计意图：事件之间的关系与运算本质上就是集合之间的关系与运算，因此，借助实例帮助学生理解抽象概念，并且用类比的学习方法，为学生后续学习打下基础。
2．事件的和（并）
教师讲解：
定义：给定事件A，B，由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和（或并），记作（或）．
多个角度理解事件的和（并）：
事件A与B的和可以用如图所示的阴影部分表示：
事件A＋B发生时，当且仅当事件A与事件B中至少有一个发生，即：
有三种情况，即事件A发生且事件B不发生，事件A不发生且事件B生，事件A和事件B同时发生；
另外，从事件包含关系的角度，，，
因此P（A）≤P（A＋B）且P（B）≤P（A＋B），
而且，直观上可知P（A＋B）与P（A）＋P（B）的大小关系为：P（A＋B）≤P（A）＋P（B）．
3．事件的积（交）
问题6：您能否根据事件的并（和），定义事件的积（交）？
师生活动：学生根据事件的并（和）的定义，尝试给出事件的积（交）的定义，老师总结讲解。
预设的答案：给定事件A，B，由A与B中的公共样本点组成的事件称为A与B的积（或交），记作AB（或A∩B）
问题7：请你举实例，并且根据事件的并（和）的多角度理解来从多个角度理解事件的积（交），讨论事件AB与事件A＋B之间的关系？
师生活动：学生自己思考，并给出自己的答案，教师总结讲解。
预设的答案：（1）前述情境与问题中，E＝FG．
（2）事件A与B的积可以用如图所示的阴影部分表示：
事件AB发生时，当且仅当事件A与事件B都发生；
而且，直观上可知：P（AB）≤P（A），P（AB）≤P（B）
（3）事件AB发生是事件A＋B发生的充分条件，事件B发生也是事件A＋B发生的充分条件；
事件AB发生的充要条件是事件A和事件B都发生，事件AB发生是事件A发生的充分条件，事件AB发生也是事件B发生的充分条件．
问题8：类比前面的情况，得出与的大小关系，以及与的大小关系？
师生活动：学生自己研究并给出答案，教师讲解。
预设的答案：；
设计意图：事件之间的关系与运算本质上就是集合之间的关系与运算，因此，从集合的角度、包含样本点的角度、逻辑的角度等方面多角度理解事件的包含关系，同时讨论它们发生的概率之间的联系，为后续事件的运算打下方法的基础。
问题9：在情境与问题中，事件E与I不能同时发生，这两个事件叫做互斥的，从集合的角度看，它们具有什么关系？
师生活动：学生自己研究并给出答案，教师讲解。
预设的答案：
定义：给定事件A，B，若事件A与B不能发生，则称A与B互斥，记作AB＝（或A∩B＝）．
这一关系可用下图表示：
追问：任意两个基本事件互斥吗？与任意事件互斥吗？如果两个事件互斥，它们和事件的概率有什么性质？
预设的答案：任意两个基本事件都互斥；
与任意事件互斥；
从集合的角度来看，事件A与B互斥，就意味着它们没有公共元素．
直观上可以看出，如果事件A与B互斥，则；当A与B互斥时，有P（A＋B）＝P（A）＋P（B），这称为互斥事件的概率加法公式．
推广：一般地，如果是两两互斥的事件，则
设计意图：通过具体实例，，让学生充分理解事件的互斥与对立，并按照上面概念的讲解继续从多角度来理解事件的互斥与对立。继续加强利用集合的关系和运算，巩固所学知识。
问题10：前述情境与问题中，互斥的事件除了E与I，还有：F与I，G与I，H与I．
其中H与I除了具有互斥关系，从多种角度来理解还具有什么特殊性？
师生活动：学生自己研究并给出答案，教师讲解。
预设的答案：它们的并集为全集……
教师讲解：定义：给定样本空间与事件A，则由中所有不属于A的样本点组成的事件称为A的对立事件，记作，A与称作相互对立．
从集合的观点来看，是A在中的补集，可用韦恩图表示，如图：
每次随机试验，在事件A与中，有一个发生，而且只有一个发生．
由互斥事件的概率加法公式推导出对立事件的概率和为1，
即1＝P（）＝P（A＋）＝P（A）＋P（）
问题11：举实例，指出试验中的互斥事件和对立事件，试用自己的语言总结出它们之间的关系，并举例说明．
师生活动：学生自己研究并给出答案，教师点评，给出预设答案。
预设的答案：（1）抛一枚硬币时，“正面向上”和“反面向上”为互斥事件；投篮时，“投中”和“未投中”为互斥事件；掷一个骰子时，“出现1点”和“出现偶数点”为互斥事件．
（2）如果A与B相互对立，则A与B互斥，但反之不成立，即
“A与B相互对立”是“A与B互斥”的充分不必要条件
设计意图：事件的互斥和对立是本节的重点，讲解时需要引导学生从不同的角度来理解定义，同时通过学生列举生活中的实例，加深对定义的理解和对互斥事件与对立事件的比较区别。
教师讲解：前面实际上我们给出了事件的三种运算：求两个事件的和，求两个事件的积，求一个事件的对立事件．因为事件运算的结果仍是事件，因此可以进行事件的混合运算．
例如，表示与的和，实际意义是：A发生且B不发生，或者A不发生且B发生，换句话说就是A与B中恰有一个发生．
同数的加、减、乘、除混合运算一样，事件的混合运算也有优先级．
我们规定：求积运算的优先级高于求和运算，因此可简写为．
三、初步应用
例1 设A，B为两个事件，试用A，B表示下列各事件：
（1）A，B两个事件中至少有一个发生；
（2）A事件发生且B事件不发生；
（3）A，B两个事件都不发生．
师生活动：学生分析解题思路，给出答案．
预设的答案：解：（1）按照定义有A＋B．
（2）因为B不发生可以表示为，因此可以写成．
（3）按照定义有．
练习：设A，B，C表示三个随机事件，请将下列事件用A，B，C表示出来：
（1）A发生，B，C不发生；
（2）A，B都发生，C不发生；
（3）三个事件都发生；
（4）三个事件至少有一个发生；
（5）三个事件都不发生；
（6）不多于一个事件发生．
预设的答案：解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
设计意图：通过对例题1的讲练，培养学生的自然语言与符号语言的转换能力。
例2 已知数学考试中，李明成绩高于90分的概率为0.3，不低于60分且不高于90分的概率为0.5，求：
李明成绩不低于60分的概率；
李明成绩低于60分的概率．
师生活动：学生分析解题思路，给出答案．
预设的答案：解：记事件A：李明成绩高于90分，B：李明成绩不低于60分且不高于90分，则不难看出A与B互斥，且P（A）＝0.3，P（B）＝0.5．
（1）因为“李明成绩不低于60分”可表示为A＋B，由A与B互斥可知P（A＋B）＝P（A）＋P（B）＝0.3＋0.5＝0.8．
（2）因为“李明成绩低于60分”可表示为，因此
设计意图：通过对例题1的讲练，培养学生利用数学知识解决实际问题的能力，提升学生的数学运算素养。
四、归纳小结，布置作业
问题12：（1）如何理解事件A包含事件B？事件A与事件B相等？
（2）什么叫做并事件？什么叫做交事件？
（3）什么叫做互斥事件？什么叫做对立事件？互斥事件与对立事件的联系与区别是什么？
师生活动：学生尝试总结，老师适当补充．
预设的答案：（1）一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A（或事件A包含于事件B）；如果事件A发生时，事件B一定发生；而且事件B发生时，事件A也一定发生，则称“A与B相等”，记作．
（2）给定事件A，B，由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和（或并）；给定事件A，B，由A与B中的公共样本点组成的事件称为A与B的积（或交）
（3）给定事件A，B，若事件A，B不能同时发生，则称A与B互斥；给定样本空间Ω与事件A，由Ω中所有不属于A的样本点组成的事件称为A的对立事件记为A；
①区别：两个事件A与B是互斥事件，包括如下三种情况：（ⅰ）若事件A发生，则事件B就不发生；（ⅱ）若事件B发生，则事件A不发生；（ⅲ）事件A，B都不发生．
而两个事件A，B是对立事件，仅有前两种情况，因此事件A与B是对立事件，则A＋B是必然事件，但若A与B是互斥事件，则A＋B不一定是必然事件，亦即事件A的对立事件只有一个，而事件A的互斥事件可以有多个．
②联系：互斥事件和对立事件在一次试验中都不可能同时发生，而事件对立是互斥的特殊情况，即对立必互斥，但互斥不一定对立．
五、目标检测设计
1．打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，其中i＝0，1，2，3．那么A＝A1＋A2＋A3表示（　　）
A．全部击中　　　　　　　　　　B．至少击中1发
C．至少击中2发　　　　　　　　D．以上均不正确
设计意图：考查学生对事件的和的计算．
2．把红、黑、白3张纸牌随机地分给甲、乙、丙3个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（　　）
A．对立事件　　　　　　　　　　B．两个不可能事件
C．互斥但不对立事件　　　　　　D．两个概率不相等的事件
设计意图：考查学生对互斥事件、对立事件的理解。
3．甲、乙2人下棋，下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则甲获胜的概率是（　　）
A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．
设计意图：考查学生对和事件的计算。
4．若事件A和B是互斥事件，且P（A）＝0.1，则P（B）的取值范围是（　　）
A．[0，0.9] 　　　　B．[0.1，0.9]　　　　C．（0，0.9]　　　　D．[0，1]
设计意图：考查学生对互斥事件的理解。
参考答案：
1．选B．A1＋A2＋A3所表示的含义是A1，A2，A3这三个事件中至少有一个发生，即可能击中1发、2发或3发，故选B
2．选C．把红、黑、白3张纸牌随机地分给甲、乙、丙三个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不能同时发生，但能同时不发生，所以事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是互斥但不对立事件．故选C．
3．选C．因为甲不胜的概率是两个人和棋或乙获胜，故甲胜的概率为1－＝．故选C．
4．选A．由于成绩为A的有23人，故抽到C的概率为1－－0.4＝0.14．故选A．

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