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2.4 圆锥的体积
等底等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积等于圆锥体积的3倍,圆锥的体积等于圆柱体积的。
圆锥的体积=底面积×高×
用字母表示：V=Sh
例1：一个圆柱和一个圆锥等底等高，圆锥的体积比圆柱少12立方厘米，圆柱的体积是（ ）立方厘米。
A．6 B．12 C．18 D．24
答案：C
分析：等底等高的圆柱体和圆锥体，圆柱体的体积是圆锥体的3倍，根据题意，圆锥的体积比圆柱少12立方厘米，即圆柱和圆锥的体积相差12立方厘米，由此设圆锥体的体积为x立方厘米，则圆柱体的体积为3x立方厘米，圆柱和圆锥体积相差12立方厘米，列方程：3x－x＝12，解方程，即可解答。
详解：解：设圆锥的体积是x立方厘米，则圆柱的体积是3x立方厘米。
3x－x＝12
2x＝12
x＝12÷2
x＝6
6×3＝18（立方厘米）
一个圆柱和一个圆锥等底等高，圆锥的体积比圆柱少12立方厘米，圆柱的体积是18立方厘米。
例2：如图容器中装了一些水（水面在水位线处），将这个容器倒过来后，水面的高度是多少厘米？（ ）
A．24 B．18 C．14 D．10
答案：C
分析：先利用圆柱和圆锥的体积公式求出水的体积，又因水的体积是不变，用水的体积除以容器的底面积，问题即可得解。
详解：解：设圆柱的底面半径为r，
则水的体积为：
r2×（30－24）＋×r2×24
＝r2×6＋r2×8
＝6r2＋8r2
＝14r2（立方厘米）
水的高度：14r2÷r2＝14（厘米）
水面到底部的高度是14厘米。
故答案为：C
例3：一个圆锥的体积是36立方厘米，底面积是18平方厘米，这个圆锥的高是( )厘米。
答案：6
分析：根据圆锥的高＝体积×3÷底面积，列式计算即可。
详解：36×3÷18＝6（厘米）
这个圆锥的高是6厘米。
例4：一个圆锥体的高是2dm，底面半径是3dm，底面积是( )dm2，体积是( )dm3，与它等底等高的圆柱的表面积是( )dm2。
答案： 28.26 18.84 94.2
分析：根据圆的面积公式：S＝πr2，据此求出圆锥的底面积；根据圆锥的体积公式：V＝Sh，据此可求出圆锥的体积；根据圆柱的表面积公式：S＝2πr2＋πdh，据此求出与圆锥等底等高的圆柱的表面积是多少。
详解：3.14×32
＝3.14×9
＝28.26（dm2）
×28.26×2
＝9.42×2
＝18.84（dm3）
2×3.14×32＋3.14×（3×2）×2
＝2×3.14×9＋3.14×6×2
＝56.52＋37.68
＝94.2（dm2）
则一个圆锥体的高是2dm，底面半径是3dm，底面积是28.26dm2，体积是18.84dm3，与它等底等高的圆柱的表面积是94.2dm2。
基础过关练
一、选择题
1．下面容器的底面积相等，水的深度也相等。分别把10克糖放入这四个容器中搅拌溶解，（ ）容器中的糖水最甜。
A． B． C． D．
2．如果一个圆锥的底面半径扩大为原来的3倍，高扩大为原来的2倍，体积扩大到原来的（ ）倍。
A．6 B．12 C．18 D．36
3．一个圆锥的体积是75.36立方分米，底面半径是4分米，这个圆锥的高是（ ）分米。
A． B． C．24 D．72
4．一个圆柱与一个圆锥的底面积相等，体积的比是1∶1，圆柱和圆锥的高的比是（ ）。
A．1∶1 B．3∶1 C．1∶3 D．无法确定
5．把一个圆柱形木料削成一个最大的圆锥，体积减少了，原来这个圆柱的底面积是，削成的圆锥的高是（ ）cm。
A．18 B．9 C．12 D．6
二、填空题
6．一个直角三角形三边的长度分别是6cm，8cm，10cm，分别以两条直角边为轴，旋转一周，得到两个形状不同的立体图形，这两个立体图形的体积分别是( )立方厘米和( )立方厘米（结果保留）。
7．一个圆柱的底面直径是4厘米，高是6分米，它的体积是( )立方厘米；把它削成最大的圆锥，则削去部分的体积是( )立方厘米。
8．一个底面半径是3厘米，高是4厘米的圆柱形铁块的体积是( )立方厘米，现在将它铸造成了一个体积相等的圆锥形零件，圆锥的底面半径是3厘米，那它的高是( )厘米。
9．把如下图所示的直角三角形以任意一条直角边所在的直线为轴旋转一周，得到的立体图形是( )，它的体积最大是( )cm3。
10．一个圆锥形橡皮泥，底面积是12cm2，高是9cm。如果把它捏成同样底面大小的圆柱，这个圆柱的高是( )cm；如果把它捏成同样高的圆柱，这个圆柱的底面积是( )cm2。
三、判断题
11．一个圆锥的体积是12立方厘米，底面积是3平方厘米，高是4平方厘米。( )
12．两个圆锥的底面半径的比是1∶2，高的比也是1∶2，它们的体积比是1∶4。( )
13．一个圆柱与一个圆锥等底等高，它们的体积和是48立方米，那么圆锥的体积是12立方米。( )
14．圆锥体积与圆柱体积的比1∶3，那么圆锥和圆柱一定等底等高。( )
15．一个圆锥的底面半径扩大3倍，高也扩大3倍，那么它的体积就扩大9倍。( )
培优检测练
四、计算题
16．计算下面圆柱的表面积及圆锥的体积。
五、解答题
17．一个数学实验小组的4位同学进行数学实验。
丁丁：下图的圆锥形玻璃容器，从里面量底面半径为2厘米，高是6厘米。
东东：我用沙装满这个圆锥形玻璃容器。
西西：下图的长方体玻璃容器，从里面量长是8厘米，宽是6厘米，高是10厘米，我已在这个长方体容器中装了沙，沙的厚度为7厘米。
星星：把东东装的沙全部倒入这个长方体玻璃容器中。
根据他们的实验解决下列问题。（计算时值取3）

（1）东东装满这个圆锥形玻璃容器用了多少立方厘米的沙？
（2）星星把沙全部倒入这个长方体容器后（沙子均匀分布），沙与玻璃接触部分的面积是多少平方厘米？
18．国家统计局数据显示，2022年我国全年粮食产量13731亿斤，比上年增加74亿斤，增长0.5%。这是我国粮食产量连续八年稳定在1.3万亿斤以上，也是连续十九年获得丰收。某种粮专业户把小麦堆成了一个圆锥形，高是3米，底面周长是25.12米。如果每立方米小麦大约重0.8吨，这堆小麦大约重多少吨？
19．学校新建一个长2米、宽1.5米的沙坑。将一个底面积是2.4平方米圆锥形沙堆的沙子全部铺入其中，正好铺40厘米厚。原来这个圆锥形沙堆的高是多少米？
20．小明把一个底面半径是3厘米的铁圆锥，放在从里面量半径是5厘米的圆柱形透明的玻璃容器内。小明把一瓶装有550毫升的纯净水倒入容器，这时水深正好与圆锥的高相等。圆锥的体积是多少？
21．一个长是50厘米、宽是40厘米、高是40厘米的长方体水槽，装满水。第一次把一个底面周长是31.4厘米，高是10厘米的小圆柱体铁块放进去。第二次把小圆柱体取出，把一个大圆锥体放进去，这时又溢出水的体积是300立方厘米。已知这个大圆锥的底面积是100平方厘米，它的高是多少厘米？
1．C
分析：通过观察图形可知，A容器是柱形，B容器是圆台形，C容器是圆锥形，D容器是圆台形。因为等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，四个容器的底面积相等，水的深度也相等。所以圆锥形容器中水最少，分别把10克糖放入这四个容器中搅拌溶解，因此可知，水最少的容器中的糖水最甜。据此解答。
详解：通过观察比较可知，C容器中的水最少，所以C容器中的糖水最甜。
故选：C。
分析：此题考查的目的是理解容积的意义，掌握圆柱、圆锥的体积（容积）公式及应用。
2．C
分析：根据圆的面积公式：S＝πr2，圆锥的体积公式：V＝πr2h，再根据积的变化规律可知，如果圆锥的底面半径扩大到原来的3倍，那么圆锥的底面积就扩大到原来的（3×3）倍，圆锥的高也扩大到原来的2倍，那么圆锥的体积就扩大到原来的（3×3×2）倍。据此解答即可。
详解：3×3＝9
3×3×2
＝9×2
＝18
如果一个圆锥的底面半径扩大为原来的3倍，高扩大为原来的2倍，体积扩大到原来的18倍。
故答案为：C
分析：此题考查的目的是理解掌握圆的面积、圆锥的体积公式及应用，积的变化规律及应用。
3．A
分析：圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，高＝体积÷底面积÷，代入数据，即可解答。
详解：75.36÷3.14÷42÷
＝24÷16×3
＝×3
＝（分米）
一个圆锥的体积是75.36立方分米，底面半径是4分米，这个圆锥的高是分米。
故答案为：A
分析：熟练掌握和灵活运用圆锥的体积公式是解答本题的关键。
4．C
分析：由于圆柱和圆锥的底面积相等，体积的比是1∶1，说明体积也相等，可以假设它俩的底面积是1，体积也是1，根据圆柱的体积公式：高＝体积÷底面积；圆锥的体积公式：高＝体积×3÷底面积，据此代入数据，求出圆柱和圆锥的高是比。
详解：假设圆柱和圆锥的底面积是1，体积也是1。
圆柱的高：1÷1＝1
圆锥的高：1×3÷1＝3
所以圆柱和圆锥的高的比是：1∶3。
故答案为：C
分析：本题主要考查圆柱和圆锥的体积公式，熟练掌握它俩的体积公式并灵活运用。
5．D
分析：把一个圆柱木料削成一个最大的圆锥，也就是削成的圆锥与圆柱等底等高，因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以把一个圆柱木料削成一个最大的圆锥，减少的体积相当于圆锥体积的（3－1）倍，根据已知一个数的几倍是多少，求这个数，用除法求出圆锥的体积，再根据圆锥的体积公式：V＝Sh，那么h＝3V÷S，把数据代入公式解答。
详解：36÷（3－1）×3÷9
＝36÷2×3÷9
＝18×3÷9
＝54÷9
＝6（cm）
所以：把一个圆柱形木料削成一个最大的圆锥，体积减少了，原来这个圆柱的底面积是，削成的圆锥的高是6cm。
故答案为：D
分析：此题主要考查等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用。
6． 128 96
分析：一个直角三角形三边的长度分别是6cm，8cm，10cm，因为斜边的长度大于直角边，所以直角边为：6cm，8cm，沿直角三角形的一条直角边旋转一周即可得到一个圆锥，沿哪条边旋转，那么那条直角边就是圆锥的高，另外一条直角边即为圆锥的底面半径；当圆锥的高为6cm是，圆锥的底面半径为8cm，当圆锥的高为8cm时，圆锥的底面半径为6cm，再根据，即可求出圆锥的体积。
详解：由分析可知：
＝××82×6
＝××64×6
＝128（立方厘米）
＝××62×8
＝××36×8
＝96（立方厘米）
所以这两个立体图形的体积分别是128立方厘米和96立方厘米。
分析：本题考查圆锥体积公式的灵活运用，注意：不要忘记乘。
7． 753.6 502.4
分析：6分米＝60厘米，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，用3.14×（4÷2）2×60即可求出圆柱的体积；根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，可知等底等高的圆锥体积是圆柱的，则等底等高的圆锥体积比圆柱多（1－），根据分数乘法的意义，用圆柱的体积乘（1－）即可求出削去的部分。
详解：6分米＝60厘米
3.14×（4÷2）2×60
＝3.14×22×60
＝3.14×4×60
＝753.6（立方厘米）
753.6×（1－）
＝753.6×
＝502.4（立方厘米）
一个圆柱的底面直径是4厘米，高是6分米，它的体积是753.6立方厘米；把它削成最大的圆锥，则削去部分的体积是502.4立方厘米。
分析：此题考查了等底等高的圆柱与圆锥的体积的关系的灵活应用。
8． 113.04 12
分析：根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式求出圆柱的体积，因为圆柱的高＝体积÷底面积，圆锥的高＝体积×3÷底面积，所以当圆柱和圆锥等体积等底面积时，圆锥的高是圆柱的3倍，据此解答。
详解：3.14×32×4
＝3.14×9×4
＝113.04（立方厘米）
4×3＝12（厘米）
圆柱形铁块的体积是113.04立方厘米，圆锥的高是12厘米。
分析：本题主要考查了圆柱的体积公式、圆锥的体积公式的灵活应用，要熟练掌握相关公式。
9． 圆锥 50.24
分析：沿直角三角形以任意一条直角边所在的直线为轴旋转一周都可以得到一个圆锥，沿哪条直角边旋转，那条直角是圆锥的高，另一条直角边即为圆锥的底面半径；所以按以上方式可能会形成两种圆锥，，据此可分别算出两个圆锥的体积，再比较大小即可求解。
详解：由分析可知：
①当圆锥的高为4cm，底面半径为3cm时，
＝3.14×3×4
＝37.68（）
②当圆锥的高为3m，底面半径为4m时，
＝3.14×16
＝50.24（）
50.24＞37.68
所以如上所示的直角三角形以任意一条直角边所在的直线为轴旋转一周，得到的立体图形是圆锥，它的体积最大是50.24。
分析：本题考查圆锥的形成原理及圆锥体积公式的灵活运用，学生需熟练掌握圆锥体积公式。
10． 3 4
分析：根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×；圆柱的体积公式：体积＝底面积×高；圆柱的体积等于圆锥的体积，底面积相等，则圆柱的高＝圆锥的高×；圆柱的体积等于圆锥的体积，高相等，则圆柱的底面积＝圆锥的底面积×，据此解答。
详解：9×＝3（cm）
12×＝4（cm2）
一个圆锥形橡皮泥，底面积是12cm2，高是9cm。如果把它捏成同样底面大小的圆柱，这个圆柱的高是3cm；如果把它捏成同样高的圆柱，这个圆柱的底面积是4cm2。
分析：明确体积相等的圆柱与圆锥之间的关系是解答本题的关键。
11．×
分析：根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，高＝体积÷底面积÷，代入数据，求出高，即可解答。
详解：12÷3÷
＝4×3
＝12（厘米）
一个圆锥的体积是12立方厘米，底面积是3平方厘米，高12厘米。
原题干说的错误。
故答案为：×
分析：利用圆锥的体积公式进行解答，关键熟记公式，灵活运用。
12．×
分析：根据圆锥的体积公式：底面积×高×；两个圆锥的底面半径比为1∶2；设一个圆锥底面半径为r，高为h；则另一个圆锥底面半径为2r；高的比是1∶2，则另一个圆锥的高为2h，带入圆锥的体积公式，求出两个圆锥的体积，再根据比的意义，求出两个圆锥的体积比。
详解：（π×r2×h×）∶[π×（2r）2×2h×]
＝πr2h∶[4r2×2h×]
＝πr2h∶πr2h
＝1∶8
原题干说法错误。
故答案为：×
分析：利用圆锥的体积公式以及比的意义进行解答。
13．√
分析：根据题意可知，一个圆柱与一个圆锥等底等高，圆锥的体积＝×圆柱的体积，即圆柱的体积＝3×圆锥的体积；圆柱的体积＋圆锥的体积＝4×圆锥的体积＝48立方米，由此求出圆锥的体积。
详解：根据分析可知：
圆锥体积：48÷4＝12（立方米）
原题干说的正确。
故答案为：√
分析：利用等底等高的圆柱体积与圆锥体积之间的关系进行解答是解决本题的关键。
14．×
分析：根据体积公式V柱＝Sh，V锥＝Sh，举例说明圆锥和圆柱的关系。
详解：例如：圆锥的底面积是6平方厘米，高是3厘米；
圆锥的体积：×6×3＝6（立方厘米）
圆柱的底面积是18平方厘米，高是1厘米；
圆柱的体积：18×1＝18（立方厘米）
圆锥的体积与圆柱的体积之比是：
6∶18＝1∶3
但圆锥和圆柱不是等底等高柱，原题说法错误。
故答案为：×
分析：明确当圆柱和圆锥等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，反之不成立。
15．×
分析：根据圆锥的体积V＝ πr2h，半径扩大3倍，底面积扩大3×3＝9倍，高也扩大3倍，则体积扩大9×3＝27倍，据此判断。
详解：由分析可知，一个圆锥的底面半径扩大3倍，高也扩大3倍，那么它的体积就扩大27倍。
故答案为：×
分析：此题考查了圆锥体积的计算方法，结合积的变化规律解答即可。
16．（1）200.96cm2；（2）62.8dm3
分析：（1）圆柱的表面积＝侧面积＋底面积×2＝πdh＋2πr2，据此代入数据计算；
（2）圆锥的体积＝底面积×高×＝πr2h，据此解答。
详解：（1）3.14×8×4＋（8÷2）2×3.14×2
＝3.14×32＋3.14×32
＝100.48＋100.48
＝200.96（cm2）
（2）×3.14×22×15
＝3.14×20
＝62.8（dm3）
17．（1）24立方厘米
（2）258平方厘米
分析：（1）东东装满这个圆锥形玻璃容器用了多少立方厘米的沙是求圆锥的体积，，据此解答；
（2）求沙与玻璃接触部分的面积是多少平方厘米，是求长方体沙子的侧面积加一个底面积的和，倒入后长方体的长和宽不变，倒入长方体沙子的体积等于圆锥的体积，由，可推出，据此可求出倒入长方体沙子的高，再加上原来长方体沙子的高，即可得到倒入后长方体沙子的高，，据此可求出沙与玻璃接触部分的面积是多少平方厘米。
详解：（1）
＝4×6
＝24（立方厘米）
答：东东装满这个圆锥形玻璃容器用了24立方厘米的沙。
（2）
＝24÷（6×8）
＝0.5（厘米）
7＋0.5＝7.5（厘米）
＝2×8×7.5＋2×6×7.5＋6×8
＝120＋90＋48
＝258（平方厘米）
答：沙与玻璃接触部分的面积是258平方厘米。
分析：本题考查圆锥、长方体体积公式的灵活运用，记住公式是关键。
18．40.192吨
分析：根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，半径＝周长÷π÷2，代入数据，求出圆锥形小麦堆的底面半径，再根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，求出这堆小麦的体积，再乘0.8，即可解答。
详解：25.12÷3.14÷2
＝8÷2
＝4（米）
3.14×42×3××0.8
＝3.14×16×3××0.8
＝50.24×3××0.8
＝150.72××0.8
＝50.24×0.8
＝40.192（吨）
答：这堆小麦大约重40.192吨。
分析：熟练掌握和灵活运用圆的周长公式和圆锥的体积公式是解答本题的关键。
19．1.5米
分析：根据题意，把圆锥形沙堆铺成长方体似的沙坑，沙子的体积没有变化，因此根据长方体体积计算公式V＝abh可计算出沙子的体积，然后再根据圆锥的体积公式VSh，计算求得原来这个圆锥形沙堆的高是多少米即可。
详解：40厘米＝0.4米，
沙堆的体积：
1.5×2×0.4＝1.2（立方米）
1.2×3÷2.4
＝3.6÷2.4
＝1.5（米）
答：原来这个圆锥形沙堆的高是1.5米。
分析：此题考查了圆锥的体积计算公式：VSh，以及长方体体积计算公式V＝abh的掌握与运用。
20．75立方厘米
分析：根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，圆柱的体积公式：V＝πr2h，圆锥的体积＋水的体积＝圆柱容器内水高等于圆锥高的体积，设圆锥的高为h厘米，据此列方程求出圆锥的高，然后把数据代入公式求出圆锥的体积。
详解：解：设圆锥的高为h厘米
550毫升＝550立方厘米
×π×32×h＋550＝π×52h
3πh＋550＝25πh
25πh－3πh＝550
22πh＝550
h＝
×π×32×
＝3×25
＝75（立方厘米）
答：圆锥的体积75立方厘米。
分析：此题主要考查圆锥的体积公式、圆柱的体积（容积）公式的灵活运用，关键是熟记公式，重点是求出圆锥的高。
21．32.55厘米
分析：由题意可知：大圆锥的体积等于小圆柱的体积加上300立方厘米。将数据带入圆柱的体积公式求出小圆柱的体积，进而得出大圆锥的体积，再带入圆锥的体积公式：V＝Sh即可求得大圆锥的高；据此解答。
详解：31.4÷3.14÷2
＝10÷2
＝5（厘米）
（3.14×52×10＋300）×3÷100
＝（3.14×250＋300）×3÷100
＝（785＋300）×3÷100
＝1085×3÷100
＝3255÷100
＝32.55（厘米）
答：它的高是32.55厘米。
分析：本题主要考查圆柱、圆锥体积公式的应用，解题的关键是理解大圆锥的体积等于小圆柱的体积加上300立方厘米。

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