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2.5 整理与练习
圆柱和圆锥的认识
圆柱的侧面积和表面积
圆柱的体积
圆锥的体积
例1：把一团圆柱形橡皮泥揉成与它等底的圆锥形，高将（ ）。
A．增加3倍 B．扩大到原来的3倍 C．缩小到原来的 D．缩小到原来的
答案：B
分析：等体积等底面积的圆柱和圆锥，圆锥的高是圆柱高的3倍，据此分析。
详解：把一团圆柱形橡皮泥揉成与它等底的圆锥形，同一块橡皮泥，说明圆柱和圆锥体积相等，高将扩大到原来的3倍。
故答案为：B
例2：如图，长方形ABCD以BC为轴旋转一周后，其中白色部分与黄色部分的体积比是（ ）。

A．1∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．2∶1
答案：D
分析：一个长方形绕轴旋转一周，可以得到一个圆柱，而一个直角三角形绕直角边旋转一周，可以得到一个圆锥，根据题意可知，这个两个图形等底等高，根据等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍，据此可知，圆锥的体积是1份，而圆柱的体积是3份，黄色部分的体积是圆锥的体积，白色部分的体积是圆柱比圆锥多的体积，据此写出它们的比即可。
详解：等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍，
（3－1）∶1＝2∶1
长方形ABCD以BC为轴旋转一周后，其中白色部分与黄色部分的体积比是2∶1。
故答案为：D
例3：一个圆锥的底面积是一个圆柱底面积的，圆锥的高与圆柱的高之比是6∶5，那么圆锥的体积是圆柱体积的。
答案：
分析：圆锥的底面积是一个圆柱底面积的，可以表示为；圆锥的高与圆柱的高之比是6∶5，圆锥的高是圆柱高的，可以表示为；再结合圆锥的体积＝，圆柱的体积＝，代入相应的关系式求解，据此解答。
详解：圆锥的体积＝
圆柱的体积＝
因为，，
所以圆锥的体积＝
所以圆锥的体积÷圆柱的体积
＝（）÷
＝（）÷1
＝÷1
＝
因此圆锥的体积是圆柱体积的。
例4：一个圆锥的高不变，底面半径扩大到原来的2倍，底面积扩大到原来的( )倍，体积扩大到原来的( )倍。
答案： 4 4
分析：根据圆锥的底面积S＝πr2，体积公式V＝πr2h，再根据积的变化规律，积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积。由此解答。
详解：由分析可知：
2×2＝4
所以一个圆锥的高不变，底面半径扩大到原来的2倍，底面积扩大到原来的4倍，体积扩大到原来的4倍。
例5：下边这个长方体木块，侧面边长6厘米。把它截成同样长的两段，分别做成一个最大的圆柱和一个最大的圆锥，削去部分的体积一共是( )立方厘米。

答案：411.84
分析：根据题意可知，把这个长方体截成同样长的两段，每段的长度是（24÷2）厘米，再分别做成一个最大的圆柱和一个最大的圆锥。做成的最大圆柱和最大圆锥的底面直径都等于长方体侧面的边长，高都是（24÷2）厘米。根据长方体体积＝长×宽×高，圆柱体积＝底面积×高，圆锥体积＝×底面积×高，将数据代入公式，分别求出长方体、圆柱和圆锥的体积，再将长方体的体积减去圆柱和圆锥的体积和，即可求出削去部分的体积。
详解：长方体体积：24×6×6＝864（立方厘米）
圆柱体积：
3.14×（6÷2）2×（24÷2）
＝3.14×32×12
＝3.14×9×12
＝339.12（立方厘米）
圆锥体积：
×3.14×（6÷2）2×（24÷2）
＝×3.14×32×12
＝×3.14×9×12
＝×339.12
＝113.04（立方厘米）
864―339.12―113.04＝411.84（立方厘米）
所以，削去部分的体积一共是411.84立方厘米。
基础过关练
一、选择题
1．我们在探索圆柱的体积时，把圆柱的底面平均分成若干等份，切拼成一个近似的长方体，这是用了解决问题的（ ）策略。
A．假设 B．转化 C．画图 D．列举
2．如图1是一个底面半径为r高为h的圆柱展开图，老师在如图1的基础上把两个底面剪拼成长方形，与侧面的展开图拼接在一起如图2，根据这样的过程，下面哪个算式是计算这个圆柱的表面积。（ ）
A．2πr（h＋2r） B．πr（h＋2r） C．2πr（h＋r） D．πr（2h＋r）
3．数学思想方法是数学的灵魂。转化思想作为重要的数学思想方法之一，在我们的学习生活中无处不在。下面运用了“转化”思想的有（ ）。
A．②④ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
4．如图，两个圆柱的体积之差是235.5cm2，如果将这两个圆柱体分别切削成两个最大的圆锥，那么这两个圆锥的体积之差是（ ）。
A．等于235.5cm3 B．大于235.5cm3
C．小于235.5cm3 D．以上三种情况都有可能
5．下面说法中，正确的有（ ）。
①把一个长方形按3：1的比放大，放大前后的面积比是9∶1；
②一个圆的半径增加10%，则它的面积增加21%；
③浓度为10%的糖水中，加入10克糖和100克水，浓度降低了；
④圆柱的侧面展开得到一个正方形，则它的高是底面直径的3.14倍。
A．①② B．①②③ C．②③④ D．②③
二、填空题
6．有等底等高圆柱和圆锥模具各一个，现测量得知圆柱的底面半径是3分米，高是10分米，在不考虑厚度的情况下，装满这两个模具一共要用水( )升。
7．灯笼为我国传统工艺品，李明爸爸制作圆柱形大灯笼，底面周长为188.4厘米，高为1米，这个圆柱形灯笼底面半径为( )厘米。灯笼上下底面各有一个直径为20厘米的圆洞，做这个灯笼最少需要( )平方厘米纸。
8．小新家楼下的羊肉汤店新近推出一圆烧饼，价格只有原来的一半，直径大约是原来的，薄厚没变。小新认为买小烧饼合算，好朋友小明却认为买大烧饭合算。你用数学的眼光看认为买( )（填“大”或“小”）烧饼更合算。
9．如图，容器内注入一些细沙，能填满圆锥，还能填部分圆柱（如图所示）。若将这个容器倒立，则沙子的高度是( )厘米。
10．一个正方体容器盛满水，现将一个底面半径2厘米，高3厘米的圆锥完全浸没到容器中，有( )立方厘米的水溢出。
11．涝河公园，有一个半径是20米的人工圆形小湖。你要沿湖边走一圈大约是( )米；这个小湖占地( )平方米；如果湖内水深2.5米，这个湖能蓄水( )吨。（1立方米的水重1吨）
12．妈妈榨了一大杯橙汁（如图1）招待客人，如果倒入图2所示的杯子中，可以倒满( )杯。（两个杯子的杯口同样大）
三、判断题
13．将圆柱的侧面剪开后展开，有可能是一个平行四边形。( )
14．一个圆锥的底面直径和高都是6分米，如果沿底面直径切成两半，那么表面积就会增加36平方分米。( )
15．一个圆柱的底面周长与高相等，它的侧面沿高展开图是正方形。( )
16．两个圆锥的底面半径之比1∶2，它们的高之比是2∶1。则它们的体积是相同的。( )
17．一个圆锥的体积是30立方分米，底面积是10平方分米，则圆锥的高是3分米。( )
18．6个完全相同的圆锥可以熔铸成2个与它等底等高的圆柱。( )
培优检测练
四、计算题
19．计算圆柱的表面积。

五、解答题
20．一个圆柱形杯子，从里面测量底面直径8厘米，高6厘米。这个杯子能否装下一袋净含量300毫升的牛奶？
21．一个圆柱形橡皮泥，从侧面观察是一个边长0.6分米的正方形。如果把它捏成一个圆锥，那么这个圆锥的体积是多少立方厘米？（结果保留π）
22．一种食品罐头的包装如图。

（1）它的侧面包装纸的面积是80π平方厘米。制作这样一个罐头至少需要多少平方厘米的铁皮材料？（拼接处忽略不计）
（2）这个圆柱形罐头的容积是多少？（厚度忽略不计）
23．王大伯用一块长方形铝皮和一块圆形铝皮做一个无盖的水桶。
（1）王大伯至少需要准备多少平方分米铝皮？（接头处忽略不计）
（2）王大伯先往这个水桶里倒入适量的水，测得水深是0.13米，接着又将一个底面积为3平方分米的圆锥形铁块完全浸没在水中，并测得此时水深是1.5分米，这个圆锥形铁块的体积是多少立方分米？
24．一台压路机的前轮直径是1.5米，后轮直径是2米。欢欢和乐乐在观看压路机压路时做了一个记录，在3分钟时间内，欢欢记录前轮转了40圈，乐乐记录后轮转了30圈。
（1）他们的记录对吗？请用算式说明。
（2）如果前轮的轮宽是2.5米，那么在上述时间段内，前轮压过的面积是多少平方米？
1．B
分析：圆柱的体积探索过程是先把圆柱的底面分成许多相等的小扇形，然后沿着高切开再重新拼成一个近似的长方体，进而推导得出计算方法。这个过程运用了转化的策略，把圆柱体转化成近似的长方体来研究。
详解：因为圆柱的体积计算方法是通过把圆柱体转化成近似的长方体推导出来的，所以这是运用了解决问题的转化策略。
故答案为：B
分析：此题考查了对圆柱体积探索过程的理解程度。
2．C
分析：根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高。再根据圆面积公式的推导过程可知，把一个圆剪拼成一个长方形，这个长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径。由图1转化为图2，这个大长方形的长等于圆的周长，宽等于圆柱的高加上半径。根据长方形的面积公式：S＝ab，把数据代入公式解答。
详解：图2中大长方形的长是2πr，宽是（h＋r），
大长方形的面积是2πr×（h＋r）。
故答案为：C。
分析：此题考查的的目的是理解掌握圆柱侧面展开图的特征，圆面积公式的推导过程及应用，长方形面积公式的灵活运用。
3．D
分析：①把正六边形转化为三角形，再根据三角形内角和，求出六边形的内角和；
②把小数乘法转化为整数乘法，再根据小数点的移动，确定积的小数位数；
③把平行四边形转化为长方形，利用长方形面积求出平行四边形的面积；
④把圆柱体的体积转化为长方体的体积，利用长方体体积求出圆柱的体积，据此解答。
详解：根据分析可知：①②③④都用了“转化”思想方法。
故答案为：D
分析：本题考查利用“转化”思想方法解答未知问题。
4．C
分析：假设大圆柱的体积是a，小圆柱的体积是b，则a－b＝235.5，将这两个圆柱体分别切削成两个最大的圆锥，此时大圆锥体积是a，小圆锥体积是b，这两个圆锥的体积之差是a－b，据此解答。
详解：假设大圆柱的体积是a，小圆柱的体积是b，
a－b
＝（a－b）
又知：a－b＝235.5
（a－b）＝×235.5＝78.5（立方厘米），78.5立方厘米＜235.5立方厘米
故答案为：C。
分析：解答此题的关键是理解削成的圆锥的体积等于原来圆柱体积的。
5．D
分析：根据长方形面积、圆的面积半径的关系、浓度问题、圆柱的侧面与底面周长的关系逐项分析解答。
详解：①假设长方形的两条边为a、b，放大后为3a、3b，放大后面积为3a×3b＝9ab，原面积＝ab，放大前面积和放大后面积的比：ab∶9ab＝1∶9，放大前后的比是1∶9，故原题干是错误；
②假设原来的面积是πr2，增加后的面积是：π×[（1＋10%）r]2＝1.21πr2，，增加的面积是：1.21πr2－πr2＝（1.21－1）πr2＝0.21πr2＝21%πr2，故原题干正确；
③假设原来是100克糖水中有10克糖，加入10克糖和100克水即： ×100%＝×100%≈9.52%，9.52＜10%，浓度降低了，故原题干正确；
④圆柱的侧面展开是一个正方形，高与圆柱的周长相等，底面周长＝π×直径，高＝π×直径，高是底面直径的π倍，故原题干不正确的。
正确的是：②③
故答案选：D
分析：本题考查的知识点较多，熟练掌握相关知识点，并正确排除法是解题的关键。
6．376.8
分析：由题意可知：圆柱与圆锥等底等高，圆柱的底面半径是3分米，高是10分米，则圆锥的底面半径是3分米，高是10分米；将数据代入圆柱的容积公式：V＝πr2h，圆锥的容积公式：V＝πr2h求出容积，最后求和即可。
详解：3.14×32×10＋3.14×32×10×
＝3.14×9×10＋3.14×9×10×
＝3.14×（9×10＋9×10×）
＝3.14×120
＝376.8（立方分米）
376.8立方分米＝376.8升
即在不考虑厚度的情况下，装满这两个模具一共要用水376.8升。
分析：本题主要考查圆柱、圆锥的体积（容积）公式，牢记公式是解题的关键。
7． 30 23864
分析：根据圆的周长公式：C＝2πr，那么r＝C÷π÷2，据此求出圆柱的底面半径，再根据圆柱的表面积公式：S表＝S侧＋S底×2，把数据代入公式求出这个圆柱的表面积，然后减去上下底面两个圆洞的面积就是需要纸的面积。
详解：1米＝100厘米
188.4÷3.14÷2＝30（厘米）
188.4×100＋3.14×302×2－3.14×（20÷2）2×2
＝18840＋3.14×900×2－314×100×2
＝18840＋5652－628
＝24492－628
＝23864（平方厘米）
分析：此题主要考查圆的周长公式、圆柱的表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
8．大
分析：根据题意，两种烧饼的薄厚相同，也就是高相同，只有比较相同价格下两种烧饼底面积的大小即可，利用圆的面积公式：面积＝π×半径2；设出大烧饼的直径，求出大烧饼和小烧饼的面积；再根据小烧饼的价格是原来大烧饼的价格的一半，求出小烧饼的面积乘2，再求出大烧饼的面积，进行比较，谁大，谁合算。
详解：设大烧饼的直径为2，则小烧饼的直径是2×。
大烧饼的面积：
3.14×（2÷2）2
＝3.14×1
＝3.14
小烧饼的面积：
3.14×（2×÷2）2
＝3.14×（×）2
＝3.14×
＝1.1304
1.1304×2＝2.2608
2.2608＜3.14
买大的更合算。
分析：利用圆的面积公式进行解答，关键是熟记公式。
9．7
分析：根据题意，根据圆柱的体积公式：底面积×高，圆锥体的体积公式：底面×高×，求出3厘米高的圆柱形沙子的体积和底面半径是6厘米，高是12厘米圆锥形沙子的体积，再用两个体积的和除以圆锥的底面积，就是沙子的高。
详解：3.14×62×3＋3.14×62×12×
＝3.14×36×3＋3.14×36×12×
＝113.04×3＋113.04×12×
＝339.12＋1356.48×
＝339.12＋452.16
＝791.28（立方厘米）
791.28÷（3.14×62）
＝791.28÷（3.14×36）
＝791.28÷113.04
＝7（厘米）
分析：本题考查圆柱体积公式和圆锥体积公式的应用，关键是熟记公式，灵活运用。
10．12.56
分析：由题意知：圆锥完全浸没到盛满水的容器中，水会溢出，溢出的水的体积就是圆锥的体积。据此解答。
详解：2×2×3.14×3×
＝12.56×（3×）
＝12.56（立方厘米）
分析：理解溢出的水的体积就是圆锥的体积是解答本题的关键。
11． 125.6 1256 3140
分析：沿湖边走一圈就是求这个人工圆形小湖的周长，小湖的占地就是求人工圆形小湖的面积，人工圆形小湖的面积乘水深即为这个湖能蓄水的体积，再乘1立方米的水重即为1蓄水的重量。
详解：2×3.14×20
＝6.28×20
＝125.6（米）
3.14×202
＝3.14×400
＝1256（平方米）
1256×2.5×1
＝3140×1
＝3140（吨）
分析：考查了圆的周长，圆的面积，圆柱的体积，计算时要认真。
12．9
分析：根据题意可知，杯口一样大，说明它们的底面积一样大，设杯口面积为S，根据圆柱体的体积公式，求出圆柱的体积，再根据圆锥的体积公式，求出圆锥的体积，最后用圆柱的体积除以圆锥的体积，就是几杯，即可解答。
详解：设：杯子口的面积为s
圆柱的体积为：15×s＝15s
杯子的体积为：×s×5＝s
15s÷s＝15×＝9（杯）
分析：本题考查圆柱、圆锥的体积公式的应用，熟练掌握，灵活运用。
13．√
分析：圆柱的侧面展开图可以有以下展开方式：不沿高线，斜着直线割开：平行四边形；沿高线直线割开：长方形（沿高线直线割开，若底圆周长等于高：正方形）。
详解：根据分析可知，将圆柱的侧面剪开后展开，有可能是一个平行四边形。
故答案为：√
分析：掌握圆柱侧面展开图的展开方式是解答此题的关键。
14．√
分析：根据题意表面积增加的部分为底是6分米，高也是6分米的两个三角形的面积，根据三角形的面积公式：底×高÷2，算出两个三角形的面积即可判断。
详解：6×6÷2×2
＝36÷2×2
＝36（平方分米）
故答案为：√
分析：解答此题的关键是明确圆锥沿底面直径切成两半，增加的是两个完全一样的三角形，并且三角形的底是圆锥的直径，高是圆锥的高。
15．√
分析：根据圆柱体的特征，它的上下底面是完全相同的两个圆，侧面是一个曲面，侧面沿高展开是一个长方形或正方形，长方形的长等于圆柱体的底面周长，宽等于圆柱体的高；由此解答。
详解：根据圆柱体的侧面展开图的长、宽与圆柱体的底面周长和高的关系，如果圆柱的侧面展开后是一个正方形，那么这个圆柱的底面周长和高一定相等。
故答案为：√
分析：此题主要考查圆柱的特征，掌握侧面展开图的长、宽与圆柱体的底面周长和高的关系是解题关键。
16．×
分析：根据“两个圆锥的底面半径之比1∶2，它们的高之比是2∶1”可以把两个圆锥的底面半径分别看做1份，2份，高分别看作2份，1份，再根据圆锥体的体积公式：V＝πr2h，解答即可。
详解：π×12×2＝π
π×22×1＝π
因为π＜π，所以它们的体积不相等。
故答案为：×
分析：解答此题的关键是利用圆锥的体积公式，算出两个圆锥的体积，再进行比较即可得出答案。
17．×
分析：根据圆锥的体积公式可知，圆锥的高＝体积×3÷底面积，据此解答。
详解：30×3÷10
＝90÷10
＝9（分米），圆锥的高是9分米。原题说法错误。
故答案为：×
分析：此题考查了圆锥体积公式的灵活运用，注意求圆锥的底面积或高，需要先让体积×3再计算。
18．√
分析：因为等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，也可以看作是3个圆锥可以铸成一个等底等高的圆柱，以此解答。
详解：6÷3＝2（个）
所以6个完全相同的圆锥可以熔铸成2个与它等底等高的圆柱。
故答案为：√
分析：此题主要考查学生对圆锥与圆柱体积之间的倍数关系的理解。
19．376.8；1657.92
分析：先根据“圆面积”求出圆柱的底面积，根据“圆周长”求出底面周长，再用“底面周长×高”求出侧面积，最后用“侧面积＋底面积×2”求出圆柱的表面积。
详解：
＝150.72＋226.08
＝376.8（）
＝1256＋401.92
＝1657.92（）
20．能
分析：根据圆柱体的容积＝底面积×高＝πr2h，求出这个杯子的容积，再和300毫升进行比较即可。
详解：3.14×（8÷2）2×6
＝3.14×42×6
＝3.14×16×6
＝301.44（立方厘米）
＝301.44毫升
301.44毫升＞300毫升
答：这个杯子能装下一袋300毫升的牛奶。
分析：此题属于圆柱体容积的实际应用，根据圆柱体的容积公式即可解答，注意体积单位和容积单位的换算。
21．54π立方厘米
分析：根据题意可知：这个圆柱的底面直径等于高，即为：0.6分米＝6厘米，据此可知：r＝6÷2＝3（厘米），即根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，代入数值求出圆柱的体积，把它捏成一个圆锥，则圆锥的体积等于圆柱的体积，据此解答。
详解：0.6分米＝6厘米
半径：6÷2＝3（厘米）
π×32×6
＝9π×6
＝54π（立方厘米）
答：这个圆锥的体积是54π立方厘米。
分析：本题主要考查了圆柱的体积公式的应用，关键是根据圆柱的体积公式，计算圆锥的体积。
22．（1）112π平方厘米
（2）160π毫升
分析：（1）将侧面积除以高，求出罐头的底面周长，从而求出底面半径。底面积＝π×底面半径2，据此再求出底面积。将底面积乘2，再加上侧面积，即可求出制作这样一个罐头至少需要多少平方厘米的铁皮材料；
（2）圆柱容积＝底面积×高，据此列式求出这个圆柱形罐头的容积是多少。
详解：（1）底面周长：80π÷10＝8π（厘米）
底面半径：8π÷2÷π＝4（厘米）
底面积：π×42＝16π（平方厘米）
表面积：16π×2＋80π
＝32π＋80π
＝112π（平方厘米）
答：制作这样一个罐头至少需要112π平方厘米的铁皮材料。
（2）16π×10＝160π（立方厘米）＝160π（毫升）
答：这个圆柱形罐头的容积是160π毫升。
分析：本题考查了圆柱的表面积和容积，熟记公式是解题的关键。
23．（1）15.7平方分米
（2）0.628立方分米
分析：（1）求王大爷至少需要准备多少平方分米的铝皮，就是求这个无盖的圆柱的表面积；观察图形可知，这个圆柱的底面直径是2分米，圆柱的高是2分米，根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积＋侧面积，代入数据，即可解答。
（2）水面上升的部分的体积就是圆锥的体积，根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可解答。
详解：（1）3.14×（2÷2）2＋3.14×2×2
＝3.14×12＋6.28×2
＝3.14×1＋12.56
＝3.14＋12.56
＝15.7（平方分米）
答：王大爷至少需要准备15.7平方分米的铝皮。
（2）0.13米＝1.3分米
3.14×（2÷2）2×（1.5－1.3）
＝3.14×12×0.2
＝3.14×1×0.2
＝3.14×0.2
＝0.628（立方分米）
答：这个圆锥形铁块的体积是0.628立方分米。
分析：解答本题的关键是确定出圆柱形无盖的水桶的高与底面半径，再利用圆柱的表面积以及圆柱的体积公式进行解答，注意单位名数的统一。
24．（1）他们的记录的对；见详解；
（2）471平方米
分析：（1）压路机的前轮滚筒是一个圆柱体，根据圆的周长求出它周长，再乘圈数就是每分钟走的路程；
（2）转动一周压路的面积就是它的侧面积，再求出每分钟压路多少平方米即可。
详解：（1）比前后轮走过的路程
1.5×40＝60（米）
2×30＝60（米）
答：他们的记录的对。
（2）60×2.5
＝150×3.14
＝471（平方米）
答：前轮压过的面积是471平方米。
分析：此题主要考查圆柱底面周长及侧面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。

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