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2.3 圆柱的体积
把圆柱的底面积平均分成若干份（平均分的份数越多，拼成的物体就越接近于长方体），然后把圆柱切开，可拼成一个近似的长方体。
V长方体=底面积×高
V长方体=V圆柱
V圆柱=圆柱的底面积×高
V圆柱=Sh =πr h
例1：如下图，把圆柱切拼成一个近似的长方体 ，下列结论中错误的是（ ）。

A．长方体的体积与圆柱的体积相等
B．长方体的表面积等于圆柱的表面积
C．长方体的高等于圆柱的高
D．长方体的底面积等于圆柱的底面积
答案：B
分析：长方体和圆柱的体积、底面积、高都是相等的。长方体的表面积比圆柱的表面积多了左右两个长方形面的面积。据此即可逐项分析。
详解：A．长方体的体积与圆柱的体积相等，原题干说法正确；
B．长方体的表面积大于圆柱的表面积，原题干说法错误；
C．长方体的高等于圆柱的高，原题干说法正确；
D．长方体的底面积等于圆柱的底面积，原题干说法正确。
如下图，把圆柱切拼成一个近似的长方体 ，下列结论中错误的是长方体的表面积等于圆柱的表面积。

故答案为：B
例2：下面各图形以虚线为轴旋转一周形成一个立体图形，图形（ ）形成的体积与下图形成的体积相等。
A． B． C． D．
答案：A
分析：根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，圆锥的体积公式：V＝πr2h，分别求出每个选项的体积，再进行比较即可。
详解：形成的体积：
×3.14×22×6
＝×3.14×4×6
＝25.12（立方厘米）
A．形成的体积：
3.14×22×2
＝3.14×4×2
＝25.12（立方厘米）
B．形成的体积：
3.14×22×3
＝3.14×4×3
＝37.68（立方厘米）
C．形成的体积：
3.14×32×2
＝3.14×9×2
＝56.52（立方厘米）
D．形成的体积：
×3.14×62×2
＝×3.14×36×2
＝75.36（立方厘米）
图形形成的体积与形成的体积相等。
故答案为：A
例3：一圆柱形水桶内有一段长4厘米，宽3厘米的长方体铁块浸入水中，水面上升8厘米，如果把长方体竖立，露出水面3厘米，则水面下降1.5厘米，长方体铁块的体积是( )立方厘米。
答案：192
分析：由题意可知：下降的1.5厘米的水的体积，就等于露出水面的3厘米高的长方体的体积，据此列式计算即可求出的圆柱形水桶的底面积，然后依据上升的8厘米的水的体积就等于长方体的体积，根据长方体的体积公式：V＝abh，圆柱的体积公式：V＝Sh，据此即可求出长方体的体积。
详解：4×3×3÷1.5
＝36÷1.5
＝24（平方厘米）
24×8＝192（立方厘米）
则长方体铁块的体积是192立方厘米。
例4：用长12cm、宽9cm的长方形硬纸卷成一个圆柱，接口处忽略不计，这个圆柱的体积可能是( )cm3，也可能是( )cm3。（只列式不计算）
答案：
分析：用长方形纸板卷成圆柱可以用长边卷成底面的圆（底面周长是12cm），也可以用宽边卷成底面的圆（底面周长是9cm），根据这两种情况分别求出半径，再应用体积公式，体积＝底面面积×高，求圆柱的体积。
详解：底面周长是12cm时，体积是；
底面周长是9cm时，体积是。
基础过关练
一、选择题
1．将一个圆柱沿底面直径切成相等的两部分，截面正好是一个边长10厘米的正方形，那么这个圆柱的体积是多少立方厘米？（ ）
A．1000 B．500 C．250 D．125
2．一个圆柱形容器底面积是240cm2，高20cm，原来水面高度是8cm，分别往该容器内完全浸没不同物体后，水面高度均上升至10cm（如下图）。比较浸没物体的体积，下面说法正确的有（ ）。

①圆柱的体积是圆锥体积的3倍 ②水面上升了2厘米
③浸没的3个物体的体积一样大 ④正方体的体积最大
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．一个长方体木块，长8分米，宽6分米，高7分米，把它削成一个最大的圆柱，求这个圆柱体积的算式是（ ）。
A．3.14×（）2×7 B．3.14×（）2×8 C．3.14×（）2×7 D．3.14×（）2×6
4．一个圆柱的侧面积为50平方厘米，底面半径为10厘米。这个圆柱的体积（ ）。
A．25π B．50π C．250 D．500
二、填空题
5．将棱长是8cm的正方体木块削成一个最大的圆柱，圆柱的体积是( )cm3。
6．如图所示，把底面直径和高都为10厘米的圆柱切成若干等分，拼成一个近似的长方体。这个长方体的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。
7．芳芳和妈妈在家做了一个半径为10厘米、高为8厘米的蛋糕（如图）。这个蛋糕的体积是( )立方厘米；芳芳要在这个蛋糕的表面涂上一层奶油（下底面不涂）。涂奶油部分的面积有( )平方厘米。
8．把一个棱长是6分米的正方体木料削成一个最大的圆柱体，圆柱的底面积是( )平方分米，削去部分的体积是( )立方分米。
9．如下图，把若干个圆形纸片摞起来可以形成圆柱，把圆柱的底面积乘高可以得到圆柱的体积。如果把若干个同样的直角三角形纸片摞起来形成的图形叫做三棱柱。请你推测下，图中三棱柱的体积是( )立方厘米。
三、判断题
10．钢管的体积，等于环形面积乘钢管的长。( )
11．有两个圆柱，它们的底面半径的比是2∶3，高相等。这两个圆柱体积的比是4∶9。( )
12．一个圆柱的高扩大2倍，底面半径扩大2倍，它的体积就扩大4倍。( )
13．一个长方形的长为4米，宽为2米，以它的一条边为轴旋转出来的图形是一个圆柱，圆柱的体积一定为50.24立方米。( )
14．两个圆柱的底面周长和高分别相等，它们的体积也相等。( )
培优检测练
四、解答题
15．如图所示，圆柱形容器甲是空的，正方形容器乙中水深6.28厘米，将容器乙中的水全部倒入容器甲中，这时水深多少厘米？

16．一个易拉罐的形状是圆柱形，从外面量得这个易拉罐的高是10厘米，底面直径是6厘米。
（1）商家在易拉罐的包装上印了“净含量282毫升”，请计算说明，商家这样标注合理吗？
（2）做这样一个易拉罐，至少需要铝合金材料多少平方厘米？（接头处忽略）
17．在一个高为8厘米、容积为500毫升的圆柱形容器A里装满水，现把长16厘米的实心圆柱B垂直放入，使得圆柱B的地面与容器A的地面接触，这时一部分水从容器A里溢出，当把圆柱B从容器A中拿出后，容器A中的水面高度为6厘米。求圆柱B的体积。
18．把一个高为6厘米的圆柱体切割成若干等分，拼成一个近似的长方体。长方体的表面积比圆柱的表面积增加了48平方厘米，如下图，请求出原来圆柱体的表面积和体积。
19．一根高8分米的圆柱木料，如果把它的高截短3分米，表面积就减少18.84平方分米，这根圆木体积是多少立方分米？
20．一种没有盖的圆柱形铁皮水桶，底面直径4分米、高6分米。做一个这样的水桶大约用铁皮多少平方分米？如果每立方分米水重1千克，这个水桶能装水多少千克？
1．C
分析：根据圆柱的侧面展开图特征可知，这个正方形的边长等于圆柱的高，由此根据圆柱的体积公式即可解答问题。
详解：底面半径是：10÷2＝5（厘米）
圆柱的底面积：×52＝25（平方厘米）
圆柱的体积：
25×10＝250（立方厘米）。
这个圆柱的体积是250立方厘米。
故答案为：C
分析：解答此题的关键是根据侧面展开图是一个正方形，明确圆柱的高与底面直径相等。
2．B
分析：根据题意，放入物体之后水面都从8cm上升到了10cm，所以水面上升了2cm；再根据浸没物体的体积等于上升水的体积，所以的三个物体体积一样大。 据此解答。
详解：由分析可得，放入不同物体，水面都上升了2厘米，所以三个物体体积一样大。
因此选项①④错误，选项②③正确。说法正确的有2个。
故答案为：B
分析：本题考查了圆柱体积公式的应用，解题的关键是明确水增加的体积就是几个被浸没物体的体积。
3．D
分析：圆柱体的底面要用两个边长，并以较小的一个为准，直径不能是8分米，因为以8分米削不成圆柱体，所以，底面直径可以是6分米或7分米，半径为3分米或3.5分米，对应的高是7分米8分米或6分米，根据体积＝底面积×高＝πr2h，即可得出结论。
详解：①半径是3，高是7时，体积：
π×32×7
＝π×9×7
＝63π（立方分米）
②半径是3，高是8时，体积：
π×32×8
＝π×9×8
＝72π（立方分米）
③半径是3.5，高是6时，体积：
π×（3.5）2×6
＝π×12.25×6
＝73.5π（立方分米）
很明显，第三种体积较大
故削成的圆柱的底面直径应为7分米、高为6分米时体积最大
那么列式为3.14×（）2×6
故答案为：D
分析：此题不仅考查圆柱体的体积计算，还考查了如何确定圆柱的底面大小。
4．C
分析：根据圆柱的侧面积公式：S＝2πrh，已知圆柱的侧面积和底面半径，可以求出圆柱的高，再根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。
详解：50÷（2×3.14×10）
＝50÷62.8
≈0.8（厘米）
3.14×102×0.8
＝3.14×100×0.8
＝314×0.8
＝251.2
≈250（立方厘米）
这个圆柱的体积是250立方厘米。
故答案为：C
分析：此题主要考查圆柱的侧面积公式、圆柱的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
5．401.92
分析：根据题意可知，正方体削成一个最大的圆柱，圆柱的底面直径等于正方体的棱长，圆柱的高等于正方体的棱长；根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可解答。
详解：3.14×（8÷2）2×8
＝3.14×42×8
＝3.14×16×8
＝50.24×8
＝401.92（cm3）
将棱长是8cm的正方体木块削成一个最大的圆柱，圆柱的体积是401.92cm3。
分析：解答本题的关键明确削成的圆柱的底面直径、高与正方体棱长之间的关系是解答本题的关键。
6． 571 785
分析：把圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体后，表面积比原来的圆柱的表面积增加了两个以圆柱的高为长和半径为宽的长方形的面积，体积不变；根据圆柱的表面积公式：圆柱的表面积公式：S＝2πr2＋πdh，用2×3.14×（10÷2）2＋3.14×10×10即可求出圆柱的表面积，再根据长方形的面积公式，用圆柱的表面积＋（10÷2）×10×2即可求出拼成长方体的表面积；再根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，用3.14×（10÷2）2×10即可求出圆柱的体积。
详解：2×3.14×（10÷2）2＋3.14×10×10
＝2×3.14×52＋3.14×10×10
＝2×3.14×25＋3.14×10×10
＝157＋314
＝471（平方厘米）
471＋（10÷2）×10×2
＝471＋5×10×2
＝471＋100
＝571（平方厘米）
3.14×（10÷2）2×10
＝3.14×52×10
＝3.14×25×10
＝785（立方厘米）
这个长方体的表面积是571平方厘米，体积是785立方厘米。
分析：本题主要考查了圆柱的切拼，明确拼成的近似长方体的表面积比原来的圆柱的表面积增加了两个以圆柱的高为长和半径为宽的长方形的面积，体积不变。
7． 2512 376.8
分析：根据圆柱体积＝底面积×高，圆柱表面积＝侧面积＋底面积，代入数值计算即可解答。
详解：3.14×102×8
＝3.14×800
＝2512（立方厘米）
2×3.14×10＋3.14×102
＝3.14×20＋3.14×100
＝3.14×120
＝376.8（平方厘米）
这个蛋糕的体积是2512立方厘米，涂奶油部分的面积有376.8平方厘米。
分析：本题考查的是圆柱体积和表面积，熟记公式是解答关键。
8． 28.26 46.44
分析：根据题意可知，削成一个最大的圆柱体，圆柱的底面直径等于正方体的棱长，圆柱的高等于正方体的棱长，根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，求出圆柱的底面积；求削去部分的体积，用正方体的体积－圆柱的体积；根据正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长；圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可解答。
详解：3.14×（6÷2）2
＝3.14×32
＝3.14×9
＝28.26（平方分米）
6×6×6－（28.26×6）
＝36×6－169.56
＝216－169.56
＝46.44（立方分米）
把一个棱长是6分米的正方体木料削成一个最大的圆柱体，圆柱的底面积是28.26平方分米，削去部分的体积46.44立方分米。
分析：解答本题的关键明确正方体削成一个最大的圆柱，圆柱的底面直径和高等于正方体的棱长。
9．54
分析：据题意，若干个圆形纸片摞起来可以形成圆柱，圆柱体积表示为：V＝底面积×高，同理，用若干同样的直角三角形纸片摞起来的三棱柱的体积可以表示为：V＝底面积×高，根据三角形面积公式：S＝底×高÷2求出底面直角三角形的面积，再将数据代入求解即可。
详解：由分析可得：
3×4÷2×9
＝12÷2×9
＝6×9
＝54（立方厘米）
综上所述：把若干个圆形纸片摞起来可以形成圆柱，把圆柱的底面积乘高可以得到圆柱的体积。如果把若干个同样的直角三角形纸片摞起来形成的图形叫做三棱柱。请你推测下，图中三棱柱的体积是54立方厘米。
分析：本题考查了通过已知图形的体积求法，来推测三棱柱的体积计算方法，需要牢记圆柱的体积公式和三角形的面积公式。
10．√
分析：根据圆柱的体积公式：V＝sh，由于钢管的底面是环形，所以求钢管的体积用底面环形面积乘高。据此判断。
详解：由于钢管的底面是环形，所以求钢管的体积用底面环形面积乘高。因此，钢管的体积，等于环形面积乘钢管的长。这种说法是正确的。
故答案为：。
分析：此题主要考查圆柱的体积公式的灵活运用。
11．√
分析：根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高；如果两个圆柱的高相等，那么两个圆柱体积比等于这两个圆柱的底面积比，即两个圆柱底面半径的平方比，据此解答。
详解：22∶32＝4∶9
所以，两个圆柱底面半径的比是2∶3，高相等。这两个圆柱体积的比是4∶9。
故答案为：√
分析：利用圆柱的体积公式和比的意义进行解答，关键是熟记公式。
12．×
分析：根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，可知，当高不变的时候，半径扩大2倍，则r2就会扩大4倍，体积也会扩大4倍，如果高再扩大2倍，则在之前的基础上，再扩大2倍，即相当于扩大了4×2＝8倍，由此即可判断。
详解：由分析可知，当圆柱的高扩大2倍，底面半径扩大2倍，它的体积会扩大8倍。
故答案为：×。
分析：本题主要考查圆柱的体积，熟练掌握圆柱的体积公式并灵活运用。
13．×
分析：以长为轴旋转得出的圆柱的底面半径为2米、高为4米；以宽为轴旋转得出的圆柱的底面半径为4米、高为2米；分别计算出两个圆柱的体积比较即可。
详解：以长为轴旋转得出的圆柱的底面半径为2米、高为4米，体积为：
3.14×22×4
＝3.14×16
＝50.24（立方米）
以宽为轴旋转得出的圆柱的底面半径为4米、高为2米，体积为：
3.14×42×2
＝3.14×32
＝100.48（立方米）
由此可知：以它的一条边为轴旋转得出的圆柱的体积为50.24立方米或100.48立方米。
故答案为：×
分析：本题主要考查圆柱的体积公式及圆柱的认识，解题的关键是掌握旋转后得到的圆柱有两种情况。
14．√
分析：圆柱的底面周长C＝2πr，当两个圆柱的底面周长相等时，那么它们的底面半径也相等，底面积也相等，圆柱的体积＝底面积×高，所以它们的体积也相等。
详解：两个圆柱的底面周长和高分别相等，它们的体积也相等。
故答案为：√
分析：牢记圆柱体的体积公式是解题关键。
15．8厘米
分析：根据长方体的体积公式：长×宽×高，把数代入公式即可求出水的体积；由于把这些水倒入圆柱形容器，那么水的体积不变，根据圆柱的提交公式：底面积×高，即用水的体积÷圆柱的底面积＝水深，把数代入即可求解。
详解：10×10×6.28＝628（立方厘米）
628÷[3.14×（10÷2）2]
＝628÷[3.14×52]
＝628÷[3.14×25]
＝628÷78.5
＝8（厘米）
答：这时水深是8厘米。
分析：本题主要考查长方体的体积公式以及圆柱的体积公式，熟练掌握它们的公式并灵活运用。
16．（1）合理
（2）244.92平方厘米
分析：（1）判断标注“净含量282毫升”是否合理，也就是求这个圆柱的容积，求容积和体积的方法一样，，据此即可求出圆柱的体积，再根据“1立方厘米＝1毫升”把单位“立方厘米”换算成“毫升”，即可算出这个易拉罐的容积，最后与282毫升比较，大于等于282毫升即为合理，小于282毫升即为不合理，据此解答。
（2）要求“做这样一个易拉罐，至少需要铝合金材料多少平方厘米”，即求这个圆柱形易拉罐的表面积，，据此解答。
详解：由分析可知：
（1）
＝282.6（立方厘米）
282.6立方厘米＝282.6毫升
282.6＞282，所以标注合理。
答：商家这样标注合理。
（2）
＝244.92（平方厘米）
答：做这样一个易拉罐，至少需要铝合金材料244.92平方厘米。
分析：本题考查圆柱表面积和体积（容积）公式的灵活运用，记住公式是关键。
17．250立方厘米
分析：由题意，浸入的圆柱体的高度是8厘米，浸入部分的体积等于下降的水的体积，下降的水的体积等于高为8－6＝2厘米的圆柱容器的体积；
先用圆柱形容器的容积除以8求出圆柱形容器的底面积，再利用圆柱的体积公式计算出浸入的圆柱体的体积；
因为浸入的8厘米是16厘米的一半，所以体积就是浸入的部分的体积的2倍，再乘2即可解答。
详解：
（立方厘米）
＝
＝250（立方厘米）
答：圆柱B的体积是250立方厘米。
分析：此题考查了学生对圆柱体体积公式的掌握与运用，以及空间想象力。
18．251.2平方厘米；301.44立方厘米
分析：根据题意，把一个圆柱切拼成一个近似长方体，那么长方体的长等于圆柱底面周长的一半，长方体的宽等于圆柱的底面半径，长方体的高等于圆柱的高；拼成的长方体的体积等于圆柱的体积，拼成的长方体的表面积比圆柱的表面积多了两个长方形的面积（长方体的左右面），长方形的宽等于圆柱的底面半径，长方形的长等于圆柱的高；
先用增加的表面积除以2，求出一个长方形的面积，再除以高，即可求出长方体的底面半径；
然后根据圆柱的表面积公式S表＝S侧＋2S底，其中S侧＝2πrh，S底＝πr2；圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求解。
详解：圆柱的底面半径：
48÷2÷6
＝24÷6
＝4（厘米）
圆柱的表面积：
2×3.14×4×6＋3.14×42×2
＝3.14×48＋3.14×16×2
＝150.72＋100.48
＝251.2（平方厘米）
圆柱的体积：
3.14×42×6
＝3.14×16×6
＝301.44（立方厘米）
答：原来圆柱体的表面积是251.2平方厘米，体积是301.44立方厘米。
分析：掌握圆柱切割拼接成长方体后，各部分元素间对应的关系，以及增加的表面积是哪些面的面积，并以此为突破口，利用公式列式计算。
19．25.12立方分米
分析：根据题意可知：如果把圆柱的高截短3分米，表面积就减少18.84平方分米，表面积减少的是高为3分米的圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积公式：S＝ch，用侧面积除以3求出底面周长，进而求得底面半径，再根据圆柱的体积公式：，把数据代入公式解答。
详解：18.84÷3＝6.28（分米）
6.28÷3.14÷2
＝2÷2
＝1（分米）
3.14×1×1×8
＝3.14×8
＝25.12（立方分米）
答：这根圆木体积是25.12立方分米。
分析：此题主要考查圆柱的侧面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
20．87.92平方分米；75.36千克
分析：求做水桶大约需要铁皮的面积，就是求这个无盖水桶的表面积，根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积＋侧面积，代入数据，求出需要铁皮的面积；再根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，求出这个水桶的体积，再乘1，即可求出这个水桶能装水多少千克。
详解：3.14×（4÷2）2＋3.14×4×6
＝3.14×4＋12.56×6
＝12.56＋75.36
＝87.92（平方分米）
3.14×（4÷2）2×6×1
＝3.14×4×6×1
＝12.56×6×1
＝75.36×1
＝75.36（千克）
答：做一个这样的水桶大约用铁皮87.92平方分米，这个水桶能装水75.36千克。
分析：熟练掌握圆柱的表面积公式和圆柱的体积公式是解答本题的关键。

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