资源简介

2.4.2圆的一般方程
课标解读
1.理解圆的一般方程及其特点.
2.掌握圆的一般方程和标准方程的互化.
3.会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题．
学情分析
1.对于圆的标准方程有了初步的认识，并且会用待定系数法和几何法求圆的标准方程
2.通过配方将圆的一般方程化为标准方程易出现错误；不太会求圆的轨迹方程
重难点
重点： 掌握圆的一般方程并会求圆的一般方程
难点：与圆有关的简单的轨迹方程问题
温故导新：
温故圆的标准方程的形式及待定系数法求圆的标准方程的步骤。前面我们已讨论了圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，现将其展开可得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0.可见，任何一个圆的方程都可以变形为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式．请大家思考一下，形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程表示的曲线是不是圆？下面我们来探讨这一方面的问题．
用笔思考：
探究1 圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，能否化为二元二次方程的一般形式？
探究2 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0中的D，E，F满足什么条件时，这个方程表示圆？
探究3 根据教材p86例4，总结待定系数法求圆的一般方程的步骤？
探究4 轨迹与轨迹方程有什么区别与联系？
提示　轨迹是指点在运动过程中形成的图形，是几何问题；轨迹方程是指点的坐标所满足的关系式是代数问题，依赖坐标系的建立.有时候可以将二者一一对应起来，如(x－1)2＋(y－2)2＝4这个轨迹方程表示以(1，2)为圆心，以2为半径的圆.
主动讲解
讨论D，E，F对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0所代表的图形的影响？
讨论教材P87例5有哪些方法可以求轨迹方程
双师导学：
知识梳理一
1．圆的一般方程：当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．
2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
条件 图形
D2＋E2－4F<0 不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0 表示一个点
D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆
注意点：
(1)二元二次方程要想表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项．
(2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0.
3. 几个常见圆的一般方程
(1)过原点的圆的方程: x2+y2+Dx+Ey=0(D,E不全为0),
(2)圆心在y轴上的圆的方程: x2+y2+Ey+F=0(E2-4F>0);
(3)圆心在x轴上的圆的方程, x2+y2+Dx+F=0(D2-4F>0);
(4)圆心在x轴上且过原点的圆的方程: x2+y2+Dx=0(D≠0);
(5)圆心在y轴上且过原点的圆的方程: x2+y2+Ey=0(E≠0).
例1　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆．
(1)求实数m的取值范围；
(2)写出圆心坐标和半径．
解　(1)由表示圆的充要条件，
得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，
解得m<，即实数m的取值范围为.
(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m，1)，半径r＝.
知识梳理二
待定系数法求圆的一般方程的步骤
(1)根据题意设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).
(2)根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组.
(3)解此方程组，求出D，E，F的值.
(4)将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程.
训练2 已知圆经过点(4，2)和(－2，－6)，该圆与坐标轴的四个截距之和为－2，求圆的方程.
解　设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).
∵圆经过点(4，2)和(－2，－6)，
∴
设圆在x轴上的截距为x1，x2，则它们是方程x2＋Dx＋F＝0的两个根，
故x1＋x2＝－D.
设圆在y轴上的截距为y1，y2，则它们是方程y2＋Ey＋F＝0的两个根，
故y1＋y2＝－E.
由已知，得－D＋(－E)＝－2，
即D＋E－2＝0.③
联立①②③，解得D＝－2，E＝4，F＝－20.
∴所求圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.
知识梳理三
常见求轨迹的方法
角度1　定义法求轨迹方程
例3 若线段AB的端点分别在x轴、y轴上运动，且|AB|＝4，求线段AB中点M的轨迹方程.
解　由题意，设原点为O(0，0)，则|OM|＝|AB|＝2，由圆的定义，M在以O(0，0)为圆心，2为半径的圆上，
即x2＋y2＝4，即为M的轨迹方程.
角度2　直接法求轨迹方程
例4 已知圆O的方程为x2＋y2＝9，求经过点A(1，2)的弦的中点P的轨迹方程.
解　法一　设点P的坐标为(x，y).
当AP垂直于x轴，即点P的坐标为(1，0)时符合题意；
当AP垂直于y轴，即点P的坐标为(0，2)时，符合题意；
当点P与点A或点O重合，即点P的坐标为(1，2)或(0，0)时，符合题意；
当x≠0，且x≠1时，根据题意可知AP⊥OP，
即kAP·kOP＝－1，
∵kAP＝，kOP＝，
∴·＝－1，
即＋(y－1)2＝(x≠0，且x≠1).
经检验，点(1，0)，(1，2)，(0，0)，(0，2)也适合上式.
即中点P的轨迹方程为＋(y－1)2＝.
法二　设点P的坐标为(x，y)，则A，P重合或OP⊥AP，总有·＝0，
即(x－1，y－2)·(x，y)＝0，x(x－1)＋y(y－2)＝0，
即x2＋y2－x－2y＝0，亦即＋(y－1)2＝.
角度3　代入法(相关点法)求轨迹方程
例5 已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程.
解　以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立直角坐标系(如图)，则点A(－2，0)，B(2，0)，设C(x，y)，BC中点D(x0，y0).
∴①
∵|AD|＝3，∴(x0＋2)2＋y＝9.②
将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36.
∵点C不能在x轴上，
∴y≠0.
综上，点C的轨迹是以(－6，0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12，0)和(0，0)两点.
轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0).
思维升华　求轨迹方程的三种常用方法
1．直接法求轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当坐标系，设出动点M 的坐标(x，y)；
(2)列出点M 满足条件的集合；
(3)用坐标表示上述条件，列出方程；
(4)将上述方程化简；
(5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点．
2．代入法求轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当坐标系，设出动点M的坐标为(x，y)；
(2)建立x，y与相关点的坐标x0，y0的方程；
(3)用x，y表示x0，y0；
(4)把(x0，y0)代入到相关点满足的方程；
(5)化简方程为最简形式．
3.定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程.
聚焦核心：
圆的一般方程和标准方程的转化
待定系数法求圆的一般方程的步骤
常见的求点的轨迹方程的方法
强化反馈：

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