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第十八章 平行四边形
18.2 特殊的平行四边形
18.2.2菱形（第1课时）
教学目标
1.理解菱形的定义，掌握菱形的性质.
2.了解菱形在生活中的应用实例，能根据菱形性质解决相关问题.
3.理解菱形的面积公式，会选择适当的方法计算菱形的面积.
4.通过观察、实验、猜想、验证、推理交流等数学活动，发展学生的合情推理能力和动手操作能力及应用数学的意识与能力.
教学重难点
重点：菱形的性质定理的证明及应用.
难点：菱形的性质探究及菱形知识的综合应用.
教学过程
导入新课
出示问题：什么叫平行四边形？什么叫矩形？平行四边形和矩形的性质是什么？平行四边形和矩形有什么关系？
教师：我们已经学习了矩形，它是一种特殊的平行四边形，其实还有另外的特殊平行四边形，请看演示：（可用一组对边可以活动的教具（如图1所示）进行演示），改变平行四边形的边，使其一组邻边相等，从而引出菱形的概念.
图1
感受生活
教师：你能说出生活中用到菱形的实例吗？课件展示含有菱形的实物图片，如图2所示.
图2
菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
教师强调注意：菱形具备的两个条件：（1）平行四边形；（2）一组邻边相等.
因为菱形是特殊的平行四边形，所以菱形具有平行四边形所具有的所有性质.由于菱形的特殊性，它还具有哪些性质呢？
探究新知
活动1：猜想菱形的性质.
学生活动：同学们拿出长方形纸片、剪刀，将矩形对折两次，沿图中虚线剪下，再打开，即可得到菱形，如图3所示.
图3
操作完之后，教师提出问题：
（1）它是轴对称图形吗？有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？
（2）哪些线段是相等的？哪些角是相等的？
（3）有哪些是等腰三角形？有哪些是直角三角形？
总结：（1）菱形是一个轴对称图形，它有两条对称轴，对称轴是对角线所在的直线.
（2）菱形的四条边都相等；对角线互相垂直平分并且每一条对角线平分一组对角.
（3）对角线把菱形分成2对分别全等的等腰三角形和 4个全等的直角三角形.
教师：菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分.菱形还具有哪些特殊的性质呢？猜一猜.
学生猜想：1.菱形的四条边都相等.
2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角.
对称性：菱形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心.菱形也是轴对称图形，对角线所在的直线是对称轴.
活动2：证明菱形的性质.
猜想1：菱形的四条边都相等.
图4
已知：如图4所示，四边形ABCD是菱形.
求证：AB＝BC＝CD＝DA.
分析：由菱形的定义，利用平行四边形的性质可使问题得证.
证明：∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB＝AD，四边形ABCD是平行四边形.
∴ AB＝CD，AD＝BC，∴ AB＝BC＝CD＝AD.
定理：菱形的四条边都相等.
几何语言：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB＝BC＝CD＝AD.
猜想2：菱形的两条对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角.
图5
已知：如图5所示，AC，BD是菱形ABCD的两条对角线，AC，BD相交于点O.
求证：（1）AC⊥BD；
（2）AC平分∠BAD，CA平分∠BCD，BD平分∠ABC，DB平分∠ADC.
分析：根据平行四边形对角线互相平分和等腰三角形“三线合一”的性质来证明.
证明：（1）∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AD＝CD，AO＝CO，
∴ AC⊥BD.
（2）∵ AD＝AB，BA＝BC，AC⊥BD，
∴ AC平分∠BAD，BD平分∠ABC.
同理可证CA平分∠BCD，DB平分∠ADC.
定理：菱形的两条对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角.
几何语言：如图5所示，
∵ AC，BD是菱形ABCD的两条对角线，
∴ AC⊥BD，AC平分∠BAD，CA平分∠BCD，BD平分∠ABC，DB平分∠ADC.
活动3：菱形的面积.
教师：如图6所示，菱形是特殊的平行四边形，那么能利用平行四边形的面积公式计算菱形的面积吗？怎样计算？
图6
学生：S菱形＝BC·AE.
教师：除了上述方法外， 能不能把菱形转化成四个直角三角形或两个等腰三角形求其面积呢？
鼓励学生动脑思考，自己探究此题的解答方法，不明白的可在小组内交流意见.
学生总结：
S菱形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝AC·BD.
S菱形＝边长×对应高＝对角线乘积的一半.
注意：教学时教师组织学生总结菱形的性质，从边、角、对角线、对称性四个角度总结，不要忘记“每条对角线平分一组对角”这条性质.根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可利用勾股定理计算菱形中线段的长.
新知应用
图7
例1　如图7所示，菱形花坛ABCD的边长为20 m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）.
解：∵ 花坛ABCD的形状是菱形，
∴ AC⊥BD，∠ABO＝∠ABC＝×60°＝30°.
∴ 在Rt△OAB中，AO＝AB＝×20＝10 （m），
BO＝＝＝（m），
∴ 花坛的两条小路长AC＝2AO＝20.00 m，BD＝2BO＝≈34.64（m），
花坛的面积
S菱形ABCD＝AC·BD＝≈346.4（m2）.
图8
例2　已知：如图8所示，四边形ABCD是菱形，F是AB边上一点，连接DF交AC于点E，连接BE.
求证：∠AFD＝∠CBE.
证明：∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ CB＝CD， CA平分∠BCD，
∴ ∠BCE＝∠DCE.
又 CE＝CE，∴ △BCE≌△DCE（SAS），
∴ ∠CBE＝∠CDE.
∵ 在菱形ABCD中，AB∥CD， ∴ ∠AFD＝∠CDE，
∴ ∠AFD＝∠CBE.
课堂练习（见导学案“当堂达标”）
参考答案
当堂达标
1.D　2.B
3.D　解析：∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AC⊥BD，
BD平分∠ABC，∴ ∠ABD＝∠ABC＝30°，
∴ AO＝AB＝1.
在Rt△AOB中，BO＝＝＝，
∴ BD＝.
4.　解析：∵ 四边形ABCD为菱形，AB＝2，∠DAB＝60°，
∴ AB＝BC＝CD＝2，∠DCB＝60°.
∵ CE＝CD，CF＝CB，∴ CE＝CF＝，
∴ △CEF为等边三角形，
∴ S△CEF＝×＝.
5.　解析：∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ BO＝DO＝4，AO＝CO，AC⊥BD，
∴ BD＝8.
∵ S菱形ABCD＝AC·BD＝24，
∴ AC＝6，∴ OC＝AC＝3，
∴ BC＝＝5.
∵ S菱形ABCD＝BC·AH＝24，∴ AH＝.
图9
6.解：如图9所示，连接BD，交AC于点O.
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB＝BC＝CD＝AD＝5，AC⊥BD.
∵ AC＝6，∴ AO＝AC＝3.
在Rt△ABO中，由勾股定理得
BO＝＝＝4，
∴ BD＝8.
∴ S菱形ABCD＝AC·BD＝×6×8＝24，
∴ BC·AE＝24，∴ AE＝.
课后提升
证明：（1）∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB＝AD，AD∥BC，
∴ ∠BPA＝∠DAE.
∵ ∠ABC＝∠AED，∴ ∠BAF＝∠ADE.
∵ ∠ABF＝∠BPF，∠BPF＝∠DAE，
∴ ∠ABF＝∠DAE.
在△ABF和△DAE中，
∵
∴ △ABF≌△DAE（ASA）.
（2）∵ △ABF≌△DAE，
∴ AE＝BF，DE＝AF.
∵ AF＝AE+EF＝BF+EF，∴ DE＝BF+EF.
课堂小结
从定义上来谈——有一组邻边相等的平行四边形是 菱形.
从性质上来谈——①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形是轴对称图形；③菱形的四条边都相等；④菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角.
从计算上来谈—— ①有关菱形的问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决；②菱形的面积等于它的对角线乘积的一半.
布置作业
教材第57页练习第1，2题.
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18.2.2　菱形（第1课时）
一、菱形的定义： 二、菱形的性质： 1.边的性质； 2.角的性质； 3.对角线的性质； 4.对称性. 三、菱形的面积计算公式 例1　例2

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