资源简介

《1.1.1函数的平均变化率》教学设计
（共1课时，第1课时）
【课程标准要求】
通过实例理解函数的平均变化率。
【教学目标】
1.理解函数平均变化率的概念。
2.会求函数的平均变化率。
3.会利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题。
【学情与内容分析】
本节课是湘教版高中数学选择性必修第二册《第一章导数及其应用》的第1节，教材通过学生熟悉的概念平均速度出发，结合两个实例介绍函数在指定区间的平均变化率，并且总结归纳出一般函数的平均变化率概念，在此基础上，引导学生掌握求函数平均变化率的一般步骤.教材例题的设计，从直线运动的物体的平均速度到曲线运动的物体的平均速度，从物体的平均速度到一般函数的平均变化率，是一个逐步抽象，由特殊到一般的过程.它是从具体的实际背景出发，到舍去物理背景得到数学对象的过程，不断渗透了数学抽象的素养.新课程标准提出，通过实例分析，学生经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景。平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有极其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础.
【教学准备】希沃课件。
【难、重点】
重点：理解函数平均变化率的概念．
难点：1.会求函数的平均变化率；
2.会利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题.
【教学过程】
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
㈠情景引入 情景问题：我们都非常熟悉平均速度这个概念，如何求出一个运动物体的在一个时段的平均速度呢？ （1）物体在直线上运动，如果匀速，那么任何时段平均速度不变； （2）物体在直线上做变速运动，如何求某事段的平均速度？ 学生通过讨论，教师概括，若在某直线上运动的物体在任何时刻的位置均可用表示，则从时刻到时刻的位移为，所化的时间为，所以这段时间的平均速度为 . 教师提出如何求出一个运动物体的平均速度的问题，学生思考回答，教师概括出求平均速度的一般方法. 1．从学生熟悉的具体情境出发，复合学生认知规律. 2．学生思考探究，为后面学习中的概括抽象提供基础.
㈡新知探索 通过教材中给出的两个具体例子作为引例，进一步理解平均速度的概念，并且总结概括出一般函数的平均变化率的定义. 【引例1】（课本例1）设数轴上的动点在任何时刻的位置都能用来表示，求该点在时间段内的平均速度. 分析： 计算得到 ，可见，点在任意时间段内的平均速度都为0.5，所以它做匀速直线运动.作出的图像，可以发现就是图像上两点之间的线段的斜率. 【引例2】（课本例2）某物体做自由落体运动，其运动方程为，其中t为下落的时间（单位：），为重力加速度，大小为,求它在时间段内的平均速度. 分析：所求平均速度为 引导学生发现，函数的自变量不一定是时刻，因变量不一定表示位置，因而也不一定表示平均速度，但仍然反应了随自变量的变化快慢和变化方向，因而，我们把称为函数在上的平均变化率. 1.结合两个例子，引导学生体会函数为直线或曲线时.都能够同样计算平均速度； 2.让同学们结合图形，理解平均速度的几何意义就是两点连线所得线段的斜率. 3.引导同学们理解，不一定表示位置，因而也不一定表示平均速度，从而概括平均变化率的概念. 由具体的物理情境中的平均变化速度概念，抽象 概括出一般函数的平均变化率概念.体现由特殊到一般数学抽象的过程.
㈢典例剖析 例3．在正弦曲线上取两点，求直线的的斜率． 分析：直接通过两点坐标运算斜率. 解: 例 4．充满气的气球近似为球体 在给气球充气时，我们都知道，开始充气时，气球膨胀较快，随后膨胀速度逐渐缓慢下来 气球膨胀实际上就是气球半径增大，表面积增大，体积增大．试描述气球的半径相对于体积的平均变化率． 分析：由生活事实可知，随着气球体积的增大，半径的增长越来越缓慢，引导学生通过平均变化率来描述这一事实. 解;设气球的半径为体积为，则，所以， 当时，半径的平均变化率为， 当时，半径的平均变化率为 由上面两个结果，随着气球体积的逐渐增大，气球的半径的平均变化率逐渐变小. 例 5．已知函数，分别计算它们在区间上的平均变化率． 分析：此题是平均变化率的实际应用，根据上题总结的一般步骤，可以代入求解. 解： 函数在上的平均变化率为，在上的平均变化率为， 函数在上的平均变化率为，在上的平均变化率为. 1.教师提出问题，学生之间进行充分交流、讨论、探究活动. 2.例4由教师板书过程，起到示范作用；例5由学生到黑板板书，教师点评. 3.通过例4的教学，教师总结求平均变换率的一般步骤：第一步，求函数值的变化量；第二步，求自变量的变化量；第三步，作商得出结果. 4.通过3个例子，让学生阐述总结三个例子的共同点和不同点，进一步深化对平均变化率概念的理解，让学生能够脱离实际背景，抽象得到数学概念. 例 3 的设置，再次强化平均变化率的几何意义，即线段的斜率. 例4 从生活实际问题入手,再次体会平均变化率是可以反映因变量随自变量变化快慢的一个量 ,加深对概念的直观理解，并有效地引导学生更好地分析问题和理解问题和解决问题. 例5的设置是巩固强化作用，让学生进行概念的具体应用. 以上3个例子，既有三角函数，又有二次函数和三次函数等幂函数；既有平均变化率的几何解释，又有平均变化率的实际意义，教学过程要引导学生舍去物理背景，抽象出概念，渗透数学抽象的素养.
㈣练习巩固 练习 1. 小球在光滑斜面上向下滚动，从开始滚动算起时间内所经过的距离为，求小球在时间段内的平均速度. 练习 2. 已知某化学物质在溶液中反应时的浓度随时间变化而变化（温度不变），下表记录了某温度下，该化学物质在溶液中反应时不同时刻的浓度. 试根据上表求下列时间段内的平均反应速率 （1）；（2）；（3）. 1.学生自主写出练习1和练习2的解题过程. 2.依次投影展示部分学生的两个题目的解答过程，请其余学生对比纠正错误. 3.让学生回答练习2中的浓度平均变化率的实际意义，并比较说明三个时段变换率的差别. 学生自己分析问题、解决问题、处理问题，培养自主探究能力. 练习1回顾了平均速度的概念，再次巩固平均变化率产生的物理背景. 练习2通过表格数据来表示函数，结合本节课例题的不同函数表现形式，再次突出概念的本质属性，同时，以化学浓度作为问题背景，通过平均变化率去描述它发展过程中的阶段变化，体现了数学的应用性.
㈤ 归纳小结 本节课学习了什么内容 结束语：平均变化率的概念；求函数平均变化率的一般步骤. 总结整节课所学知识,升华数学思想.
【板书设计】
1.平均速度 平均变化率； 2.函数平均变化率的概念； 3.函数平均变化率的几何意义； 4.求函数平均变化率的一般步骤. 希沃课件投影区域 例3、例4、例5讲解以及板书
【评价设计】
【作业设计】
完成导学案内容
2、教材P5 练习题1，2，3
【教学反思】《1.1.2瞬时变化率与导数》教学设计
（共1课时，第1课时）
【课程标准要求】
通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景。
【教学目标】
1.利用生活中的实际问题，为了描述运动物体任意时刻的速度，引入瞬时变化率的概念。
2.通过伽利略和牛顿的实验推导过程总结瞬时变化率的定义。
3.经过本节课的学习，能够理解并运用瞬时变化率解决实际问题，并能理解导数的涵义。
【学情与内容分析】
上节课从平均速度出发通过极限的方法得到瞬时速度，本节课推广到不限于表达运动过程的函数，抽象概括得到瞬时变化率的概念（又称为函数的导数或者微商），要求学生掌握导数的符号表示和概念，区分导数和导函数，通过实例的演练，掌握求瞬时变化率的步骤，结合具体问题情境，链接其物理意义.
【教学准备】多媒体课件。
【难重点】
重点：瞬时变化率（导数）的概念.
难点：导数和导函数的区别，利用导数或者导函数的定义来求导数或者导函数.
【教学过程】
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
㈠ 复习引入 复习．在物理情境中，平均速度的概念？瞬时速度的概念？ 问题．一个函数, 既可以描述运动，也可以描述其他过程，能否根据平均速度和瞬时速度的概念推断出函数的平均变化率和瞬时变化率的概念？ 1.开头语：在前面学均速度和瞬时速度的概念，而, 既可以描述运动，也可以描述其他过程,据此定义函数的平均变化率和瞬时变化率 2.引导学生交流讨论，口答复习题，思考问题. 复习平均速度和瞬时速度，对概念进一步抽象，从而得到函数的平均变化率和瞬时变化率的定义.
㈡ 新知探索 问题1：函数的平均变化率 1.试试：对于函数 ，设自变量从变化到函数值就从变化到这时，的变化量为的变化量为 ，我们把比值，即= 叫做从到的平均变化率. 2、若函数为常数函数，=？ 问题2：函数的瞬时变化率（导数） 1.试试：设函数 在包含的某个区间上有定义，在时，平均变化率 有确定的极限值，则称这个值为该函数在的瞬时变化率，也称为在处的导数或者微商，记作= 。这时我们说在点处的导数存在，或者说在点处可导或可微. 2.在处的导数与和是否有关？为什么？ 3.概括求在处导数的步骤. 1.学生根据提示自行填空，给出函数的平均变化率和瞬时变化率（导数）的概念. 2.教师需要从极限的角度分析问题，并且重点讲解概念中的细节，引导学生归纳求函数在某点的导数值的步骤. 问题引导思考，从而正确理解函数的平均变化率和导数，培养学生使用极限法解决问题.
㈢ 典例剖析 例1. 设函数求： (1)当自变量由1变到时，函数的平均变化率；(2)函数在处的导数. 例2．设是可导函数，且 则（ ） 1. 给出例1，学生自行根据定义来求解函数在某区间上的平均变化率和在某处的导数值，教师展示学生的书写过程，并点评。 2. 给出例2，讲解导函数的定义。 例1帮助学生熟悉求导数的具体过程，深化对概念的理解。 例2为深化对导数定义式和极限法的理解。
㈣ 新知探索 问题3：导函数的定义 1.若在定义区间中任一点的导数都存在，则也是的函数，我们把叫作的导函数或一阶导数，表示为 2.导数和导函数的联系和区别？ 教师给出导函数的定义，让学生比较导数和导函数的异同点。 培养学生通过比较法掌握基本概念的能力。
㈤ 典例剖析 例3. 设函数求. 通过导函数的定义和求导数的步骤，学生自主求解导函数，教师展示优秀答卷并板书过程。 类比迁移求导函数的步骤和过程。
㈥ 练习巩固 练1.设函数 在处可导，且，则等于 练2.一个物体的运动方程为，其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在时的瞬时速度是 米秒 练3.设函数 则 。 给出练习1、练习2和练习3，请学生在学案、或书、或练习纸上写出各题答案，然后利用希沃授课助手，依次展示三个学生练习，请其余学生纠正错误，指出相关知识点. 练习1强化导数的概念. 练习2在物理情景中强化求导数的方法. 练习3强化求导函数的方法.
㈦ 归纳小结 本节课学习了一些？ 使用希沃白板5思维导图总结. 系统梳理整节课所学内容.
【板书设计】
（例1过程） （例2关键过程） （例3过程） （练1、练2、练3关键过程） 希沃课件投影区域 （函数平均变化率表达式） （导数定义式） （导函数定义式）
【评价设计】
【作业设计】
1、完成导学案内容
2、教材P10 1、2、3题
【教学反思】《1.1.3导数的几何意义》教学设计
（共1课时，第1课时）
【课程标准要求】
通过函数图像直观理解导数的几何意义。
【教学目标】
1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系。
2.理解曲线的切线的概念。
3.通过函数的图象直观地理解导数的几何意义并会用导数的几何意义求函数图象的切线。
【学情与内容分析】
本节课从内容背后的数学思想方法看，在本节课学习过程中，学生通过自主探究与合作交流，经历由特殊到一般、具体到抽象、量变到质变的过程，用运动变化的观点理解割线如何逼近成切线，真切感受、体会数形结合思想，同时深化对逼近思想、极限思想、以直代曲思想的理解.
从知识发生发展过程的角度看，导数几何意义的学习，一方面能将导数“数形融通”，以“形”助“数”，以“数”论“形”，达到概念学习的完整结构；另一方面，能使学生对曲线切线含义的理解在思维层次方面获得提升，它不是从公共点个数的角度来定义，而是由割线绕其一个交点旋转来逼近，把曲线的切线上升到一个新的思维层面，使学生深刻体会到对事物本质的探索是一个不断深入、去伪存真、由表及里、修正调整的过程，以及面对知识时质疑、创新、联系的科学精神.
【教学准备】多媒体课件。
【难重点】
重点：导数的几何意义及其应用，“以直代曲”、“数形结合”的数学思想.
难点：极限思想、导数几何意义的理解及应用.
【教学过程】
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
㈠ 情景引入 情景问题：某质点在运动过程中位移s（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系式为，那么s时的瞬时速度是多少？速度关于时间t的导数又是什么呢？ 1. 开始语：前面几节我们分别学习了函数的平均变化率、瞬时变化率及导数，你能准确叙述相关定义吗？ 2. 结合相关概念，你能回答上面问题吗？ 1.回顾复习，为本节做知识准备； 2.紧扣导数的本质设置情景问题，顺利自然引入新授内容.
㈡ 新知探索 探究活动：导数的几何意义 如图，是曲线上的一个定点， 是曲线上的一个动点. 问题1：写出在上的平均变化率；它有什么几何意义？ 问题2：当点沿曲线趋于点，割线有什么变化特征？ 问题3：当点沿曲线无限逼近于点时，直线最终变成什么？ 问题4：割线的斜率与切线的斜率k有什么关系呢？ 问题5：你能概括出导数的几何意义吗？ 问题6：曲线在一点处的切线和你以前所了解的圆的切线有什么异同？ 1.结合课本引例，通过问题串的形式，引导学生在平均变化率、瞬时变化率、导数、割线、切线、斜率等已有知识的基础上探究发现他们之间的联系，体会无限逼近的思想，数形对照的过程中自然地形成对新知的构建. 2.（数学史拓展） 古希腊数学家欧几里得最早定义了圆的切线，接着数学家又沿用类似的方法定义了圆锥曲线等切线，但其仍局限在静态的定义下——与曲线只有一个公共点且位于曲线一侧的直线，十七世纪下叶，切线为割线的极限位置的思想初成共识，德国数学家莱布尼兹将“曲线上无限接近的两点的连线”定义为切线，此间，切线定义从静态走向动态跨越了两千年的时间. 1.通过完整的探究环节、生生互动、师生共析、数形结合，使学生从直观感受上升到理性思考，抽象概括出导数的几何意义，数学知识的产生水到渠成. 2.通过重构式教学模式的运用，有机自然地将数学史中“切线的演变历程”融入课堂，使学生深刻体会到对事物本质的探索是一个不断深入、去伪存真、由表及里的过程.
㈢ 典例剖析 例9．求函数的图象上点处切线的斜率. 例10．求曲线在点处切线的斜率. 例11．若曲线存在斜率为1的切线，试求出切线方程. 1. 给出例9，通过求函数图象上某点处的切线斜率，引导学生熟悉运用导数定义来求切线斜率. 2. 给出例10，强化学生运用导数定义来求曲线在确定点处的切线斜率. 3. 给出例11，求曲线满足指定条件的切线方程，给出了未知切点求切线斜率的一般方法. 例9与例10帮助理解导数的几何意义，强化利用导数的几何意义来求切线斜率. 例11在掌握会利用导数的几何意义求曲线在某一点处的切线的斜率基础之上，如何灵活运用相关知识解决变式问题.
㈣ 练习巩固 练习1. 设是曲线上一点，求曲线在点处切线的斜率. 练习2. 判断曲线在点处是否有切线，如果有，求出切线的斜率. 练习3. 求曲线过点的切线方程. 依次给出练习1、练习2，练习3，学生在学案、或书、或练习纸上写出各题答案. 利用希沃授课助手，依次展示两个学生练习，请其余学生请纠正错误，指出所应用的知识点. 练习1强化学生利用导数的几何意义求在某一点出的切线斜率； 练习2设问方式灵活，让学生判断在曲线上某一点是否有切线，如果有，求出切线斜率； 练习3曲线求过某一点的切线方程，让学生体会“在”与“过”一字之差的区别.
㈤ 归纳小结 本节课学习了一些？ 使用希沃白板5思维导图总结. 系统梳理整节课所学内容.
【板书设计】
导数的几何意义 曲线在某一点的切线方程 “在”与“过”的区别 希沃课件投影区域 复习回顾 课堂小结
【评价设计】
【作业设计】
1、完成导学案内容
2、教材P14 5、6、7
【教学反思】

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