资源简介

《1.2.1几个基本函数的导数（1）——常见幂函数的导数》教学设计
（共1课时，第1课时）
【课程标准要求】
用导函数的定义推导函数的导数公式。
【教学目标】
1.理解各个公式的证明过程，进一步理解运用概念求导数的方法.
2.掌握常见幂函数的导数公式.
3.灵活运用公式求某些函数的导数.
【学情与内容分析】
本节课在导数概念学习的基础上，本节课进一步运用导数定义推导出几个常用的幂函数导数公式，引导学生从运用导数定义解决问题向运用导数公式解决问题的思路转化，训练学生直接运用导数公式来计算导数和解决具体问题，感受求导公式的便利性，降低思维难度，进一步提升数学能力和素养.
【教学准备】希沃课件。
【难重点】
重点：掌握几个常用的幂函数的导数公式，并能进行简单的应用.
难点：用定义推导函数的导数公式.
【教学过程】
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
㈠ 创设情境 问题1：不饱和食盐溶液蒸发到一定程度时，会慢慢析出氯化钠晶体.已知氯化钠晶体为立方体形状，当立方体的棱长变化时，其体积关于的变化率是立方体表面积的多少？ 师：引导学生分析问题，列出关系式. 生：分析，列式，化简. 1. 结合生活实际，引出定义法求解具体函数的导数. 2. 经历数学抽象的过程，提升学生的数学建模素养.
㈡ 旧知回顾 复习：定义法求解函数导数有哪些步骤？ 师：回顾，概括. 生：回顾. 回顾定义法求解函数导数的步骤.
㈢ 新知探索 问题2：能否利用定义法求常见的幂函数 的导数呢？ 师：引导，概括. 生：思考问题，动笔计算，得出结论. 引发思考，拓展新知.
㈣ 讨论升华 讨论：刚才推导的这几个公式有何共同点？ 师：引导学生总结概括. 生：总结概括. 对实际问题提炼归纳，提升直观想象和数学抽象核心素养.
㈤ 典例剖析 例1．用导数公式求解问题1. 例2．写出过点，并且和曲线相切的直线方程. 师：板书，规范答题过程. 生：口答解题思路. 例1让学生体会定义法和公式法求解问题区别，在对比中提升逻辑推理和数学运算核心素养.例2旨在灵活运用导数公式解决实际问题.
㈥ 练习巩固 练习. 正方形的边长变化时， 其面积关于的变化率是正方形周长的多少？ 求曲线在点处的切线方程. 求曲线在点处的切线方程. 生：学生当堂练习，上黑板板演. 师：利用希沃授课助手，展示学生练习，点评小结. 通过练习，巩固所学知识，发现学生错误并及时纠正.
㈦ 归纳小结 本节课有哪些收获？ 师：引导，概括. 生：口答回忆所学，整理. 系统梳理整节课所学内容.
【板书设计】
（情景题简解） （定义法求导数步骤） （几个常用的幂函数公式） 希沃课件投影区域 （2道例题解答） （讲课草稿演算区） （学生板演区）
【评价设计】
【作业设计】
1、完成导学案内容
2、教材P26 2、3、4
【教学反思】《1.2.1几个基本函数的导数（2）——一些基本初等函数的导数》教学设计
（共1课时，第1课时）
【课程标准要求】
利用导函数的的概念给出基本初等函数的导数公式。
【教学目标】
1．熟练掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单应用；
2．培养学生分析、抽象、概括等思维能力，提升数学运算与数学抽象核心素养；体会导数的思想及内涵，完善对切线的认识和理解.
3．培养学生从特殊到一般、数形结合、以直代曲、转化与化归的思想方法的渗透.
【学情与内容分析】
在前面学习的基础上，本节侧重于推导一些基本初等函数的导数及导数运算法则，本课是第二课时，在已经几个常用的幂函数导数公式的基础上，记忆一些基本初等函数的求导公式，训练学生直接运用导数公式来计算导数和解决具体问题，感受求导公式的便利性，降低思维难度，进一步提升数学能力和素养.
【教学准备】希沃课件。
【难重点】
重点：基本初等函数的导数公式
难点：运用基本初等函数的导数公式求导
【教学过程】
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
㈠ 旧知回顾 几个常用函数的导数 . . . . . 开始语：上节课我们学习了几类常见幂函数的导数，复习一下. 能总结一般的幂函数的导数吗？ 复习上节课的幂函数求导公式.
㈡ 问题导入 问题：我们还学过指数函数、对数函数和三角函数，它们的导数又如何来计算呢？ 引出课题. 让学生尝试用导数的定义来求导，发现很难进行. 设问引发学生思考,并尝试用导数定义证明.
㈢ 新知探索 基本初等函数的导数公式： 公式直接给出 教给学生按函数类型来相关记忆 给学生3分钟记忆时间 对于这些初等函数的导数公式目前不能推导，要求直接记忆
㈣ 典例剖析 例1 用基本初等函数的导数公式计算： 例2 （1）求曲线在处的切线方程 （2）利用切线的斜率求的近似值. 师：背完公式看看这些函数的导数咱们会不会求. 师：学完公式以后再来试试求曲线上一点的切线方程. 生：采用公式求导得斜率，真是太方便了！ 师：求近似值，你有好办法吗？ 师：曲线在原点O附近与切线非常接近，说明 例1：熟悉求导公式 例2：第一问训练求曲线上某一处的切线方程；第二问训练学生利用切线斜率求函数值的近似值，体会以直代曲的思想.
㈤ 变式拓展 例3 求下列函数的导数 （1）; (2)；（3）. 解：（1）; （2）； （3） 例4 已知 则__________. 解： ，所以呈的周期变化，又，. 师：再来看看两道挑战题. 进一步熟悉公式，并能简单应用.
㈥ 归纳小结 本节课学习了一些？ 使用希沃白板5思维导图总结. 系统梳理整节课所学内容.
【板书设计】
（基本初等函数的求导公式）（例1、例2的主要解析步骤） 希沃课件投影区域 （例3、例4的主要解析步骤） （讲课草稿演算区）
【评价设计】
【作业设计】
完成本节导学案内容；
教材P27 5、6题
【教学反思】《1.2.2函数和差积商的求导法则（1）——函数和差积的求导法则》教学设计
（共1课时，第1课时）
【课程标准要求】
利用导数的概念推导出函数的和差积法则。
【教学目标】
1、让学生经历求函数的和差积的求导法则的推导过程，培养学生分析、抽象等思维能力，提升数学运算与数学抽象核心素养.
2、这一节将重心放在运用导数公式来求函数的导数上，与前面运用导数定义的方法形成对比，从而让学生感受求导公式带来的便利性，增强学生学习导数的信心，激发学生学习兴趣，引导学生领悟特殊与一般、有限与无限，量变与质变的辩证关系，感受数学的统一美，意识到数学的应用价值，提升直观想象和逻辑推理核心素养.
【学情与内容分析】
本节内容，一是通过前面计算过的导数，由导数定义可以算出的导数，观察发现进而用导数定义证明得到：函数常数倍的导数，等于常数乘函数的导数；二是前面计算具体函数的导数，观察发现并且证明得到：和函数的导数等于两函数的导数和，差函数的导数等于两函数的导数差；三是利用导数定义，发现证明得到函数乘积的导数. 四是能运用导数的几何意义结合导数的和差积运算法则，求过曲线上一点的切线方程.这节课从已知的具体函数出发，通过观察猜想、尝试探究、类比归纳、推理证明，得到函数和差积的求导法则，这对落实核心素养的培养要求将产生积极的意义. 课程标准对本节课内容未提出具体要求，但湘教版教材开设一节专题学习，彰显了湘教版教材注重数学本质的教学，强调数学思想内涵的理解和应用，注重数学核心素养的培养.
【教学准备】希沃课件。
【难重点】
重点：理解函数的和、差、积的求导法则；加深对积的求导法则理解，强调“先化简变形，再实施求导”的基本思想方法；能运用法则求简单函数的导数.
难点：函数的和、差、积的求导法则的灵活应用．
【教学过程】
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
㈠ 复习引入 复习．1.回顾几个基本初等函数的导数 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） 2.回顾导数定义 老师提问，学生回答 . 复习前面所学几个基本初等函数导数，有利于本节课的顺利开展.
㈡ 新知探索 学生尝试：利用导数的定义求的导数. 猜想：如果函数，则F(x)的导数是不是和实数的乘积呢？ 推导： 因而， 所以函数常数倍的导数，等于乘函数的导数 学生探究：前面计算过函数 在处的导数，其结果是否等于这三项在处的导数之和呢？你发现了什么？ 猜想：和函数的导数等于两函数的导数和. 推导：定义法. 即两函数之和的求导法则为 类似地，两函数之差的求导法则为 从具体函数引导学生观察发现：函数常数倍的导数，等于乘函数的导数；和函数的导数等于导数和.进而用导数定义证明推到出两函数之和的导数. 引导学生采用类比思想，得到两函数之差的求导法则. 从具体实例出发引导学生思考，尝试探究，归纳出一般结论.再进行逻辑推理证明得到一般结论.渗透数学核心素养.
㈢ 典例剖析 例1.求曲线在与直线相交处的切线方程. 给出例1，引导学生直接利用导数的运算法则解决问题. 教师板书，形成示范. 例1帮助学生掌握函数和差的求导法则的灵活应用，进一步提升核心素养.
㈣ 新知探索 问题：我们如何能得到的导数呢？ 结合导数定义，经过推导， 我们可得函数乘积的求导法则为 师生一起推导，结合函数导数的定义，得出函数乘积的导数法则. 通过引导，学生完全可以自主的推导出函数乘积的求导法则.
㈤ 典例剖析 例2．求函数的导数 方法：熟练使用函数乘积的求导法则. 学生动手，老师纠正. 旨在让学生熟练使用函数乘积的求导法则.
㈥ 练习巩固 练习1. 求曲线平行于轴的切线方程. 练习2. 求下列函数的导数： ； ； . 给出练习1、2，请学生在学案、或书、或练习纸上写出各题答案，然后利用希沃授课助手，依次展示两个学生练习，请其余学生纠正错误，指出相关知识点. 练习1强化函数的导数和差积的求导法则. 练习2强化导数的法则的灵活运用.
㈦ 归纳小结 本节课有哪些收获？ 让学生回忆本节课有哪些收获. 系统梳理整节课所学内容.
【板书设计】
（例1过程） （例2关键过程） （练习1、练习2关键过程） 希沃课件投影区域 导数的运算法则和推导过程的书写
【评价设计】
【作业设计】
完成导学案内容；
教材P23 1、2题
【教学反思】《1.2.2函数和差积商的求导法则（2）——函数的倒数与商的求导法则》教学设计
（共1课时，第1课时）
【课程标准要求】
利用导数的概念推导出函数的倒数与商的法则。
【教学目标】
理解函数倒数与商的求导法则，学会求复杂形式的函数的导数；
理解函数导数的几何意义，进一步感受到导数解决函数图像问题的工具作用，体会数形结合思想.
【学情与内容分析】
本节课以前面所学的函数和的求导法则为基础，抓住导数求导的定义，证明出函数商的求导法则.本节课从入手，直接利用定义推导出结论，然后再利用函数倒数和函数和的求导法则得出的求导方法，这一手法设计巧妙，大大降低了直接使用定义求的导数的难度，有利于学生理解和记忆.
本节内容，一是抓住函数倒数求导法则的证明方法，会使用和掌握导数的定义；二是能把函数倒数和商的求导法则应用到具体的函数上；三是利用函数的求导法则解决复杂函数的切线和图像问题. 通过数与形的有机结合，能实现导数的教育价值，也能进一步体会到导数解决函数问题的重要手段，这对落实核心素养的培养要求将产生积极的意义. 课程标准对本节课内容未提出具体要求，但湘教版教材开设一节专题学习，彰显了湘教版教材注重数学本质的教学，强调数学思想内涵的理解和应用.
【教学准备】希沃课件。
【难重点】
重点：灵活应用函数的倒数和商的求导法则.
难点：函数的倒数和商的求导法则的综合应用．
【教学过程】
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
㈠ 复习引入 复习．回顾一下函数的求导法则 （1）基本初等函数的求导法则？ （2）函数和与商的求导法则，则 . . 问题．掌握以上公式能解决所有函数的导数？ 1. 开始语：前面学习了函数和与积的求导法则. 2. 引导学生交流讨论，口答基本初等函数的导数，思考函数倒数的导数？. 复习前面所学基本初等函数导数，以及函数和与积的求导法则.
㈡ 新知探索 问题：如果函数是 我们该如何计算导数？ 试试：利用导数的定义 ，，，所以函数，从而得到倒数的求导法则， . 利导数的定义证明函数倒数的求导法则，熟悉导数的原始定义，并且渗透函数连续的概念，从而得出结论. 从问题出发引导学生思考，从而正确运用导数的定义.
㈢ 典例剖析 例1.求函数的导数. 解： 例2．求函数的导数. 解： 1. 给出例1，引导学生直接利用公式求得导数. 2. 给出例2，复杂函数的倒数的导数，进一步熟悉函数倒数的求导法则. 例1帮助掌握基本初等函数的倒数的求导. 例2引入更为复杂的函数，进一步熟悉函数倒数的求导法则.
㈣ 新知探索 问题：我们如何能得到的导数呢？ 结合函数积和倒数的导数，我们可得 师生一起推导，结合函数积和导数的导数，得出商的导数法则. 通过引导，学生完全可以自主的推导出函数商的求导法则.
㈤ 典例剖析 例3．求下列函数的导数 （1）；（2）（3） 方法：熟练使用函数商的求导法则. 例3有两种思路.思路1：直接使用函数商的求导法则； 思路2：先分离常数，在求导. 帮助掌握函数商的求导法则.
㈥ 练习巩固 练习1. 求下列函数的导数： （1）；（2）； （3）. 练习2. 求的导数. 练习3.求曲线在处的切线方程. 给出练习1、2、3，请学生在学案、或书、或练习纸上写出各题答案，然后利用希沃授课助手，依次展示两个学生练习，请其余学生纠正错误，指出相关知识点. 练习1和2强化函数的导数和商的求导法则. 练习3强化导数的几何意义.
㈦ 归纳小结 本节课学习了一些？ 使用希沃白板5思维导图总结. 系统梳理整节课所学内容.
【板书设计】
（例1过程） （例2关键过程） （例3关键过程） （练习1、练习2、3关键过程） 希沃课件投影区域 导数的运算法则和书写
【评价设计】
【作业设计】
完成本节导学案内容；
教材P24 1、2、3
【教学反思】《1.2.3简单复合函数的求导》教学设计
（共1课时，第1课时）
【课程标准要求】
利用导数的概念能求简单的复合函数的导数。
【教学目标】
1.理解掌握复合函数的求导法则。
2.能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导。
3.培养学生善于观察事物，善于发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律。
【学情与内容分析】
本节在教材中起到了“承上启下”的作用，是前几节内容知识的延续，也是后面研究导数在函数中应用等函数综合问题的基础。前几节学习了导数基本概念、基本初等函数的导数公式以及导数的四则运算法则。教材以“你会求的导数吗？”这个问题引入， 这个函数是不能通过基本初等函数的四则运算得到的，旧知识是不能求导的，那么我们有必要去研究这类函数的求导方法，激发学生对新知的求知欲。在求导之前要弄清楚函数的结构，首先是引导学生分析这个特殊复合函数的结构，让学生感受函数的复合过程，初步感知“复合函数”的概念，然后给出了复合函数的一般概念，体会数学抽象的过程。在理解复合函数“复合”的过程中，重点引导学生理解因变量是如何通过中间变量表示为自变量的函数过程，自变量、中间变量、因变量是什么。然后引导学生利用导数的定义来推导复合函数的求导公式，即，最后举例应用。本节主要采用了“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的数学思想方法，体现数学学科核心素养。
【教学准备】多媒体课件，挂图，实物，模型，仪器。
【难重点】
重点：复合函数的结构分析、复合函数的求导法则推导及应用。
难点：复合函数的结构分析、求导法则的推导。
【教学过程】
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
（一） 复 习 巩 固 复习：基本初等函数的导数公式 问题： 哪些导数公式不好记，该如何记？易错点在哪里？ 1. 开始语：前面我们学习了基本初等函数的导数公式以及函数四则运算的求导法则。现在我们来复习一下。 2.老师列出函数，学生口答导数。 3抽查学生函数四则运算求导法则。 老师指出易错点：对数函数和指数函数的求导公式，余弦函数的导数的符号错误。 复习巩固基本初等函数导数公式和四则运算法则，一方面为复合函数求导运算打基础。另一方面可以检测同学们公式的熟练程度。
（二） 问 题 引 入 问题1：如何求 的导数？ 1.给出一个不能由基本初等函数四则运算得到的函数，提问学生该如何求导？ 2.这个函数不能由对数函数和一次函数四则运算表示，不能用公式和法则，引导学生去思考解决问题的方法。 通过问题引导学生去发现有些函数是不能通过基本初等函数四则运算表示和求导，这类函数怎么求导呢？激发学生的学习兴趣指出本节课的学习目标。
（三） 新 知 探 索 探究1： 与哪些函数有关？如何由正弦函数和一次函数复合表示出来？ 探究2： 什么是复合函数？复合函数的概念？ 复合函数的概念： 是关于的函数，是关于的函数，则是关于的函数，称为和的复合函数。 1. 与正弦函数和一次函数有关，可以看作是一次函数的正弦。 2.若设，则，从而可以看作是和经过“复合”得到的，即通过中间变量表示为自变量的函数，. 3. 同学尝试总结归纳复合函数的概念。 4．老师完善后得到复合函数的概念： 是关于的函数，是关于的函数，则是关于的函数，称为和的复合函数。强调：自变量、中间变量、因变量。 1.提问学生这个函数与哪些函数有关？引导学生把这个函数和一次函数与对数函数联系起来，提示思考的方向。 2. 强调自变量、中间变量、因变量，让学生感受函数“复合”的过程，帮助学生理解复合函数的概念。将函数复合过程推广到一般简单复合函数，在推广过程中，体会从具体到抽象、从特殊到一般的思想方法。
（四）典 例 剖 析 例1：判断下列函数是不是复合函数？若是，则是由哪些函数复合的 问题2：你能举出复合函数的例子吗？能说明“复合”过程吗？ 1.给出一些复合函数，让学生去分析函数结构，进一步感受函数的“复合”过程。 2.让学生列举复合函数，让其他同学回答复合过程。 1.通过特例让学生感知函数“复合”的过程，2.同学举例复合函数并回答复合过程。加深复合函数“复合”过程的理解。
（五）新 知 探 索 探究3：如何利用导数的定义推导复合函数的导数呢？ ，记，则 探究4：求的导数 设，则 ， 则 探究5： 求的导数 。 设 则 过程：按求导法则得出一般性结论。 1.师生一起来推导复合函数的求导公式。 2.师生一起运用复合函数求导公式解决提出的问题。 3.学生讨论求出的求导公式。 1.和学生一起推导求导公式（虽然有点难）可以帮助学生更好的理解、运用求导法则。 2..让学生讨论求的导数，也正好考察学生对一般复合函数求导的数学抽象能力。
（六）典 例 剖 析 例2：求下列函数的导数 （1） （2） (3) 解： （1） (2) (3) 例3：某个弹簧振子在振动过程中的位移与时间的关系为： 求函数在时的导数，并解释它的实际意义。 例4.已知的导数是， 求 ？ 1.给出例2，让学生先分析复合函数结构，再用法则。教师板书示范 2.给出例3，体会导数在物理中的实际应用，板书关键过程 3.给出例4，让学生理解导函数与具体导数值的区别与联系。板书关键过程 1.板书例题2让学生掌握复合函数求导法则 以及书写的规范. 2.给出例3，让学生体会复合函数求导在物理中的应用。 3.给出例4,让学生理解导函数与具体的导数值的区别，灵活应用解题。
（七） 练 习 巩 固 1.求下列函数的导数 ， 2.求曲线 在点处的切线方程 学生独立思考上黑板板书 同学们纠错，教师补充完善. 1.通过例题和练习，巩固所学知识，鼓励学生发现错误并及时纠正，更好的掌握本节课的重点。
（八） 归纳小结 这节课我们学到了什么？ 1.什么是复合函数？ 2.复合函数求导法则？ 3.导函数与导数值的区别与联系 4.注意事项、易错点 学生总结:这节课的收获，教师完善。 使用希沃白板5思维导图总结. 2.学生先利用希沃白板5思维导图总结本节课的学习内容，老师完善和补充，指出本节涉及的数学思想和本单元的研究方法.提升学生对数学内容的联系性和整体性的认识.，提高数学核心素养。
【板书设计】
（简单复合函数的导数） （问题1） 探究1 探究3 探究4 探究5 希沃课件投影区域 （探究3的推导） （例2的过程） （例3关键步骤） （例4关键步骤） （讲课草稿演算区）
【评价设计】
【作业设计】
完成导学案内容；
教材P26 1题、P27 8题
【教学反思】

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