资源简介

《1.3.1函数的单调性与导数》教学设计
（共1课时，第1课时）
【课程标准要求】
结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，求单调区间。
【教学目标】
1.探索函数的单调性与导数的关系。
2.掌握用导数研究单调性的方法。
3.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间。
【学情与内容分析】
函数单调性是函数的重要性质之一，以往我们是从单调性的定义出发去判断函数在区间上的单调性，但当函数解析式较复杂时，这就困难了，本节课介绍了函数单调性与导数之间的联系，首先通过观察一些具体函数及其导函数的图象，研究这些函数的单调性与它们的导数的正负之间的关系，然后从具体到抽象、从特殊到一般，概括出它们的共性规律，给出一般可导函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，最后通过具体例题引导学生利用导数研究函数的单调性.另外，本小节还从导数的角度解释了函数增减快慢的问题.需要注意的是，教材仅以四个函数及其导函数的图象为基础，归纳出函数单调性与其导数的正负性之间的一般结论，但没有进行严格的证明，这是由于《数学课标（2017版）》不要求证明，而且学生也不具备严格证明所需要的基础知识.本节内容是导数在研究函数中的应用的第一节课，也是后面研究函数极值、最值的基础.
【教学准备】希沃课件。
【难重点】
重点：探索并应用函数的单调性与导数的关系并求单调区间。
难点：探索函数的单调性与导数的关系。
【教学过程】
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
㈠ 复习引入 复习:函数单调性的定义以及判断函数单调性的方法． 问题:如何判断函数的单调性呢？ 师问生答． 引导学生用定义法去解决一些函数的单调性问题，遇到困难，引出课题．
㈡ 新知探索 给出四组函数及其导函数的图象，分析函数的单调性与它们的导数的正负之间的关系. 实例1.（图1.3-1 ）函数和它的导函数的图象. 实例2.（图1.3-2）函数和它的导函数的图象. 实例3.（图1.3-3（1））函数和它的导函数的图象. 实例4.（图1.3-3（2）） 函数和它的导函数的图象. 问：通过以上实例，你发现函数单调性与其导数正负之间有什么关系呢？ 归纳：函数单调性与其导数正负之间有如下法则：在区间内，如果，那么函数在此区间单调递增；如果，那么函数在此区间单调递减； 观察以上四个函数及其导函数的图象，探讨函数单调性与其导数正负的关系，引导学生尝试概括共同特征. 通过图象，引导学生借助几何直观探索函数单调性与导数正负之间的关系，体会从特殊到一般，从具体到抽象的过程，降低思维难度.
㈢ 典例剖析 例1. 用导数研究二次函数的单调性. 例2．求函数的单调区间. 例1的二次函数比较简单，不用导数也能解决. 例2老师板演解题过程，让学生总结求函数单调区间的一般步骤： 求定义域； 求导； 解，解集在定义域内的部分为增区间； 解，解集在定义域内的部分为减区间. 例1让学生感受用导数法来判断函数单调性的普适性. 例2中的三次函数学生并不熟悉，不能很好地画出函数简图，也无法轻松地利用定义法找到单调区间，这时就凸显了导数法的优势.
㈣ 新知探索 问：导数的正负对应函数的增减，导数的绝对值大小和函数的性态又有什么关系呢？ 归纳：函数的导数就是函数值关于自变量的瞬时变化率.变化率的绝对值大说明函数值变得快，绝对值小说明函数值变得慢. 从函数图像上看，导数是切线斜率.斜率的绝对值大说明切线陡，曲线也就陡；斜率的绝对值小说明切线较平，曲线也就平缓一些. 师生归纳. 数形结合，回答了由导数绝对值的大小可知函数变化快慢的问题.
㈤ 典例剖析 如图1.3-4，圆C和直角三角形AOB的两边相切，射线OP从OA处开始，绕点O匀速旋转（到OB处为止）时，所扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图象大致为（ ） 例3是一个蕴含着函数关系且有几何背景的题目，教师引导学生分析变化特点得到正确选项. 例3在没有具体函数表达式的条件下，通过函数的示意图，让学生从运动变化的角度感受函数增减快慢的变化，从而获得直观想象的素养训练.
㈥ 练习巩固 练习1. 函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ） 练习2. 用导数判断下列函数的单调性，并求单调区间. ； . 练习3.已知的导函数满足下列条件： 当时，； 当或时，； 当或时，. 试根据上述条件画出函数图象的大致形状. 学生思考并解答. 让学生通过练习加深理解函数的单调性与导数正负的关系并掌握求函数单调区间的一般步骤.
㈦ 归纳小结 本节课学习了一些？ 使用希沃白板5思维导图总结. 系统梳理整节课所学内容.
【板书设计】
函数单调性与导数正负之间的关系 希沃课件投影区域 例题及练习的关键步骤.
【评价设计】
【作业设计】
完成导学案内容；
教材P32 1、2、3题
【教学反思】《1.3.2函数的极值与导数》教学设计
（共1课时，第1课时）
【课程标准要求】
结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的极值点、最值点，求函数的极值、最值。
【教学目标】
理解极大值与极小值的概念。
2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值。
3.掌握求可导函数的极值的步骤。
【学情与内容分析】
本节是选择性必修第二册第一章第三节的内容，是导数在函数中的应用.学生在前面一节学习了利用导数判断函数的单调性，已经了解了导数在函数中的初步应用，具备了用导数研究函数的性质的基本活动经验，本节继续学习导数在函数中的应用.让学生了解极值点、极值等概念后求解函数的极值.通过例题和练习能够加深对极值点的理解，并能掌握极值点是函数的局部性质，且理解导函数的零点与函数的极值点之间的关系.
【教学准备】希沃课件。
【难重点】
重点：极大值，极小值的概念和判别方法，求可导函数的极值的步骤。
难点：对极大值，极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤。
【教学过程】
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
㈠ 旧知回顾 复习1：函数的单调性与函数的导数有什么样的联系？ 复习2：如何求函数的单调区间？ 教师抛出问题，学生通过阅读教材思考. 函数的极值与单调性关系密切，所以在新知探索前有必要对旧知进行回顾.
㈡ 问题导入 问题1：函数图象由增到减（或由减到增）的转折点有什么特点？ 问题2：这个转折点是整个函数的最大或最小值吗？ 学生观察图象，直观说出图象的特征. 培养学生直观想象素养以及表达能力.
㈢ 新知探索 1.结合下图说说函数的极值与极值点分别是什么含义？ 2.函数图象上升时导函数大于零，函数图象下降时导函数小于零，函数极值点的导函数有什么特点呢？ 3.函数的驻点与函数的极值点是什么关系？ 教师引导学生进一步观察图象，探索极值点的导函数的取值特点. 从定性到定量研究，学生对极值产生了较为直观的印象，并能通过导函数的单调性求函数极值.
㈣ 典例剖析 例1.试求下列函数的驻点，判断函数的导数在驻点左右两侧附近的符号，并判断驻点是否为极值点. 例2.求函数的极大值和极小值. 学生思考，然后师生共同完成，教师做好板书并梳理解题步骤. 两道例题考查的知识点不同，有利于学生理解新知.
㈤ 练习 巩固 练习1.求下列函数的驻点，并判断其是否为极值点.若是， 求出对应的极值. 练习2.已知函数在处有极值0，求的值. 练习3.已知函数的定义域为，且其导函数的图象如图所示，试找出函数在区间内的极大值点和极小值点. 两位学生演板，其余学生自主完成，教师巡视课堂并进行指导. 例1是对极值点和驻点概念的考查，例2和例3则是加深对极值点的理解以及规范求解步骤.通过巡堂及时发现问题并纠正.
㈥ 归纳 小结 本节课学到了一些什么？ 极值和极值点. 驻点与极值点的区别与联系. 求函数极值的步骤. 学生反思自己的练习并阅读教材完成. 让学生梳理知识，加深对概念的理解.
【板书设计】
（课题） 函数的极值与导数 希沃课件投影区域 （例1、2演示区） （讲课草稿演算区）
【评价设计】
【作业设计】
完成导学案内容；
教材P36 1、2题
【教学反思】《1.3.3三次函数的性质：单调区间和极值》教学设计
（共1课时，第1课时）
【课程标准要求】
结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究三次函数的极值点、最值点，求三次函数的极值、最值。
【教学目标】
1.加深理解三次函数的性质。
2.能够利用三次函数的导数求其单调区间和极值。
3.培养学生利用三次函数的单调区间和极值解决实际问题的能力。
【学情与内容分析】
本节是选择性必修第二册第一章第三节的内容，是导数在三次函数中的应用.学生在前面两节学习了利用导数判断函数的单调性和极值，会求函数单调性、极值的一般步骤，本节以三次多项式函数为例，运用导数工具全面深入地研究三次函数性质.通过例题和练习能够让求解三次函数的单调性、极值、最值的方法进一步巩固，并以此掌握三次函数的性质.
【教学准备】希沃课件。
【难重点】
重点：运用求导的方法进行判定三次函数的单调性及求单调区。
难点：掌握求极值和最值的方法。
【教学过程】
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
㈠ 旧知回顾 复习1：如何求解函数的极值？ 复习2：如何确定二次函数的零点个数和函数值的正负？ 学生通过查阅书本和小组互动完成这项活动。 本节课主要是把导数求极值的方法应用到三次函数。
㈡ 问题导入 问题1：三次函数的导数是什么函数？ 问题2：三次函数的极值和二次函数的零点有什么关系？ 引导学生联系三次函数与二次函数关系，极值与零点关系. 培养学生运算能力和观察能力.
㈢ 新知探索 1.二次函数的零点个数是由什么决定的？总共有几种情形？ 答：判别式，总共有3种情形. 2.导函数没有零点时有几种情形，你能画出大致的图形吗？ 3.函数有一个零点，两个零点的时候呢？ 教师引导学生进一步回顾二次函数的零点的分布特征. 引导学生对函数极值（导函数的零点）的分类讨论，培养学生严谨的逻辑推理能力.
㈣ 典例剖析 例1.求下列函数的单调区间和极值 例2.求函数在区间上的最大值和最小值. 学生思考，然后师生共同完成，教师做好板书并梳理解题步骤. 两道例题的难度不同且梯度适中，利于学生理解三次函数的局部和整体性质.
㈤ 练习 巩固 练习1.已知三次函数的导函数的图象如右图所示,则y =f(x)的图象最有可能的是（ ） 练习2.求函数在的最大值. 先叫学生分享思路，然后学生自主完成，教师巡视课堂并进行指导. 例1是对二次函数零点分布和三次函数极值点的关系的考查，例2是加深对求三次函数极值点和最值点的方法以及规范求解步骤.通过巡堂和投影答案及时发现问题并纠正.
㈥ 归纳 小结 总结： （1）三次函数的单调性、极值和最值 （2）三次函数的极值由导函数（二次函数）的零点决定，单调性由导函数值的正负决定，最值由极值和端点值共同决定。 学生反思课堂并阅读教材完成. 让学生梳理知识，加深对概念的理解.
【板书设计】
（课题） §1.3.3三次函数的性质 希沃课件投影区域 （例1、2演示区） （讲课草稿演算区）
【评价设计】
【作业设计】
完成导学案内容；
教材P40 1题
【教学反思】《1.3.4导数的应用举例》教学设计
（共1课时，第1课时）
【课程标准要求】
应用导数的相关概念解决实际问题。
【教学目标】
1.了解导数在解决实际问题中的作用。
2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题。
3.在利用导数解决实际问题的过程中体会建模思想。
【学情与内容分析】
本节内容是导数部分的最后一节，是导数在实际生活中的应用，通过用导数求函数的最大值和最小值，对生活中的一些问题进行优化.这类问题的求解对学生的能力要求较高，首先是审题，要求学生能够从实际问题中抽象出数学问题，并构建解决路径，其次是建立函数模型进行求解，最后再把数学结果翻译成实际问题，并需要检验结果与实际问题之间的差异性.让学生体会数学在生活中的应用.
【教学准备】希沃课件。
【难重点】
重点：掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题。
难点：在利用导数解决实际问题的过程中体会建模思想。
【教学过程】
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
㈠ 旧知回顾 复习1：导数可以解决函数的哪些问题？ 复习2：如何求函数的极值和最值？极大（小）值是最大（小）值吗？ 教师给学生留足时间阅读教材，梳理概念性知识. 学生通过阅读教材熟悉知识，为接下来的应用作铺垫.
㈡ 问题导入 问题1：什么是生活中的优化问题？你能举出一些实例吗？ 问题2：用导数解决优化问题的实质是什么？ 学生思考并举手回答. 通过这两个问题让学生知道本节课的意图.
㈢ 新知探索 1.解决优化问题的基本思路： 2.提示： （1）在建立函数模型时，应根据实际问题确定函数的定义域. 求实际问题的最值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的应舍去.如长度、宽度应大于0，人数应为正整数等. 师生共同完成. 在解决实际问题之前先帮学生构建解题路径，有利于问题的解决，降低学生对数学应用问题的畏难情绪.
㈣ 典例剖析 例1：某企业要生产容积为的圆柱形密闭容器（如图），已知该容器侧面耗材为1元，上下底面的耗材为1.5元.问：如何设计圆柱的高度和上下底面的半径，使得费用最少？ 例2：如图：让一个木块从光滑斜面的上端自由滑落到下端，斜面两端的水平距离为d，如何选择斜面和水平面之间的角度x，使木块从上端滑到下端所用的时间最短？ 例3：江轮逆水上行300km，水速为v km/h，船在静水中的速度为x km/h.已知行船时每小时的耗油量为,即与船在静水中的速度的平方成正比.问x多大时，全程的耗油量H(x)最小 教师先让学生读题，然后让学生画出题目中的关键信息，再根据关键信息明确解题思路.最后和学生一起完成，尤其是详细的板书. 生活中的数学问题是学生的难点，审题是一大关，所以教师先让学生读题，然后再通过划重点、顺思路的办法逐步突破这类题的解决策略.
㈤ 练习 巩固 练习1：如图，有一边长为a的正方形纸片，纸片的四角截去四个边长为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，求x多大时，方盒的容积V最大. 练习2：某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是分，其中r (cm)是瓶子的半径，已知每出售1mL 的饮料，制造商可获利0.2分（不含瓶子成本），且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm. （1）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最大？ （2）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？ 练习3：如图，工厂A到铁路专用线的距离AB=20km，在铁路专用线上距离B 100km的地方有一个配件厂C，现在准备在专用线的BC段选一处D铺设一条公路（向着A），为了使得配件厂到工厂A的运费最省，那么D处应如何选址？（已知每千米的运费铁路是公路的60%） 学生完成练习1，练习2和练习3由学生审题后说出解题思路，作为课后作业. 由于学生解决这类问题难度较大，不管是审题还是构建解题路径都比较难，因此课堂上应留足时间让学生思考尝试解题.
㈥ 归纳 小结 学生独立地说出优化问题的解决思路，教师进行及时的补充. 用框架的形式给出解决优化问题的思路，有利于学生解决这类问题.
【板书设计】
（课题） 导数的应用举例 希沃课件投影区域 （例题演示区） （讲课草稿演算区）
【评价设计】
【作业设计】
完成导学案内容；
教材P42 1、2、3题
【教学反思】

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