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第六章 平面向量及其应用
6.4.3 余弦定理、正弦定理
教学设计
教学目标
1.借助向量的运算，探究三角形边长与角度的关系.
2.掌握余弦定理、正弦定理.
3.能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题.
教学重难点
教学重点：余弦定理、正弦定理的理解.
教学难点：余弦定理、正弦定理的应用.
教学过程
新课导入
一个三角形含有各种各样的几何量，例如三边边长、三个内角的度数、面积等，它们之间存在着确定的关系，例如，在初中，我们得到过勾股定理、锐角三角函数，这是直角三角形中的边、角定量关系.对于一般三角形，我们已经定性地研究过三角形的边、角关系，得到了，，，等判定三角形全等的方法，这些判定方法表明，给定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的.那么三角形的其元素与给定的某些元素有怎样的数量关系 下面我们利用向量方法研究这个问题.
新知积累
一、余弦定理
1.余弦定理：三角形中任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即
证明：如图，设，，，那么，
由，我们有
所以.
同理，.
2.余弦定理的应用：
（1）可以从三角形已知的两边及其夹角直接求第三边.
（2）可以由三角形的三边直接计算出三角形的三个角.
证明：由余弦定理，可以得出如下的结论：
，，.
（3）勾股定理的推广.
证明：若中有角是直角时，这是.由余弦定理可得.
3.解三角形的定义：一般地，三角形的三个角，，和它们的对边，，叫做三角形的三个元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
例1：在中，已知，，，解这个三角形.
解：，，.
，
，，.
二、正弦定理
1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对应的角的正弦比相等，即
证明：在锐角中，过点作垂直的单位向量，则与的夹角为，与的夹角为，
因为，所以.
由分配律得，
即，
也即.
所以.
同理，过点作与垂直的单位向量，可得，
因此.
当为钝角三角形时，依照上面的方法同样可以得到.
2.正弦定理常用的变形式：
在中，若内角，，所对应的边长为，，，其外接圆半径为，则
（1），，；
（2）；
（3）
（4），，.
（5），，.
3.正弦定理的应用：可以解决已知两角和一边，解三角形的问题，也可以解决已知两边和其中一边的对角，解三角形的问题.
例2：在中，，，，解这个三角形.
解：由三角形内角定理，得
，
由正弦定理，得
，
三、余弦定理、正弦定理应用举例
1.测量距离
例3：如图，为了测定河两岸点B与点C间的距离，在点B同侧的河岸选定点A，测得，，，则点B与点C间的距离为__________m.
答案：
解析：在中，，，，
则，
因为，
所以，
所以点B与点C间的距离为.
故答案为：.
2.测量高度
例4：如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为，，，且，则建筑物的高度为( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：设建筑物的高度为.
由题图知，，，.
在和中，由余弦定理得，
，①
.②
，.③
由①②③，解得或（舍去）.
即建筑物的高度为.
3.测量角度
例5：如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为，向山顶前进到达B处，又测得C对于山坡的斜度为.若，山坡对于地平面的坡度为，则( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：由题意得，在中，由正弦定理得，.
在中，，
.故选C.
运用正弦定理和余弦定理解决实际问题的步骤如下：
（1）分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图.
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型.
（3）求解：利用正、余弦定理解三角形，求得数学模型的解.
（4）检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解.
课堂巩固
1.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.下列等式正确的是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解析：由正弦定理，可得，可知B正确，故选B.
2.下列说法中错误的是( )
A.在三角形中，已知两边及其中一边的对角，不能用余弦定理解三角形
B.余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此它适用于任何三角形
C.利用余弦定理可以解决已知三角形三边求角的问题
D.在三角形中，勾股定理是余弦定理的特例
答案：A
解析：已知两边及其中一边的对角，可用余弦定理先解得第三边，从而解三角形.
3.在中，若，，，则此三角形( )
A.无解 B.有两解 C.有一解 D.解的个数不确定
答案：B
解析：因为，，，，
所以，
因为，所以，
所以满足的B有两个，所以此三角形有两解.故选：B.
4.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，则( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：根据余弦定理可知，，又，故有，即，又由于，解得，故选B.
5.若为钝角三角形，请写出三边a，b，c所满足的一个关系式________（答案不唯一）.
答案：(答案不唯一)
解析：为钝角三角形，如C为钝角，
由余弦定理得，
所以.
故答案为：(答案不唯一)
6.若中，，，，则________.
答案：
解析：由，可得，由正弦定理可得，，故.
7.在中，，，且，求的值.
答案：
解析：因为，由正弦定理得，，所以，
由余弦定理得，因为，，
所以，化简得，解得或，
当时，，与题意不符合；
当时，，符合题意.
所以.
小结作业
小结：本节课学习了余弦定理、正弦定理以及它们的应用.
作业：完成本节课课后习题.
板书设计
6.4.3 余弦定理、正弦定理
1.余弦定理
2.正弦定理
3.余弦定理、正弦定理的应用

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