资源简介

第六章 平面向量及其应用
6.3.1 平面向量的基本定理
教学设计
教学目标
教学目标
1.理解平面向量基本定理及其意义.
2.学会利用平面向量的基本定理解决有关的向量的问题.
教学重难点
教学重点：平面向量基本定理及其应用.
教学难点：平面向量的基本定理的理解.
教学过程
新课导入
师：上一节我们学习了向量的一些运算，有同学还记得学习的运算有什么？
生：向量的加法、减法、数乘和数量积.
师：这位同学回答的是正确的，并且我们知道了位于同一直线的向量可以由位于这条直线上的非零向量表示.类似地，平面内任一向量是否可以由同一平面内的两个不共线的向量表示呢？
师：我们学习过物理中的力，我们知道两个力可以求出它的合力，反过来，一个力可以分解成两个力，通过作平行四边形可以把力分解成多组大小、方向不同的分力.我们通过力的启发可不可以通过平行四边形把我们向量分解成两个向量呢？
师：引入新知.
新知积累
1.平面向量的基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使
.
若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
平面的任一向量都可以由同一个基底唯一表示.
特别注解·：（1）由平面向量的基本定理可知，若不共线，则由的所有线性组合构成的集合就是平面内的全体向量，其中叫做这平面内的所有向量的一组基底.这个定理体现了化归转化的数学思维.
（2）平面向量的基本定理是向量的共线定理在平面内的推广.
例题分析：
例1.如图，，不共线，且，用，表示.
解：因为，
所以
.
例2：如图，是的中线，，用向量方法证明是直角三角形.
证明：如图，设，，
则，，于是.
.
因为，所以.
因为，，所以.
因此.于是是直角三角形.
例3：设D，E分别是的边AB，BC上的点，，.若（，为实数），则的值是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：由题意，如图，，，
.
又（，为实数），，，
，故选A.
例4：证明：三角形的三条中线交于一点.
答案：见解析.
解析：如图，D，E，F分别是三边上的中点，
设，.
设，
则
，
，
所以解得
则
，所以，
所以G在中线CF上，所以三角形三条中线交于一点.
课堂巩固
1.已知中，AC的中点为M，点O是线段BM三等分点(靠近点M)，则向量( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：因为点O是线段三等分点(靠近点M)，
所以，因为的中点为，
所以，
即.故选:C
2.如图，中，已知，则( )
A. B. C. D.
答案：D.
解析：，，．故选：D．
3.已知四边形ABCD中，，，，若直线MN与直线AC交于点P，则( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：如图，由题意知四边形ABCD为平行四边形，且M，N分别是AB，AD的中点，又MN与AC交于点P，则，所以.故选B.
4.（多选）如果，是平面内两个不共线的向量，那么下列说法中正确的是( )
A.可以表示平面内的所有向量
B.对于平面内任一向量，使的实数对有无穷个
C.若向量与共线，则有且只有一个实数，使得
D.若存在实数，使得，则
答案：AD
解析：，是平面内两个不共线的向量，，可以作为平面的一组基底；
对于A，由平面向量基本定理可知：可以表示平面内的所有向量，A正确；
对于B，对于平面内任意向量，有且仅有一个实数对，使得，B错误；
对于C，当时，与均为零向量，满足两向量共线，此时使得成立的有无数个，C错误；
对于D，由得：，又，不共线，，即，D正确.故选：AD.
5.（多选）已知，是平面内的一组基底，则下列说法中正确的是( )
A.若实数m，n使，则
B.平面内任意一个向量都可以表示成，其中m，n为实数
C.对于m，，不一定在该平面内
D.对平面内的某一个向量，存在两对以上实数m，n，使
答案：AB
解析：根据基底的定义知AB正确；
对于C，对于m，，在该平面内，故C错误；
对于D，m，n是唯一的，故D错误.故选：AB.
6.设E为的边AC的中点，，则__________.
答案：
解析：因为，所以，即.
故答案为.
小结作业
小结：本节课学面向量的基本定理和正交分解的坐标表示.
作业：完成本节课课后习题.
板书设计
6.3.1 平面向量的基本定理
平面向量的基本定理.

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