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第六章 平面向量及其应用
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
教学设计
教学目标
1.能用坐标表示平面向量的数量积.
2.能用坐标表示两个平面向量的夹角.
3.能用坐标表示平面向量垂直的充要条件.
教学重难点
教学重点：向量的数量积、模、夹角的坐标表示及两向量垂直的充要条件.
教学难点：对平面向量数量积的坐标表示的应用.
教学过程
新课导入
师：我们上节课学习了向量的加法、减法和数乘的坐标表示，同学还记得向量的数量积是怎么表示的吗？
师：对，它们模的绝对值乘以它们夹角的余弦值就是它们的数量积，我们今天要探索一下向量数量积的坐标表示.已知，怎样用与的坐标表示呢？
师：因为，
所以
又因为，
所以.
师：引出新课.
新知积累
1.向量的数量积的坐标表示：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和.即.
特别注解：当时，；当时，；当时，.我们可以用向量的数量积的坐标表示形式判断夹角的范围、三角形的形状等.
例1：已知向量，求.
解法一：
解法二：
2.平面向量模和垂直的坐标表示：
（1）若则或.
如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为，那么，
（2）设，则
.
特别注解：若点，点，则所以，即的实质是两点间的距离或者线段的长度，这也是向量模的几何意义.
特别注解：求解向量的单位向量：
因为向量的单位向量，若，则，所以，此式为向量的单位向量的坐标表示.
例2：已知，且，则.
答案：.
解析：因为，且，
所以，解得，
所以，则.
3.向量的夹角：设是非零向量，，是与夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得
特别注解：求两向量的夹角的时候要注意夹角的范围，夹角的范围为.
例3：若两个非零向量a，b满足，则向量与的夹角是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：，，.又，，.设与的夹角为，则.又，.
例4：已知向量，若，则实数的值是____.
解法一：
解法二：
例5：如图所示，在中，为直角，，D是CB的中点，E是AB上的点，且，求证：.
证明：由D是CB的中点，则，
E是AB上的点，且，则，
即，即有，
由在中，为直角，，则，
则
，
则
即
课堂巩固
1.已知向量，满足，，则( )
A.-2 B.-1 C.0 D.1
答案：B
解析:向量，满足，，
所以.
故选：B.
2.已知向量，，则( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案：D
解析：由题意知，
所以，故选D.
3.已知向量，，，若，则( )
A.-1 B.-2 C.1 D.2
答案：A
解析：因为向量，，所以，
由可得，解得.
故选：A.
4.已知向量，，若，则( )
A.18 B.24 C.26 D.28
答案：C
解析:因为，所以，解得，
所以.
故选:C
5.（多选）设向量，，则( )
A. B. C.与的夹角为 D.
答案：BC
解析:，，所以，故A选项错误，B选项正确；
，，则与的夹角为，故C选项正确；，，，故D选项错误.故选:BC.
6.已知向量满足.若，则______，向量的夹角为_____________.
答案：8；
解析：由题意知，.
，，即，解得，
所以.
设向量的夹角为，
则，故，即向量的夹角为.
7.已知向量，且，则____________.
答案：-7
解析：由题设，且，
所以，则.
故答案为：-7.
小结作业
小结：本节课学面向量的数量积、模和夹角坐标表示.
作业：完成本节课课后习题.
板书设计
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
1.向量的数量积
2.向量的模和垂直的定义
3.向量夹角公式

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