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3.8 整理和复习
例1：一个棱长为5厘米的正方体钢坯铸造成底面积是原正方体底面积2倍的圆锥。圆锥的高是原正方体高的（ ）倍。
A．1.5 B．2.5 C．5.5 D．7.5
答案：A
分析：根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出钢坯体积，圆锥的高＝体积×3÷底面积，求出圆锥的高，再用圆锥的高÷正方体棱长即可。
详解：5×5×5＝125（立方厘米）
125×3÷（5×5×2）
＝375÷50
＝7.5（厘米）
7.5÷5＝1.5
圆锥的高是原正方体高的1.5倍。
故答案为：A
例2：将一个圆柱形的玻璃容器里装满饮料，倒入与它等底的圆锥形杯子里，杯子里可以装（ ）杯饮料。
A．3 B．6 C．9
答案：C
分析：等底等高的圆柱和圆锥，圆柱体积是圆锥体积的3倍，观察可知，图中圆柱容器与圆锥形杯子等底，高是圆锥高的3倍，即圆柱容器的容积是圆锥形杯子容积的（3×3）倍，据此分析。
详解：3×3＝9（杯）
杯子里可以装9杯饮料。
故答案为：C
例3：工人师傅要给寺庙大殿里的一个底面直径为2m，高为5m的柱子涂油漆，涂油漆的面积是( )m2。
答案：31.4
分析：由题意可知，求涂油漆的面积就是求圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积公式：S＝πdh，据此进行计算即可。
详解：3.14×2×5
＝6.28×5
＝31.4（m2）
则涂油漆的面积是31.4m2。
例4：张亮和李明是一对爱钻研、善合作的好朋友。他俩研究“怎么围体积最大”。拿来长12.56cm、宽9.42cm两张同样的长方形卡纸，分别卷成不同的圆柱体（接头处不重合），通过交流、观察、探究发现：
(1)不同方法卷成的圆柱( )一定相等；
(2)以( )cm作圆柱的底面周长所围成的圆柱体积最大。
答案：(1)侧面积(2)12.56
分析：（1）有两种方法卷成不同的圆柱：一种是以长方形的长为圆柱底面周长，宽为高围成的圆柱，另一种是以长方形的宽为圆柱底面周长，长为高的圆柱。两种方法卷出来的圆柱侧面积都是这一张长方形的纸，面积相等。
（2）不同方法卷出来的圆柱体，根据底面圆周长＝2πr，得出圆柱底面半径，再根据圆柱体积＝πr2h，计算出两个圆柱的体积，比较大小即可得出答。
详解：（1）由于以不同方法卷出来的圆柱的侧面积都是这一张长方形纸，面积相等，故不同方法卷成的圆柱侧面积相等。
（2）以长方形的长为圆柱底面周长，宽为高围成的圆柱体积为：
＝3.14×4×9.42
（cm3）
以长方形的宽为圆柱底面周长，长为高的圆柱体积为：
＝3.14×2.25×12.56
（cm3）
118.3152＞88.7364
即以12.56cm作圆柱的底面周长所围成的圆柱体积最大。
基础过关练
一、选择题
1．妈妈沏了2L花茶用来招待客人。若将这些花茶倒入从里面量得底面积是30cm2、高是10cm的圆柱形水杯里，最多可以倒满（ ）杯。
A．5 B．6 C．7
2．一个圆锥的体积是57cm3，与它等底、等高的圆柱的体积是（ ）cm3。
A．19 B．114 C．171
3．一个圆柱形玻璃鱼灯，底面直径是20厘米，把里面的一条鱼捞出来后水面下降了0.2厘米，这条鱼的体积是（ ）立方厘米。
A． B． C． D．
4．小明把刚买的一支圆柱形铅笔削尖，笔尖（圆锥部分）的体积是铅笔削去部分体积的（ ）。
A． B．3倍 C． D．
5．一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们体积和是60立方厘米，圆柱的体积是（ ）立方厘米。
A．15 B．20 C．40 D．45
6．一个圆锥的体积是96立方厘米，底面积是16平方厘米，高是（ ）厘米。
A．6 B．18 C．54 D．16
二、填空题
7．将一个棱长为2cm的正方体金属块熔铸成一个高为4cm的圆锥体，圆锥体的底面积是( )。
8．小明把一个底面半径是5厘米，高是8厘米的圆柱形橡皮泥捏成一个圆锥形模型。这个模型的体积是( )立方厘米；如果这个模型的底面半径也是5厘米，则它的高是 ( )厘米。
9．一个圆柱的底面周长是62.8厘米，高是4厘米，它的侧面积是( )。
10．一个腰长6cm的等腰三角形，它的顶角与一个底角的度数和是135°，如果以它的一条腰为轴旋转一周，得到的立体图形的体积是( )cm3。
11．一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积和是36立方分米，它们的体积相差( )立方分米。
12．一个圆锥的底面直径是4厘米，高12厘米，它的体积是( )立方厘米，与它等底等高的圆柱的体积是( )立方厘米。
13．等底等高的圆柱和圆锥，它们的体积一共是78立方分米，那么圆锥的体积是( )立方分米，圆柱的体积( )立方分米。
三、判断题
14．长方体、正方体、圆柱体和圆锥体的体积都等于底面积乘高。( )
15．底面积相等的两个圆锥它们的体积也一定相等。( )
16．一个圆锥的体积是一个圆柱体积的三分之一， 它们一定等底等高。( )
17．用一张长方形纸能围成不同的两个圆柱，它们的侧面积一定相等。( )
18．圆锥底面直径扩大到原来的3倍，高缩小到原来的，体积不变。( )
培优提升练
四、计算题
19．计算下面各图形的体积。
五、解答题
20．一个圆柱形水池，从里面量底面半径是5m，深是3m，这个水池能蓄水多少吨？（1m3的水重1t。）
21．用底面半径和高分别是6厘米和15厘米的空心圆锥和圆柱各一个，组成竖放的容器（如下图，单位：厘米）。在这个容器内注入一些细沙，能填满圆锥，还填了部分圆柱，圆柱部分的细沙高2厘米。若将这个容器上面封住并倒立，细沙的高度是多少厘米？
22．一个底面半径10厘米的圆柱形容器里装有水，水面完全浸没了一个底面半径为5厘米的圆锥形铁块，取出铁块后水面下降2厘米，这个圆锥形铁块高多少厘米？
23．一个用塑料薄膜制作的蔬菜大棚，长20米，横截面是一个半径为2米的半圆。
（1）这个大棚的种植面积是多少平方米？
（2）大棚内的空间大约有多大？
（3）李大伯的农场里有50个这样的蔬菜大棚。已知每平方米的地每个季度能收2.4千克蔬菜，每千克蔬菜出售给餐饮公司，批发价为2.5元。照这样计算，李大伯农场的蔬菜棚一年能收入多少钱？
24．一个圆柱体花瓶，从外面量底面半径6厘米，高20厘米。请你为它设计一个长方体包装盒（要求说出长、宽、高数据），至少需要多少平方厘米的包装纸（接头处不计）？
25．一个底面半径是8厘米的圆柱形玻璃杯中装有水，水中浸没一个底面直经是12厘米的圆锥形铅锤，当把铅锤从水中取出后，水而下降了3厘米，铅锤的高是多少厘米？
1．B
分析：已知圆柱形水杯的底面积是30cm2、高是10cm，根据圆柱的体积（容积）公式V＝Sh，以及进率“1cm3＝1mL”，求出水杯的容积；
再根据进率“1L＝1000mL”，把2L花茶换算成2000mL，用花茶的总量除以每个水杯的容积，得数用“去尾法”保留整数，即是最多可以倒满的杯数。
详解：30×10＝300（cm3）
300cm3＝300mL
2L＝2000mL
2000÷300≈6（杯）
最多可以倒满6杯。
故答案为：B
2．C
分析：根据V柱＝Sh，V锥＝Sh可知，当圆柱和圆锥等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，据此解答。
详解：57×3＝171（cm3）
与圆锥等底、等高的圆柱的体积是171cm3。
故答案为：C
3．C
分析：由题意可知，水面下降的那部分水的体积就是这条鱼的体积，根据圆柱的体积，把直径20厘米，高0.2厘米代入圆柱的体积公式计算即可求出这条鱼的体积。
详解：×（20÷2）2×0.2
＝×102×0.2
＝×100×0.2
＝（立方厘米）
所以，这条鱼的体积是立方厘米。
故答案为：C
4．D
分析：把圆柱的体积看作单位“1”，当圆柱与圆锥等底等高时，圆锥的体积是圆柱体积的，则削去部分的体积占圆柱体积的（1－），最后用除法求出笔尖的体积占削去部分体积的分率，据此解答。
详解：÷（1－）
＝÷
＝×
＝
则笔尖（圆锥部分）的体积是笔芯削去部分体积的。
故答案为：D
5．D
分析：等底等高的圆锥的体积是圆柱，设圆柱的体积为V立方厘米，则圆锥的体积为V，再根据等量关系：圆柱的体积＋圆锥的体积＝60，据此列方程解答即可。
详解：解：设圆柱的体积为V立方厘米，则圆锥的体积为V。
V＋V＝60
V＝60
V÷＝60÷
V＝60×
V＝45
则圆柱的体积是45立方厘米。
故答案为：D
6．B
分析：圆锥体积＝×底面积×高，那么圆锥的高＝体积÷÷底面积，据此列式求出这个圆锥的高。
详解：96÷÷16
＝96×3÷16
＝288÷16
＝18（厘米）
所以，高是18厘米。
故答案为：B
7．6cm2/6平方厘米
分析：正方体体积＝棱长×棱长×棱长，圆锥的底面积＝体积×3÷高，据此列式计算。
详解：2×2×2＝8（cm3）
8×3÷4＝6（cm2）
圆锥体的底面积是6cm2。
8． 628 24
分析：根据题意，把一个圆柱形橡皮泥捏成一个圆锥形模型，这个橡皮泥的体积不变，即圆锥的体积等于圆柱的体积，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出这个模型的体积；
已知圆柱和圆锥的底面半径都是5厘米，则它们的底面积相等；因为圆锥和圆柱等体积等底面积，那么圆锥的高等于圆柱高的3倍，据此解答。
详解：橡皮泥的体积：
3.14×52×8
＝3.14×25×8
＝628（立方厘米）
圆锥的高：8×3＝24（厘米）
这个模型的体积是628（立方厘米），它的高是24厘米。
9．251.2平方厘米
分析：根据圆柱的侧面积公式：侧面积＝底面周长×高，代入数据，即可解答。
详解：62.8×4＝251.2（平方厘米）
一个圆柱的底面周长是62.8厘米，高是4厘米，它的侧面积是251.2平方厘米。
10．226.08
分析：三角形的内角和是180°，等腰三角形的顶角与一个底角的度数和是135°，用180°－135°可求出这个等腰三角形的另一个底角是45°，用180°－45°－45°可求出这个等腰三角形的顶角是90°，即这个三角形是等腰直角三角形。如下图，如果以它的一条腰为轴旋转一周，可以得到一个底面半径是6cm，高是6cm的圆锥。根据圆锥的体积，求得到的立体图形的体积列式为。
详解：180°－135°＝45°
180°－45°－45°＝90°
所以，这个三角形是等腰直角三角形。
＝
＝
＝
＝
＝226.08（cm3）
所以，得到的立体图形的体积是226.08cm3。
11．18
分析：根据等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，可知它们的体积之和是圆锥体积的（3＋1）倍，已知体积之和是36立方分米，用除法即可求出圆锥的体积，进而求出圆柱的体积，再相减即可。
详解：36÷（3＋1）
＝36÷4
＝9（立方分米）
36－9＝27（立方分米）
27－9＝18（立方分米）
即它们的体积相差18立方分米。
12． 50.24 150.72
分析：圆柱体积＝底面积×高÷3，等底等高的圆柱和圆锥，圆柱体积是圆锥体积的3倍，直接用圆锥体积×3＝圆柱体积，据此列式计算。
详解：3.14×（4÷2）2×12÷3
＝3.14×22×12÷3
＝3.14×4×12÷3
＝50.24（立方厘米）
50.24×3＝150.72（立方厘米）
一个圆锥的底面直径是4厘米，高12厘米，它的体积是50.24立方厘米，与它等底等高的圆柱的体积是150.72立方厘米。
13． 19.5 58.5
分析：等底等高的圆柱和圆锥，圆柱体积是圆锥体积的3倍，根据和倍问题解题方法，体积和÷（倍数＋1）＝圆锥体积，体积和－圆锥体积＝圆柱体积，据此列式计算。
详解：78÷（3＋1）
＝78÷4
＝19.5（立方分米）
78－19.5＝58.5（立方分米）
圆锥的体积是19.5立方分米，圆柱的体积58.5立方分米。
14．×
分析：根据长方体体积公式：体积＝底面积×高；正方体体积公式：体积＝底面积×高；圆柱的体积公式：体积＝底面积×高；圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，据此解答。
详解：长方体、正方体、圆柱的体积都等于底面积乘高，圆锥的体积等于底面积乘高乘。
原题干说法错误。
故答案为：×
15．×
分析：根据圆锥的体积公式：V＝Sh，据此举例计算并判断即可。
详解：如：两个圆锥的底面积为9，其中一个圆锥的高为3，另一个圆锥的高为10
×9×3
＝3×3
＝9
×9×10
＝3×10
＝30
此时两个圆锥的底面积相等，但高不同，两个圆锥的体积不相等。原题干说法错误。
故答案为：×
16．×
分析：根据圆柱的体积公式V＝Sh，圆锥的体积公式V＝Sh，可知：等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，据此判断。
详解：如：圆柱的底面积是2，高是1.5；圆锥的底面积是1，高是3；
圆柱的体积：2×1.5＝3
圆锥的体积：×1×3＝1
1÷3＝
圆锥的体积是圆柱体积的，但它们的底面积和高都不相等。
原题说法错误。
故答案为：×
分析：掌握等底等高的圆柱和圆锥体积之间的关系是解题的关键。
17．√
分析：用一张长方形纸围成圆柱时，若长方形的长是圆柱的底面周长，则长方形的宽是圆柱的高；若长方形的宽是圆柱的底面周长，则长方形的长是圆柱的高。两种围法，圆柱的侧面积都是这张长方形纸的面积。
详解：用一张长方形纸围成圆柱，长方形的长或宽都可以是圆柱的底面周长，围成的圆柱的侧面积也就是长方形纸的面积，所以用一张长方形纸能围成不同的两个圆柱，它们的侧面积一定相等。即原题说法正确。
故答案为：√
分析：圆柱的侧面沿高剪开，展开后是一个长方形（或正方形）。
18．×
分析：根据题意，设原来圆锥的底面直径是6，高是3；圆锥底面直径扩大到原来的3倍，则现在圆锥的底面直径是18；高缩小到原来的，则现在圆锥的高是1；
然后根据圆锥的体积公式V＝πr2h，分别求出原来和现在圆锥的体积，进而得出结论。
详解：设原来圆锥的底面直径是6，高是3；
现在圆锥的底面直径是：6×3＝18
现在圆锥的高是：3÷3＝1
原来圆锥的体积：
×π×（6÷2）2×3
＝×π×9×3
＝9π
现在圆锥的体积：
×π×（18÷2）2×1
＝×π×81×1
＝27π
27π÷9π＝3
体积扩大到原来的3倍。
原题说法错误。
故答案为：×
分析：关键是利用赋值法以及圆锥的体积公式，求出变化前后圆锥的体积，也可以根据圆锥的体积公式和积的变化规律解答。
19．47.1dm3；4710cm3
分析：（1）已知圆锥的底面直径和高，根据圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算即可求解。
（2）已知圆柱的底面周长，根据圆的周长公式C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，由此求出圆柱的底面半径；再根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算即可求解。
详解：（1）×3.14×（6÷2）2×5
＝×3.14×9×5
＝47.1（dm3）
圆锥的体积是47.1dm3。
（2）圆柱的底面半径：
62.8÷3.14÷2
＝20÷2
＝10（cm）
圆柱的体积：
3.14×102×15
＝3.14×100×15
＝4710（cm3）
圆柱的体积是4710cm3。
20．235.5吨
分析：先算出圆柱形水池的底面积，用圆的面积公式即可，再根据圆柱的体积＝底面积×高，算出圆柱形水池的体积即可得解。
详解：3.14×5×5×3×1
＝15.7×5×3×1
＝78.5×3×1
＝235.5（吨）
答：这个水池能蓄水235.5吨。
21．7厘米
分析：若将这个容器倒立，沙子的总体积不变，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h和圆锥的体积公式：V＝πr2h，用3.14×62×2＋3.14×62×15×即可求出沙子的体积，然后用沙子的体积÷（3.14×62）即可求出倒立后沙子的高度。
详解：3.14×62×2＋3.14×62×15×
＝3.14×36×2＋3.14×36×5
＝113.04×2＋113.04×5
＝226.08＋565.2
＝791.28（立方厘米）
791.28÷（3.14×62）
＝791.28÷（3.14×36）
＝791.28÷113.04
＝7（厘米）
答：细沙的高度是7厘米。
22．24厘米
分析：圆锥形的体积相当于下降的水的体积也就是底面半径为10厘米，高为2厘米的圆柱的体积。圆锥铁块的体积＝底面积×高÷3，据此求出圆锥形铁块的高。
详解：3.14×102×2
＝3.14×100×2
＝314×2
＝628（立方厘米）
628×3÷（3.14×52）
＝1884÷（3.14×25）
＝1884÷78.5
＝24（厘米）
答：这个圆锥形铁块高24厘米。
23．（1）80平方米；（2）125.6立方米；（3）96000元
分析：（1）种植区域是一个长方形，长方形面积＝长×宽，据此求出这个大棚的种植面积；
（2）大棚是一个半圆柱。圆柱容积＝底面积×高，据此求出圆柱的容积，再将圆柱的容积除以2，即可求出大棚的容积；
（3）每个大棚的种植面积是80平方米，将80乘50，求出50个大棚的种植面积。将总的种植面积乘2.4千克，求出每个季度能收多少千克蔬菜，再将其乘4，求出一年能收多少千克的菜。将菜的重量乘2.5元，求出一年能收入多少元。
详解：（1）20×（2×2）
＝20×4
＝80（平方米）
答：这个大棚的种植面积是80平方米。
（2）3.14×22×20÷2
＝3.14×4×20÷2
＝251.2÷2
＝125.6（立方米）
答：大棚内的空间大约为125.6立方米。
（3）80×50×2.4×4×2.5
＝4000×2.4×4×2.5
＝96000（元）
答：李大伯农场的蔬菜棚一年能收入96000元钱。
24．1248平方厘米
分析：由题意可知：纸盒的高应该等于圆柱形花瓶的高，且纸盒的底面边长等于花瓶的底面直径，花瓶的半径已知，则纸盒的底面边长为6×2＝12厘米，再根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，据此进行计算即可。
详解：纸盒的底面边长：6×2＝12（厘米）
则这个长方体纸盒的长、宽都是12厘米，高是20厘米
（12×12＋12×20＋12×20）×2
＝（144＋240＋240）×2
＝624×2
＝1248（平方厘米）
答：做这样一个包装盒至少需要1248平方厘米的包装纸。
25．16厘米
分析：由题意得出铅锤的体积等于下降的水的体积，下降的水的体积等于高为3厘米、底面半径为12厘米的圆柱的体积，根据圆柱的体积＝πr2h求出铅锤的体积，再用铅锤的体积×3÷πr2即可求出铅锤的高。
详解：
＝
＝
＝
＝
＝16（厘米）
答：铅锤的高是16厘米。

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