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2.3 长方体的表面积
长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。
长方体的表面积：（长×宽+长×高+宽×高）×2
正方体的表面积：棱长×棱长×6
例1：如图，在棱长为2cm的正方体上截去一个棱长为1cm的小正方体。表面积与原来比，（ ）。
A．变大了 B．变小了 C．不变 D．无法确定
答案：C
分析：从图中可知，在大正方体的右上角截去一个小正方体后，表面积减少了小正方体的3个面，同时又露出了3个相同的面，所以表面积没有变化。
详解：在棱长为2cm的正方体上截去一个棱长为1cm的小正方体，表面积与原来比，不变。
故答案为：C
例2：将四个长10cm，宽6cm，高4cm的长方体盒子用彩纸包在一起，最省包装纸的方法是（ ）。
A． B． C．
答案：C
分析：要想更省包装纸，需使表面积最小，由题意可知：只要求出哪种情况下，拼组后的大长方体的表面积与原来四个长方体的表面积之和相比，减少的面的面积最大，就最省包装纸。据此解答即可。
详解：A．表面积减少了：
（10×4＋6×4）×4
＝（40＋24）×4
＝64×4
＝256（cm2）
B．表面积减少了：
（10×6＋6×4）×4
＝（60＋24）×4
＝84×4
＝336（cm2）
C．表面积减少了：
10×6×6
＝60×6
＝360（cm2）
360＞336＞256
最省包装纸的方法是选项C
故答案为：C
例3：一个长方体框架，长5厘米，宽4厘米，高3厘米，做这个框架共要( )厘米的铁丝；若在它的表面贴上塑料板，共要( )平方厘米塑料板。
答案： 48 94
分析：由题意可知，求铁丝的长度就是求长方体的总棱长，根据长方体的总棱长公式：L＝（a＋b＋h）×4，据此代入数值进行计算即可；求塑料板的面积就是求长方体的表面积，根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，据此进行计算即可。
详解：（5＋4＋3）×4
＝12×4
＝48（厘米）
（5×4＋5×3＋4×3）×2
＝（20＋15＋12）×2
＝47×2
＝94（平方厘米）
则做这个框架共要48厘米的铁丝；若在它的表面贴上塑料板，共要94平方厘米塑料板。
例4：把一个正方体锯成两个长方体，表面积增加了6cm2，那么原正方体的表面积是( ) cm2。
答案：18
分析：根据正方体的特征，正方体有6个面，每个面的面积相等；把一个正方体锯成两个长方体，增加的表面积即原正方体的两个表面的总面积，表面积增加了6 cm2，所以原正方体一个面的面积为6÷2＝3（cm2），由此可计算原正方体的表面积。
详解：6÷2＝3（cm2）
3×6＝18（cm2）
所以把一个正方体锯成两个长方体，表面积增加了6cm2，那么原正方体的表面积是18cm2。
基础过关练
一、选择题
1．将4个长10厘米，宽6厘米，高3.2厘米的长方体盒子包装在一起，下列（ ）种方式最省包装纸。
A． B． C． D．
2．“六 一”儿童节时，学校给一年级小朋友们包装礼物，要包装的礼物是长12cm，宽8cm，高5cm的长方体盲盒，每4盒包成一包，（ ）最省包装纸。
A． B． C． D．
3．如图，用8个相同的小正方体搭成一个大正方体，如果拿走其中的一个小正方体，它的表面积（ ）。
A．变小 B．变大 C．不变 D．无法判断
4．有三个同样大小的正方体拼成一个长方体，一个正方体的表面积是这个长方体表面积的（ ）。
A． B． C． D．
5．三个棱长6cm的正方体拼成一个长方体，表面积减少了（ ）cm2。
A．144 B．108 C．72 D．18
6．在棱长为4厘米的正方体木块的顶点上挖掉一个棱长为1厘米的小正方体后，表面积（ ）。
A．减少 B．不变 C．增加 D．以上都有可能
二、填空题
7．把一个长9cm、宽8cm、高6cm的长方体木块截成两个相同的长方体，表面积最多增加( )cm2。
8．一个长方体和一个正方体的棱长总和相等，已知长方体的长是12cm，宽是10cm，高是8cm，那么正方体的棱长是( )cm，表面积是( )cm2。
9．一个正方体棱长6cm，表面积是( )cm2，棱长之和是( )cm。
10．棱长总和为60cm的正方体，它的表面积是( )。
11．把一个长、宽、高分别是5分米，3分米、2分米的长方体截成两个小长方体，表面积最少增加( )平方分米，表面积最多增加( )平方分米。
三、判断题
12．正方体的棱长扩大3倍，它的表面积就扩大9倍。( )
13．一个长6分米，宽4分米的长方体，如果高增加1分米，它的表面积就增加10平方分米。( )
14．用两个棱长为1厘米的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积是12平方厘米。( )
15．棱长2cm的正方体的表面积和棱长总和一样大。( )
16．用3个完全一样的正方体拼接成一个长方体，所得长方体的表面积比原3个正方体的表面积之和大3倍。( )
培优提升练
四、计算题
17．求如图形的表面积。（单位：厘米）
五、解答题
18．世园会中“草坪剧场”上搭建的特色帐篷四周喷绘有世界各国的国花，作为文化互动展示区。帐篷设计尺寸如下图，请算一算，每顶帐篷四周的喷绘面积有多少平方米？
19．星星蛋糕店新开发了一款生日蛋糕，如图所示，蛋糕的底座是一个边长为40厘米的正方形，蛋糕的高度大约为30厘米，现要给这个蛋糕设计一个长方体的盒子（不含底座，长方体盒子刚好罩住底座和蛋糕。至少需要多少平方厘米的纸板？
20．教室的长12米、宽8米、高3.5米，要粉刷教室的四面墙壁和顶棚（除去门窗和黑板的面积15.5平方米），共要粉刷多大的面积？
21．奇思将3盒长为20厘米、宽为10厘米、高为6厘米的饼干包成一盒，送给朋友。怎样包装最节省包装纸？计算出最节省包装纸的面积。（接口处不计）

22．某健身馆计划新建一个游泳池，该游泳池长20米，宽12米，深1.5米。现在要在游泳池的四周和底面都贴上白瓷砖，需要贴白瓷砖的面积是多少平方米？
23．一个长方体水池的长是18米，宽是12米，深是2.5米，在它的四周和底面抹上水泥，抹水泥的面积是多少平方米？
24．一个长方体的蓄水池，长20m，宽15m，深2.5m，要给池底和四壁抹上水泥，如果平均每平方米用水泥12kg，那么一共要用水泥多少千克？
1．C
分析：根据各个选项可知，第一个选项的长是10厘米，宽是6厘米，高是4×3.2＝12.8（厘米）；第二个选项的长是10×2＝20（厘米），宽是6厘米，高是3.2×2＝6.4（厘米），第三个选项的宽是10厘米，长是6×2＝12（厘米），高是3.2×2＝6.4（厘米），第四个选项的长是10×2＝20（厘米），宽是6×2＝12（厘米），高是3.2厘米，根据长方体的表面积公式：（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把数代入公式即可求解，再比较即可。
详解：A．3.2×4＝12.8（厘米）
（10×6＋10×12.8＋6×12.8）×2
＝（60＋128＋76.8）×2
＝264.8×2
＝529.6（平方厘米）
B．10×2＝20（厘米），3.2×2＝6.4（厘米）
（20×6＋20×6.4＋6×6.4）×2
＝（120＋128＋38.4）×2
＝286.4×2
＝572.8（平方厘米）
C．6×2＝12（厘米），3.2×2＝6.4（厘米）
（10×12＋10×6.4＋12×6.4）×2
＝（120＋64＋76.8）×2
＝260.8×2
＝521.6（平方厘米）
D．10×2＝20（厘米），6×2＝12（厘米）
（20×12＋20×3.2＋12×3.2）×2
＝（240＋64＋38.4）×2
＝342.4×2
＝684.8（平方厘米）
684.8＞572.8＞529.6＞521.6
所以方式包装最省包装纸。
故答案为：C
分析：本题主要考查立体图形的拼接以及长方体的表面积公式，熟练掌握长方体的表面积公式并灵活运用。
2．B
分析：根据题意可知，要想最省包装纸，需使表面积最小，由题意可知：只要求出哪种情况下，拼组后的大长方体的表面积与原来四个长方体的表面积之和相比，减少的面的面积最大，就最省包装纸。也就是把4个长方体茶叶盒的最大面重合在一起，拼成一个长是12厘米，宽是8厘米，高是（5×4）厘米的长方体，根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，把数据代入公式解答。据此解答即可。
详解：A．表面积减少了：
（12×5＋8×5）×4
＝100×4
＝400（cm2）
B．表面积减少了：
12×8×6
＝96×6
＝576（cm2）
C．表面积减少了：
（12×8＋8×5）×4
＝136×4
＝544（cm2）
D．表面积减少了：
8×5×6
＝40×6
＝240（cm2）
576＞544＞400＞240
最省包装纸的方法是图B。
故答案为：B
分析：此题主要考查长方体表面积公式的灵活运用，关键是明确：要想最省包装纸，也就是把4个长方体茶叶盒的最大面重合在一起进行包装。
3．C
分析：观察图形可知，拿走其中的一个小正方体，则大正方体的表面积减少了3个面，但又增加了3个面，所以表面积不变，据此解答。
详解：根据分析可知，如图，用8个相同的小正方体搭成一个大正方体，如果拿走其中的一个小正方体，它的表面积不变。

故答案为：C
分析：分析出减少部分和增加部分的面积是解答本题的关键。
4．C
分析：一个正方体有6个相同的正方形的面，三个同样大小的正方体拼成一个长方体，露在外面的面有3×4＋2＝14个，根据分数的意义，即可求得一个正方体的表面积是这个长方体表面积的分率。
详解：3×4＋2
＝12＋2
＝14
6÷14＝
故答案为：C
分析：此题解答关键是明确： 3个同样大小的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积比3个正方体的表面积和减少了4个面的面积。
5．A
分析：三个正方体拼成一个长方体，表面积减少了4个面的面积，1个面的面积是36cm2，4个面的面积是144cm2。
详解：6×6×4＝144（cm2）
所以，表面积减少了144cm2。
故答案为：A
分析：本题考查了长方体和正方体的表面积，明确减少了几个面的面积是解题关键。
6．B
分析：挖掉顶点处的正方体的时候，那么原来的正方体会少了3个小正方形的面积，同时增加3个小正方形的面积，此时表面积不变；据此即可选择。
详解：由分析可知：
在棱长为4厘米的正方体木块的顶点上挖掉一个棱长为1厘米的小正方体后，表面积不变。
故答案为；B
分析：本题主要考查立体图形的切割，同时熟练掌握正方体的表面积的含义是解题的关键。
7．144
分析：根据长方体的特征，其总共有3种不同大小的面，分别是9cm×8cm的面，9cm×6cm的面，8cm×6cm的面，所以如果将该长方体切成两个小长方体，沿着3种不同的面平行切就有3种切法，无论哪种切法，都会多出两个面，如果想让表面积增加的最少，就是沿最小的面平行进行切割，多出来的表面积最少，想让表面积增加最多，就沿着最大的面平行进行切割，据此判断即可。
详解：由分析可得：
9×8×2
＝72×2
＝144（cm2）
综上所述：把一个长9cm、宽8cm、高6cm的长方体木块截成两个相同的长方体，表面积最多增加144 cm2。
分析：本题考查的立体图形的切割问题，需要明确长方体每切一刀，增加两个面的面积，要想增加的表面积最少，就沿着最小的面平行切即可，增加的面积最大，就沿着最大的面平行进行切割。
8． 10 600
分析：根据长方体的棱长总和公式：（长＋宽＋高）×4，把数代入即可求出长方体的棱长总和，由于正方体的棱长总和和长方体棱长总和相等，正方体的棱长总和公式：棱长×12，据此即可求出正方体的棱长，再根据正方体的表面积公式：棱长×棱长×6，把数代入公式即可求解。
详解：（12＋10＋8）×4
＝30×4
＝120（cm）
120÷12＝10（cm）
10×10×6＝600（cm2）
正方体的棱长是10cm，表面积是600cm2。
分析：本题主要考查长方体的棱长总和公式、正方体的棱长总和公式以及正方体表面积公式，熟练掌握它们的公式并灵活运用。
9． 216 72
分析：根据正方体的特征及正方体的表面积公式：S＝6a2，棱长总和＝棱长×12，把数据代入公式解答。
详解：6×6×6
＝36×6
＝216（cm2）
它的表面积是216cm2。
6×12＝72（cm）
棱长之和是72cm。
分析：本题主要考查正方体的特征及正方体表面积公式。
10．150cm2
分析：正方体有12条棱，并且每条棱的长度相等，所以用“60÷12”即可求出正方体的棱长，，据此可求出正方体的表面积。
详解：由分析可知：
60÷12＝5（cm）
＝150（cm2）
所以它的表面积是150cm2。
分析：本题考查正方体表面积公式的应用，学生需熟练掌握正方体表面积计算公式。
11． 12 30
分析：根据长方体的特征，其总共有3种不同大小的面，分别是5分米×3分米的面，5分米×2分米的面，3分米×2分米的面，所以如果将该长方体切成两个小长方体，沿着3种不同的面平行切就有3种切法，无论哪种切法，都会多出两个面，如果想让表面积增加的最少，就是沿最小的面平行进行切割，多出来的表面积最少，想让表面积增加最多，就沿着最大的面平行进行切割，据此判断即可。
详解：由分析可得：
3×2×2
＝6×2
＝12（平方分米）
5×3×2
＝15×2
＝30（平方分米）
综上所示：把一个长、宽、高分别是5分米，3分米、2分米的长方体截成两个小长方体，表面积最少增加12平方分米，表面积最多增加30平方分米。
分析：本题考查的立体图形的切割问题，需要明确长方体每切一刀，增加两个面的面积，要想增加的表面积最少，就沿着最小的面平行切即可，增加的面积最大，就沿着最大的面平行进行切割。
12．√
分析：设扩大前的正方体的棱长是1，扩大后的棱长是3，根据正方体表面积公式：表面积＝棱长×棱长×6，分别求出扩大前的表面积和扩大后的表面积，再用扩大后的表面积除以扩大前的表面积，即可解答。
详解：设扩大前正方体棱长为1，则扩大后的正方体棱长为3。
（3×3×6）÷（1×1×6）
＝（9×6）÷（1×6）
＝54÷6
＝9
正方体的棱长扩大3倍，它的表面积就扩大9倍。
原题干说法正确。
故答案为：√
分析：熟练掌握正方体表面积公式是解答本题的关键。
13．×
分析：由题意可知：当高增加1分米后，增加的面积其实只有4个面，即前、后、左、右面，即表面积增加了2（a＋b）×1平方分米，据此解答即可。
详解：长方体的长为6分米，宽为4分米。
2（a＋b）×1
＝2×（6＋4）×1
＝2×（6＋4）×1
＝2×10×1
＝20×1
＝20（平方分米）
一个长6分米，宽4分米的长方体，如果高增加1分米，它的表面积就增加20平方分米，原题说法错误。
故答案为：×
分析：此题主要考查长方体的表面积的计算方法，明确高增加1分米，增加的面积其实只有4个面是解决本题的关键。
14．×
分析：用2个棱长是1厘米的正方体拼成的长方体的长为2厘米、宽为1厘米、高为1厘米，根据“长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2”，求出表面积即可。
详解：（2×1＋1×1＋2×1）×2
＝（2＋1＋2）×2
＝5×2
＝10（平方厘米）
所以，用两个棱长为1厘米的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积是10平方厘米；原题干说法错误。
故答案为：×
分析：本题主要考查立体图形的切拼及长方体表面积公式，解题的关键是构想出拼成的长方体的长、宽、高。
15．×
分析：物体的表面积或封闭图形的大小，叫做它们的面积；棱长总和是正方体的所有棱的长度和，据此解答。
详解：根据分析可知，表面积和棱长总和是两个不同的概念，无法比较。
棱长2cm的正方体的表面积和棱长总和无法比较。
原题干说法错误。
故答案为：×
分析：理解表面积和棱长总和是两种不同的概念，明确只有同类量才能比较大小，不是同类量无法比较大小是解答题目的关键。
16．×
分析：如果三个小正方体不拼在一起，那么三个小正方体的体积是原来单独1个小正方体体积的3倍，由于拼成一个长方体，会减少2×2＝4（个）面的面积，那么新的长方体的表面积比3个小正方体的表面积要小，由此即可判断。
详解：由分析可知：
用3个完全一样的正方体拼接成一个长方体，所得长方体的表面积比原3个正方体的表面积之和大3倍。原题说法错误。
故答案为：×
分析：本题主要考查立体图形的拼接，要注意两个小正方体拼在一起，会减少2个面的面积，3个拼在一起会减少4个面的面积。
17．长方体的表面积是192平方厘米，正方体的表面积是24平方厘米
分析：利用长方体表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，正方体表面积公式：S＝6a2，代入数据计算即可。
详解：（12×3＋12×4＋3×4）×2
＝（36＋48＋12）×2
＝96×2
＝192（平方厘米）
2×2×6＝24（平方厘米）
长方体的表面积是192平方厘米，正方体的表面积是24平方厘米。
18．30平方米
分析：观察图形可知：帐篷的下部是长3米、宽3米、高2.5米的长方体，求每顶帐篷四周的喷绘面积也就是求长方体前、后、左、右四个侧面的面积和。因为长方体的长等于宽，所以四个侧面都是长3米、宽2.5米的长方形。根据长方形的面积＝长×宽，用3×2.5先求出1个侧面的面积，再乘4即可求出每顶帐篷四周的喷绘面积。
详解：3×2.5×4
＝7.5×4
＝30（平方米）
答：每顶帐篷四周的喷绘面积有30平方米。
19．6400平方厘米
分析：根据题意，求一个长方体盒子至少需要多少平方厘米的纸板，就是求这个没有底面的长方体的表面积。这个长方体长和宽都是40厘米，高至少是30厘米，它的表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，据此代入数据计算。
详解：40×40＋（40×30＋40×30）×2
＝1600＋（1200＋1200）×2
＝1600＋2400×2
＝1600＋4800
＝6400（平方厘米）
答：至少需要6400平方厘米的纸板。
分析：本题考查长方体表面积的应用。根据实际情况，灵活运用长方体的表面积公式是解题的关键。
20．220.5平方米
分析：因为地面不要粉刷，在教室的四面墙壁和顶棚粉刷，用长方体表面积公式：S＝2ab＋2ah＋2bh减去一个下底面积，代入数据求解最后减去门窗和黑板的面积即可；
详解：由分析可得：
12×8＋12×3.5×2＋8×3.5×2－15.5
＝96＋42×2＋28×2－15.5
＝96＋84＋56－15.5
＝180＋56－15.5
＝236－15.5
＝220.5（平方米）
答：共要粉刷220.5平方米的面积。
分析：本题主要考查了长方体表面积公式的应用，需要熟练掌握公式的同时还要会和题目中的实际情况相结合。
21．将长为20厘米、宽为10厘米的面相互叠加包装起来最节省包装纸；面积：1480平方厘米
分析：根据题意可知，要想最节省包装纸，把这3个长方形盒子的最大面叠加在一起，即20×10这个面叠加在一起；拼成一个长是20厘米，宽是10厘米，高是6×3＝18厘米的长方体；再根据长方体的表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。
详解：将长为20厘米、宽为10厘米的面相互叠加包装起来最节省包装纸；
叠加后的长方体的长是20厘米，宽是10厘米，高是6×3＝18（厘米）。
（20×10＋20×18＋10×18）×2
＝（200＋360＋180）×2
＝（560＋180）×2
＝740×2
＝1480（平方厘米）
答：将长为20厘米、宽为10厘米的面相互叠加包装起来最节省包装纸；包装纸的面积是1480平方厘米。
分析：熟练掌握长方特表面积公式是解答本题的关键。
22．336平方米
分析：求需要贴瓷砖的面积，就是求这个游泳池5个面积的面积和，即求这个游泳池的底面、前后面、左右面的面积之和；根据长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。
详解：20×12＋（20×1.5＋12×1.5）×2
＝240＋（30＋18）×2
＝240＋48×2
＝240＋96
＝336（平方米）
答：需要贴瓷砖的面积是336平方米。
分析：熟练掌握长方体表面积公式是解答本题的关键。
23．366平方米
分析：求抹水泥的面积就是求长方体的表面积。根据题意，抹水泥的面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，据此代入数据计算即可解答。
详解：18×12＋（18×2.5＋12×2.5）×2
＝216＋（45＋30）×2
＝216＋75×2
＝216＋150
＝366（平方米）
答：抹水泥的面积是366平方米。
分析：本题考查长方体表面积的应用。灵活运用长方体的表面积公式是解题的关键。
24．5700千克
分析：要求用多少水泥，就要先求出水池的侧面积和底面积，然后用抹水泥的面积×每平方米水泥的质量，代入数据即可得解。
详解：（20×15＋20×2.5×2＋15×2.5×2）×12
＝（300＋100＋75）×12
＝475×12
＝5700（千克）
答：那么一共要用水泥用5700千克。
分析：熟练掌握求长方体的表面积公式是解决此题的关键。

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